Fraktální mnohostěn

Fraktální polyhedron je spojen s vlastním podobný soubor mnohostěnů konstruován iterativně z počáteční mnohostěnu.

Konstrukce fraktální mnohostěn

Dovolit být mnohostěn řádu n, s n poznamenal vrcholy . Spojený fraktální mnohostěn je postaven iterativně se vztahuje na tuto mnohostěnu systém n homotheties na , z unikátní poměru , jako jsou: P{\ displaystyle P}Si{\ displaystyle S_ {i}} Hi{\ displaystyle H_ {i}}R3{\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}R{\ displaystyle R}

• střed homothety je vrchol .Hi{\ displaystyle H_ {i}}Si{\ displaystyle S_ {i}}
• poměr je největší poměr takový, že průsečík jakýchkoli dvou obrazových mnohostěnů má nulový objem.R{\ displaystyle R}

Poměr je proto určen tak, že množina je právě připojena, přičemž průniky jsou omezeny na body nebo hrany.

Z homotheties definujeme novou funkci , která se také uzavírá na dotaci Hausdorffovou vzdáleností , výrazem . je množina n mnohostěnů podobných . Hi{\ displaystyle H_ {i}}H{\ displaystyle H}R3{\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}H(P)=⋃i=1neHi(P){\ displaystyle \ scriptstyle {H (P) = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} H_ {i} (P)}}H(P){\ displaystyle H (P)}P{\ displaystyle P}

Bod věta pevně zajišťuje existenci a jedinečnost pevné podskupiny z takové, že . se nazývá attractor o systému opakována funkcí H. V praxi F se získá jako limit pro , kde je jakýkoliv kompaktní , jako je například mnohostěn . F{\ displaystyle F}R3{\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}H(F)=F{\ displaystyle H (F) = F}F{\ displaystyle F}Hne(F0){\ displaystyle H ^ {n} (F_ {0})}ne→∞{\ displaystyle n \ až \ infty}F0{\ displaystyle F_ {0}}P{\ displaystyle P}

Pro každý platonický mnohostěn, s výraznou výjimkou krychle, iterací ad infinitum je výsledná množina fraktální množinou. Pro získání propojené množiny by požadovaný poměr homothety pro krychli byl 1/2. Výsledná sada je však samotná krychle, a proto není fraktální.

Platonická fraktální mnohostěna

Platonický fraktální mnohostěn nazýváme fraktální mnohostěn vyplývající z pravidelného konvexního mnohostěnu. Kostka negeneruje fraktální množinu podle výše zmíněných pravidel.

	Fraktální čtyřstěn	Fraktální osmistěn	Fraktální dvanáctistěn	Fraktální dvacetistěn
Počet homothety	4	6	20	12
Poměr homothety	12=0,5{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {2}} = 0,5}}	12=0,5{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {2}} = 0,5}}	12+φ≈0,2763{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {2+ \ varphi}} \ přibližně 0,2763}}	11+φ≈0,3819{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {1+ \ varphi}} \ přibližně 0,3819}}
Fraktální rozměr	ln⁡(4)ln⁡(2)=2{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (4)} {\ ln (2)}} = 2}}	ln⁡(6)ln⁡(2)≈2,5849{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (6)} {\ ln (2)}} \ přibližně 2,5849}}	ln⁡(20)ln⁡(2+φ)≈2,3296{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (20)} {\ ln (2+ \ varphi)}} \ přibližně 2 3296}}	ln⁡(12)ln⁡(1+φ)≈2,5819{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (12)} {\ ln (1+ \ varphi)}} \ přibližně 2,5819}}

Fraktální čtyřstěn nebo Sierpinského čtyřstěn

Čtyřstěn fraktální je přirozeným rozšířením na 3 -tého  rozměru Sierpinski trojúhelník . Má tu zvláštnost, že má dimenzi 2. V důsledku toho se jeho povrch neliší od jedné iterace k druhé. V nekonečnu je jeho povrch totožný s povrchem původního čtyřstěnu.

	Objem	Plocha
Při iteraci č	23∗2ne+2na3{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {3 * 2 ^ {n + 2}}} a ^ {3}}	3na2{\ displaystyle {\ sqrt {3}} a ^ {2}}
% variace mezi dvěma iteracemi	-50%{\ displaystyle -50 \%}	0%{\ displaystyle 0 \%}
Do nekonečna	NEul{\ displaystyle Nul}	3na2{\ displaystyle {\ sqrt {3}} a ^ {2}}

with = délka okraje původního mnohostěnu. na{\ displaystyle a}

Fraktální osmistěn

Fraktální osmistěn je fraktální mnohostěn, jehož objem klesá nejpomaleji z jedné iterace na další.

Průsečík dvou sousedních obrazových mnohostěnů je hrana a ne vrchol.

Každá tvář je Sierpinského trojúhelník.

Nakonec jeho nekonečný povrch obklopuje nulový objem.

	Objem	Plocha
Při iteraci č	3ne-1222nena3{\ displaystyle {\ frac {3 ^ {n-1} {\ sqrt {2}}} {2 ^ {2n}}} a ^ {3}}	3ne32ne-1na2{\ displaystyle {\ frac {{3 ^ {n}} {\ sqrt {3}}} {2 ^ {n-1}}} a ^ {2}}
% variace mezi dvěma iteracemi	-25%{\ displaystyle -25 \%}	+50%{\ displaystyle +50 \%}
Do nekonečna	NEul{\ displaystyle Nul}	∞{\ displaystyle \ infty}

with = délka okraje původního mnohostěnu. na{\ displaystyle a}

Fraktální dvanáctistěn

Fraktální dodecahedron je platonický fraktální mnohostěn, jehož objem klesá nejrychleji z jedné iterace na další.

Nakonec jeho nekonečný povrch obklopuje nulový objem.

	Objem	Plocha
Při iteraci č	20ne(2+7φ/2)(2+φ)3nena3{\ displaystyle {\ frac {20 ^ {n} (2 + 7 \ varphi / 2)} {(2+ \ varphi) ^ {3n}}} a ^ {3}}	3∗20ne5(3+4φ)(2+φ)2nena2{\ displaystyle {\ frac {3 * 20 ^ {n} {\ sqrt {5 (3 + 4 \ varphi)}}} {(2+ \ varphi) ^ {2n}}} a ^ {2}}
% variace mezi dvěma iteracemi	-57,7%{\ displaystyle -57,7 \%}	+53,8%{\ displaystyle +53,8 \%}
Do nekonečna	NEul{\ displaystyle Nul}	∞{\ displaystyle \ infty}

with = délka okraje původního mnohostěnu a , zlatý řez . na{\ displaystyle a}φ=(1+5)/2{\ displaystyle \ scriptstyle {\ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}}

Fraktální dvacetistěn

Fraktální dvacetistěn je platonický fraktální mnohostěn, jehož plocha se nejrychleji zvyšuje z jedné iterace na další.

Nakonec jeho nekonečný povrch obklopuje nulový objem.

	Objem	Plocha
Při iteraci č	5∗12ne6(1+φ)3ne-1na3{\ displaystyle {\ frac {5 * 12 ^ {n}} {6 (1+ \ varphi) ^ {3n-1}}} a ^ {3}}	5∗12ne3(1+φ)2nena2{\ displaystyle {\ frac {5 * 12 ^ {n} {\ sqrt {3}}} {(1+ \ varphi) ^ {2n}}} a ^ {2}}
% variace mezi dvěma iteracemi	-33,1%{\ displaystyle -33,1 \%}	+75,1%{\ displaystyle +75,1 \%}
Do nekonečna	NEul{\ displaystyle Nul}	∞{\ displaystyle \ infty}

with = délka okraje původního mnohostěnu a , zlatý řez . na{\ displaystyle a}φ=(1+5)/2{\ displaystyle \ scriptstyle {\ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}}

Zobecnění

Můžeme zobecnit konstrukci a ignorovat vlastnost propojenosti tím, že si necháme poměr přísně nižší než kritická hodnota.

V takovém případě již výsledná množina není připojena a nemůžeme už mluvit o mnohostěnu.

Například krychle, na kterou použijeme poměr homothety, vede k disjunktní množině, která je pro svou část fraktální a má dimenzi . Jmenuje se Cantorova kostka . R=1/3{\ displaystyle R = 1/3}lne(8)/lne(3)=1,8928{\ displaystyle ln (8) / ln (3) = 1,8928}

Podívejte se také

• Fraktál
• Seznam fraktálů podle Hausdorffovy dimenze

externí odkazy

• Platonický fraktální čtyřstěn na místě Paul Bourke

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">