Pre-paprsek (teorie kategorie)

V teorii kategorií - odvětví matematiky - pojem prefeam zobecňuje pojem stejného jména v algebraické geometrii . Předběžné paprsky jsou tam obzvláště běžnými objekty a vedou k představě o toposu na místě .

Definice

Jsou C a D z kategorií , je presheaf z C na hodnoty v D je functor :

F: C ^ {{{\ \ mathrm {op}}}} \ do D

v opačném třídy v C v D . Přísně rovnocenným způsobem, to je kontravariantní functor z C na D .

Velmi častým případem je, že pokud D je sada kategorie souborů , který zahrnuje zejména všechny konkrétní kategorie : kategorie kroužků , kategorie abelian skupin , kategorie modulů na prstenci ... která je rámec, ve kterém předem jsou uvažovány paprsky algebraické geometrie .

Když D je abelianská kategorie , mluvíme o abelianském prefeamu .

Pokud V je monoidní kategorie , můžeme definovat pojem presheaf V- enrichi jako funktor V- enrichi v rozporu s obohacenou kategorií do jiné.

Malý prefeam je prefeam který je kan je rozšíření na funktoru jehož doména je malý kategorie . Pokud je C malá kategorie, pak jsou všechny předběžné balíčky na C malé.

Kategorie před paprskem

Kategorie předběžných kladek je kategorie funktorů , někdy označovaných nebo , to znamená, že kategorie, která: $[C ^ {{{\ mathrm {op}}}}, D]$ $\ widehat {C} _ {D}$ ${\ mathrm {PSh}} _ {D} (C)$

objekty jsou funktory ; $F: C ^ {{{\ \ mathrm {op}}}} \ do D$
morfismy jsou přirozené transformace mezi těmito funktory.

Když D = set , existuje obecně nebo kategorie presheaves o C bez výslovného povolení as udáním D . $\ widehat {C}$ ${\ mathrm {PSh}} (C)$

Kategorie předpaprů malé kategorie v sadě je úplná a úplná a připouští limity a kolimity mezi dvěma body.

Příklady

Jakákoli kategorie C je plně a věrně ponořena do kategorie Ĉ předpaprsků s hodnotami v Set , vložením Yonedy . Předpaprsky tohoto tvaru a předpaprsky, které jsou izomorfní k těmto předpaprskům, jsou považovány za „ reprezentativní “. $Y_ {C}: A \ mapsto \ operatorname {Hom} _ {C} (-, A)$
Jakýkoli předpaprsek s hodnotami v sadě je kolimem reprezentovatelného předplochu . Můžeme to napsat jako cofin : $F (-) = \ int ^ {{c: C}} F (c) \ times \ operatorname {Hom} _ {C} (-, c).$
Simplicial sada je předem svazek přes simpliciální kategorii .

Související články

Reference

Alexander Grothendieck a Jean-Louis Verdier , „Exposé I: Préfaisceaux“, v SGA 4 - Teorie topos a étale cohomologie des schémata , 1972
(en) Brian Day a Stephen Lack , „ Limity malých funktorů “ , J. Pure Appl. Algebr. , sv. 210, n o 3,2007, str. 651-663 ( číst online )