Kategorie betonu
V matematice a přesněji v teorii kategorií je konkrétní kategorií nad kategorií dvojice, kde je kategorie a je věrným funktorem . Funktor se nazývá funktor zapomínání a nazývá se základní kategorie pro . Pokud není zadán, znamená to, že se jedná o kategorii sad . V tomto případě jsou objekty kategorie množinami opatřenými určitými strukturami a morfismy této kategorie jsou morfizmy mezi množinami opatřenými těmito strukturami. Právě tuto strukturu zmizí funktor zapomínání. Naopak, mnoho kategorií používaných v matematice je konstruováno z kategorie množin definováním struktur na množinách a poskytováním množin s těmito strukturami. Tyto konstrukce tvoří s příslušnými identifikacemi konkrétní kategorie.
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}
(NA,U){\ displaystyle (\ mathbf {A}, {\ mathfrak {U}})}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
U:NA→X{\ displaystyle {\ mathfrak {U}}: \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {X}}
U{\ displaystyle {\ mathfrak {U}}}
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}
(NA,U){\ displaystyle (\ mathbf {A}, {\ mathfrak {U}})}
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}
Enes{\ displaystyle \ mathbf {Ens}}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}![{\ displaystyle \ mathbf {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0795cc96c75d81520a120482662b90f024c9a1a1)
Příklady
Kategorie z vektorových prostorů na levé straně na K má pro objekty umístěnými K -vector mezery nalevo a morphisms na K -Lineární map. Tato kategorie je konkrétní, funktor zapomínání, díky kterému podkladová množina odpovídá vektorovému prostoru a K- lineární mapě podkladovou mapu.
PROTIEvs.t{\ displaystyle \ mathbf {Vect}}![{\ displaystyle \ mathbf {Vect}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2ac68bda7c8bb6cf85894b7808358a493c824c)
Kategorie z topologických prostorů má za cíl provádět topologických prostorů a morfismů nepřetržitých map. Tato kategorie je konkrétní, funktor zapomínání odpovídající topologickému prostoru podkladové množině a spojité aplikaci podkladové aplikaci.
TÓp{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}![{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4306427e7d613b5eee505555470411396eab6c32)
Kategorie z topologických vektorových prostorů na topologické oblasti K a aplikace K kontinuální -linéaires může být považován za třídu betonu, které mají různé báze, a to:
Eprotit{\ displaystyle \ mathbf {Evt}}
- kategorie ;PROTIEvs.t{\ displaystyle \ mathbf {Vect}}
![{\ displaystyle \ mathbf {Vect}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2ac68bda7c8bb6cf85894b7808358a493c824c)
- kategorie ;TÓp{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}
![{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4306427e7d613b5eee505555470411396eab6c32)
- kategorie .Enes{\ displaystyle \ mathbf {Ens}}
![{\ displaystyle \ mathbf {Ens}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ba3c5b7bf803a32d41976625a85d422c969591)
Konkrétní funkce
Pokud a jsou dvě konkrétní kategorie na stejné bázi , je konkrétní funktor z oblasti je functor takové, že . Píšeme tedy .
(NA,U){\ displaystyle (\ mathbf {A}, {\ mathfrak {U}})}
(B,PROTI){\ displaystyle (\ mathbf {B}, {\ mathfrak {V}})}
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}
(NA,U){\ displaystyle (\ mathbf {A}, {\ mathfrak {U}})}
(B,PROTI){\ displaystyle (\ mathbf {B}, {\ mathfrak {V}})}
F:NA→B{\ displaystyle {\ mathfrak {F}}: \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {B}}
U=PROTI∘F{\ displaystyle {\ mathfrak {U}} = {\ mathfrak {V}} \ circ {\ mathfrak {F}}}
F:(NA,U)→(B,PROTI){\ displaystyle {\ mathfrak {F}}: (\ mathbf {A}, {\ mathfrak {U}}) \ rightarrow (\ mathbf {B}, {\ mathfrak {V}})}![{\ displaystyle {\ mathfrak {F}}: (\ mathbf {A}, {\ mathfrak {U}}) \ rightarrow (\ mathbf {B}, {\ mathfrak {V}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f04f18882bb00d8f6c6a6030542677bc9df07b)
Beton izomorfismus je functor mezi kategoriích betonu na kterém je kategorie izomorfismus. V praxi identifikujeme konkrétní kategorie, které jsou konkrétně izomorfní.
F:(NA,U)→(B,PROTI){\ displaystyle {\ mathfrak {F}}: (\ mathbf {A}, {\ mathfrak {U}}) \ rightarrow (\ mathbf {B}, {\ mathfrak {V}})}
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}![{\ mathbf X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f75966a2f9d5672136fa9401ee1e75008f95ffd)
Například topologické prostory lze popsat několika způsoby: otevřenými množinami , sousedstvími , konvergentními filtry atd. Jedná se o různé konstrukce , ale odpovídající konkrétní kategorie jsou konkrétně izomorfní, takže je lze identifikovat, a tak získáme konkrétní kategorie a strukturu topologického prostoru.
TÓp{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}![{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4306427e7d613b5eee505555470411396eab6c32)
Počáteční struktury
Zápisy a terminologie
Zvažte základní konkrétní kategorii . Pro zjednodušení zápisů si všimneme této konkrétní kategorie a funktoru zapomínání. Aby se předešlo nejasnostem, pokud je morphism ze budeme nazývat B její doménou a jeho codomain . Výraz „ je -morphism“ znamená, že pro -morphism existuje -morphism (nutně jedinečný a také známý f ) takový, že .
(NA,U){\ displaystyle (\ mathbf {A}, {\ mathfrak {U}})}
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
|.|{\ displaystyle \ green. \ green}
F:B→NA{\ displaystyle f: B \ rightarrow A}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
F:|B|→|NA|{\ displaystyle f: \ green B \ green \ rightarrow \ green A \ green}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}
F:|B|→|NA|{\ displaystyle f: \ green B \ green \ rightarrow \ green A \ green}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
|B→NA|=|B|→|NA|{\ displaystyle \ green B \ rightarrow A \ green = \ green B \ green \ rightarrow \ green A \ green}![{\ displaystyle \ green B \ rightarrow A \ green = \ green B \ green \ rightarrow \ green A \ green}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24c048be5a7eb9776855fda4febbf2cfdfce7b8)
Struktury
Mluvíme v algebře o skupinových strukturách, kruzích, polích, vektorových prostorech atd. V analýze struktur hovoříme o topologickém prostoru, uniformním prostoru, metrickém prostoru atd. Skupina je například množina opatřená strukturou skupiny a funktor zapomínání tuto strukturu přesně dělá „zapomíná“. Pojem konstrukce v kontextu konkrétních kategorií lze specifikovat následovně:
Lemma - Vztah „ a B jsou objekty kategorii betonu tak, že a a B jsou izomorfní“ je relace ekvivalence .
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
|NA|=|B|{\ displaystyle \ green A \ green = \ green B \ green}
R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}![{\ mathcal R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74532dc308c806964b832df0d0d73352195c2f2f)
Definice - Říkáme strukturu objektu A ze třídy A pro vztah ekvivalence . Říkáme, že „ A má strukturu “, pokud je třída ekvivalence A pro vztah .
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}
S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}
S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}
R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}![{\ mathcal R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74532dc308c806964b832df0d0d73352195c2f2f)
Porovnání struktur
Nechť A a B jsou objekty . Řekneme, že A má jemnější strukturu než B (a že B má méně jemnou strukturu než A ), pokud a pokud existuje -morfismus (nutně jedinečný) takový .
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
|NA|=|B|{\ displaystyle \ green A \ green = \ green B \ green}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
NA→B{\ displaystyle A \ rightarrow B}
|NA→B|=id|NA|{\ displaystyle \ vert A \ rightarrow B \ vert = id _ {\ vert A \ vert}}![{\ displaystyle \ vert A \ rightarrow B \ vert = id _ {\ vert A \ vert}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfc306ffbb1fcae9e71b0ef659913d9def35825)
Věta - Pokud A má méně jemnou strukturu než B a B má méně jemnou strukturu než A , pak A a B mají stejnou strukturu.
Demonstrace
NA→B{\ displaystyle A \ rightarrow B}
a jsou morfismy, proto je morfismus. Vzhledem k tomu , . Podobně . Dva morfismy, a jsou tedy izomorfismy, vzájemně inverzní.
B→NA{\ displaystyle B \ rightarrow A}
NA→B→NA{\ displaystyle A \ rightarrow B \ rightarrow A}
|NA→B→NA|=id|NA|{\ displaystyle \ vert A \ rightarrow B \ rightarrow A \ vert = id _ {\ vert A \ vert}}
NA→B→NA=idNA{\ displaystyle A \ rightarrow B \ rightarrow A = id_ {A}}
B→NA→B=idB{\ displaystyle B \ rightarrow A \ rightarrow B = id_ {B}}
NA→B{\ displaystyle A \ rightarrow B}
B→NA{\ displaystyle B \ rightarrow A}![{\ displaystyle B \ rightarrow A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754f0800367a2df9dee0649333362feb8fc8fa66)
Zdroje
Zdroj v je řada morphisms o . Objekt a rodina objektů se nazývají domény a codomain z, resp . Kódoména je někdy naznačena a my pak píšeme .
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
S=(Fi:NA→NAi)i∈Já{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = (f_ {i}: A \ rightarrow A_ {i}) _ {i \ in I}}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
(NAi)i∈Já{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ v I}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
S=(NA,(Fi)i∈Já){\ displaystyle {\ mathcal {S}} = (A, (f_ {i}) _ {i \ v I})}![{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = (A, (f_ {i}) _ {i \ v I})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939b6b7df715f959cdd65fb085ac5559605116f9)
Zdrojem je mono-source , pokud může být zjednodušena na levé straně, to znamená, že pokud pro každou dvojici morfizmö , vztahu (což znamená, že je ekvivalentní . Když jsem je Singleton (matematiky) , zjistíme, pojem obvykle monomorfismus .
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
r,s:B→NA{\ displaystyle r, s: B \ rightarrow A}
S∘r=S∘s{\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ circ r = {\ mathcal {S}} \ circ s}
Fi∘r=Fi∘s,∀i∈Já{\ displaystyle f_ {i} \ circ r = f_ {i} \ circ s, \ forall i \ in I}
r=s{\ displaystyle r = s}![{\ displaystyle r = s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56505e45d4a3e4743a88f3e5b7b3e8883095d73f)
Počáteční zdroje a počáteční struktury
Zdroj se říká, že výchozí v případě, že je splněna následující podmínka: pro jakýkoli objekt B části , vztah
(Fi:NA→NAi)i∈Já{\ displaystyle (f_ {i}: A \ rightarrow A_ {i}) _ {i \ v I}}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}![{\ displaystyle \ mathbf {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0795cc96c75d81520a120482662b90f024c9a1a1)
„ Je -morfismus“
F:|B|→|NA|{\ displaystyle f: \ green B \ green \ rightarrow \ green A \ green}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}![{\ displaystyle \ mathbf {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0795cc96c75d81520a120482662b90f024c9a1a1)
rovná se vztahu
„Cokoli , je -morfismus“.
i∈Já{\ displaystyle i \ in I}
Fi∘F:|B|→|NAi|{\ displaystyle f_ {i} \ circ f: \ green B \ green \ rightarrow \ green A_ {i} \ green}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
Definice - Pokud je zdroj počáteční, říká se , že struktura A je pro rodinu počáteční .
(Fi:NA→NAi)i∈Já{\ displaystyle (f_ {i}: A \ rightarrow A_ {i}) _ {i \ v I}}
(Fi:|NA|→|NAi|)i∈Já{\ displaystyle (f_ {i}: \ vert A \ vert \ rightarrow \ vert A_ {i} \ vert) _ {i \ in I}}![{\ displaystyle (f_ {i}: \ vert A \ vert \ rightarrow \ vert A_ {i} \ vert) _ {i \ in I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86734331ed013f7786256cce174fd34f7ae7d048)
Věta - Pokud A má počáteční strukturu pro rodinu , A má nejméně jemnou strukturu, pro kterou jsou všechny -morfismy; druhá vlastnost určuje strukturu A jednoznačně.
(Fi:|NA|→|NAi|)i∈Já{\ displaystyle (f_ {i}: \ vert A \ vert \ rightarrow \ vert A_ {i} \ vert) _ {i \ in I}}
Fi:|NA|→|NAi|{\ displaystyle f_ {i}: \ vert A \ vert \ rightarrow \ vert A_ {i} \ vert}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}![{\ displaystyle \ mathbf {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0795cc96c75d81520a120482662b90f024c9a1a1)
Demonstrace
Protože je zdrojem, jsou -morfismy. Nechť B být předmětem takové, že pro všechny , je -morphism; to znamená, že , že je -morphism, a to pro všechny , je -morphism. Takže je -morphisme a má strukturu hrubší, že B . Pokud B je také počáteční strukturu pro rodinu , B má strukturu hrubší než A . Struktury A a B jsou tedy identické.
(Fi:NA→NAi)i∈Já{\ displaystyle (f_ {i}: A \ rightarrow A_ {i}) _ {i \ v I}}
Fi{\ displaystyle f_ {i}}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
i∈Já{\ displaystyle i \ in I}
Fi:|B|→|NAi|{\ displaystyle f_ {i}: \ green B \ green \ rightarrow \ green A_ {i} \ green}
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}
|B|=|NA|{\ displaystyle \ green B \ green = \ green A \ green}
F: =id|NA|{\ displaystyle f: = id _ {\ vert A \ vert}}
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}
i∈Já{\ displaystyle i \ in I}
Fi∘F:|B|→|NAi|=Fi:|NA|→|NAi|{\ displaystyle f_ {i} \ circ f: \ green B \ green \ rightarrow \ green A_ {i} \ vert = f_ {i}: \ green A \ green \ rightarrow \ green A_ {i} \ green}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
F:|B|→|NA|{\ displaystyle f: \ green B \ green \ rightarrow \ green A \ green}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
(Fi:|NA|→|NAi|)i∈Já{\ displaystyle (f_ {i}: \ vert A \ vert \ rightarrow \ vert A_ {i} \ vert) _ {i \ in I}}![{\ displaystyle (f_ {i}: \ vert A \ vert \ rightarrow \ vert A_ {i} \ vert) _ {i \ in I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86734331ed013f7786256cce174fd34f7ae7d048)
Příklady
Opak výše uvedené věty je obecně nepravdivý (srov. Bourbaki 1970 , cvičení 6, s. IV.30). Přesto je to přesné: zdroj in je počáteční právě tehdy, a to pouze v případě, že topologie A je nejméně jemná, takže spojitá. Zejména, jestliže E je topologický prostor, F je podmnožina E a je kanonický injekce, je zdrojem v tehdy a pouze tehdy, když je spojitá, a proto v případě, že topologie F je jemnější, než je E . Tento zdroj je originální tehdy a jen tehdy, pokud to topologie je nejhrubší z těch, které tvoří kontinuální, tj topologii indukované na F se tím, že z E .
TÓp{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}
S=(NA,(Fi)i∈Já){\ displaystyle {\ mathcal {S}} = (A, (f_ {i}) _ {i \ v I})}
TÓp{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}
Fi{\ displaystyle f_ {i}}
ι:F→E{\ displaystyle \ iota: F \ rightarrow E}
ι:F→E{\ displaystyle \ iota: F \ rightarrow E}
TÓp{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}
ι{\ displaystyle \ iota}
ι{\ displaystyle \ iota}![\jota](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce48dd56254d0a7c33e987c7c8eeb44c963ac04)
V kategorii je zdroj počáteční, pouze tehdy, pokud jde o jeden zdroj. Zejména s ohledem na případ, kdy I je singleton, je morfismus (tj. K- lineární mapa) počáteční, pokud, a pouze pokud je injektivní.
PROTIEvs.{\ displaystyle \ mathbf {Vec}}
PROTIEvs.{\ displaystyle \ mathbf {Vec}}![{\ displaystyle \ mathbf {Vec}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c084b95aaacae872b2444096a3a4bffa266e417)
Betonové výrobky
Zdroj v kategorii se nazývá produkt, pokud pro jakýkoli zdroj (se stejnou doménou jako ) existuje jedinečný morfismus , jako je . Produkt, jehož doména se nazývá produktová rodina .
P=(pi:P→NAi)i∈Já{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = (p_ {i}: P \ rightarrow A_ {i}) _ {i \ in I}}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
S=(si:NA→NAi)i∈Já{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = (s_ {i}: A \ rightarrow A_ {i}) _ {i \ in I}}
P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}
F:NA→P{\ displaystyle f: A \ rightarrow P}
S=P∘F{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ mathcal {P}} \ circ f}
(NAi)i∈Já{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i} \ v I}
(NAi)i∈Já{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i} \ v I}![{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i} \ v I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789a81756f3a17b672129e59d9a0ee82e2624280)
Pokud se jedná o základní konkrétní kategorii , produkt se považuje za konkrétní, pokud je produktem v . Je okamžité, že zdrojem v je konkrétní produkt právě tehdy, pokud je tento zdroj počáteční a je produktem v .
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}
P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}
|P|{\ displaystyle \ vert {\ mathcal {P}} \ vert}
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}
|P|{\ displaystyle \ vert {\ mathcal {P}} \ vert}
X{\ displaystyle \ mathbf {X}}![{\ mathbf X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f75966a2f9d5672136fa9401ee1e75008f95ffd)
Kategorie a , tím kategorie skupin , že z abelian skupin , že z prstenců , které z monoidů , že z modulů na levé straně na prstenci, atd., Připustit produkty. Pojďme být rodinou předmětů a vytvořme produkt v kategorii sad. Betonový výrobek se získává v těchto konkrétních kategoriích poskytnutím celé počáteční struktury vzhledem k rodině : to určuje předmět uvažované kategorie.
TÓp{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}
PROTIEvs.{\ displaystyle \ mathbf {Vec}}
(NAi)i∈Já{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ v I}}
(πj:Πi|NAi|→|NAj|)j∈Já{\ displaystyle (\ pi _ {j}: \ Pi _ {i} \ vert A_ {i} \ vert \ rightarrow \ vert A_ {j} \ vert) _ {j \ v I}}
(πj:ΠiNAi→NAj)j∈Já{\ displaystyle (\ pi _ {j}: \ Pi _ {i} A_ {i} \ rightarrow A_ {j}) _ {j \ v I}}
Πi|NAi|{\ displaystyle \ Pi _ {i} \ zelená A_ {i} \ zelená}
(pj)j∈Já{\ displaystyle (p_ {j}) _ {j \ v I}}
ΠiNAi{\ displaystyle \ Pi _ {i} A_ {i}}![{\ displaystyle \ Pi _ {i} A_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c87f468d39ef1e6213e5bc2819b0634e720534)
Výše uvedená konstrukce se nevztahuje například na kategorii v Banachových prostorech . Ačkoli jde o základní beton , tato kategorie připouští výrobky, které nelze získat tímto způsobem, když jsou nekonečné. Tyto výrobky proto nejsou konkrétní.
Bnane{\ displaystyle \ mathbf {Ban}}
Enes{\ displaystyle \ mathbf {Ens}}![{\ displaystyle \ mathbf {Ens}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ba3c5b7bf803a32d41976625a85d422c969591)
Studna
Koncept umyvadla je dvojí ve srovnání se zdrojem (definice umyvadla je tedy získána z definice zdroje „obrácením směru šipek“). Dostaneme následující zápasy:
PředstavaDuální konceptzdrojstudnajediný zdrojvlnolampočáteční zdrojkonečná studnapočáteční strukturakonečná strukturaméně jemná strukturajemnější strukturaproduktkoprodukcibetonový výrobekbetonový vedlejší produkt{\ displaystyle {\ begin {array} {cc} {\ text {Notion}} & {\ text {Dual concept}} \\ {\ text {source}} & {\ text {well}} \\ {\ text {mono-source}} & {\ text {epi-well}} \\ {\ text {initial source}} & {\ text {final well}} \\ {\ text {initial structure}} & {\ text { finální struktura}} \\ {\ text {méně jemná struktura}} & {\ text {jemnější struktura}} \\ {\ text {product}} & {\ text {co-product}} \\ {\ text {beton product}} & {\ text {concrete coproduct}} \ end {array}}}![{\ displaystyle {\ begin {array} {cc} {\ text {Notion}} & {\ text {Dual concept}} \\ {\ text {source}} & {\ text {well}} \\ {\ text {mono-source}} & {\ text {epi-well}} \\ {\ text {initial source}} & {\ text {final well}} \\ {\ text {initial structure}} & {\ text { finální struktura}} \\ {\ text {méně jemná struktura}} & {\ text {jemnější struktura}} \\ {\ text {product}} & {\ text {co-product}} \\ {\ text {beton product}} & {\ text {concrete coproduct}} \ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3d4301a339da20880e6fcde744dc8a2deb7e83)
Vedlejším produktem rodiny v kategorii sad je disjunktivní shledání .
(NAi)i∈Já{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ v I}}
⨄i∈JáNAi{\ displaystyle \ biguplus _ {i \ in I} A_ {i}}![{\ displaystyle \ biguplus _ {i \ in I} A_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf42ff44bccb9fc7181cd1a896fc00ef69a362f7)
V konkrétní kategorii je vedlejším produktem rodiny topologických prostorů disjunktní sjednocení opatřené konečnou topologií, to znamená nejlepší topologií, pro kterou jsou kanonické injekce všechny spojité. Proto připouští konkrétní vedlejší produkty.
TÓp{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}
(NAi)i∈Já{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ v I}}
⨄i∈JáNAi{\ displaystyle \ biguplus _ {i \ in I} A_ {i}}
NAi→⨄i∈JáNAi{\ displaystyle A_ {i} \ rightarrow \ biguplus _ {i \ in I} A_ {i}}
TÓp{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}![{\ displaystyle \ mathbf {začátek}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4306427e7d613b5eee505555470411396eab6c32)
Kategorie skupin připouští druhotné výrobky, jmenovitě výrobky zdarma , ale ačkoli tato kategorie je základní beton , nejedná se o konkrétní vedlejší výrobky.
Enes{\ displaystyle \ mathbf {Ens}}![{\ displaystyle \ mathbf {Ens}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ba3c5b7bf803a32d41976625a85d422c969591)
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
Je zcela analogickým způsobem, že Bourbaki 1970 , s. IV.4 buduje strukturu, ale v rámci, který není strukturou kategorií.
-
Definice, lemma, následující věty v rámečku a jejich důkazy jsou převzaty z Bourlès 2015
Reference
- (en) Jirí Adámek , Horst Herrlich a George E. Strecker , Abstraktní a konkrétní kategorie ,2004( číst online )
- N. Bourbaki , Základy matematiky - Kniha I: Teorie množin , Hermann,1970
- (en) Henri Bourlès , „ struktury v kategoriích betonu “ , ArXiv , n o 1509.08737,2015( číst online )
- (en) Louis D. Nel , „ Počáteční strukturované kategorie a karteziánské výrobky “ , Canadian Journal of Mathematics , sv. 27, n O 6,1975, str. 1361-1377 ( číst online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">