Princip nejmenší akce a obecné relativity

Dlužíme Davidu Hilbertovi v roce 1915 první použití principu nejmenší akce k získání rovnic obecné relativity , zejména rovnic gravitačního pole.

Pro obecnou relativitu, stejně jako pro speciální relativitu, lze rovnice získat bez použití principu nejmenší akce: princip ekvivalence vyjádřený ve formě „vždy můžeme najít referenční rámec lokálně rušící gravitační pole“, umožňuje můžete přímo najít pohybové rovnice částice; a jedinečnost tvaru geometrického tenzoru, který se ruší kovariantním derivátem, jedinečnost prokázaná Élie Cartanem , umožňuje najít rovnice gravitačního pole, což byla původní Einsteinova metoda (ačkoli dotyčná jedinečnost ještě nebyla v té době prokázané).

Pokud jsou uvedeny rovnice obecné relativity, můžeme odvodit akci, která umožňuje uplatnění principu. Zejména s geodetickými rovnicemi můžeme najít související metriku . ${\ displaystyle ds ^ {2} \,}$

Částice

Částice v gravitačním poli

V této práci používáme hypotézu, že částice nemění své prostředí: hmotnost částice ani její poloha nemění gravitační pole , tato hmotnost proto musí být „malá“.

Na základě Einsteinova principu ekvivalence je gravitace lokálně ekvivalentní volbě zrychleného referenčního rámce.

Jako součást speciální relativity, při zrychleném rámci (souřadnice ), je lokálním vnímáním gravitační pole a změna reference vzhledem k inerciálnímu referenčnímu rámci (souřadnice ) ukládá metriku s netriviálními koeficienty . Postačuje určit pohybové rovnice v tomto referenčním rámci kvůli principu nejmenší akce ve speciální relativitě. ${\ displaystyle \ (x '_ {0}; x' _ {1}; x '_ {2}; x' _ {3})}$ ${\ displaystyle \ (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$ ${\ displaystyle \ ds ^ {2} = (x_ {0}) ^ {2} - (x_ {1}) ^ {2} - (x_ {2}) ^ {2} - (x_ {3}) ^ {2} = g ^ {ij} (x ') x' _ {i} x '_ {j}}$

Princip ekvivalence umožňuje říci, že skutečné gravitační pole (ne kvůli volbě referenčního rámce) je také určeno metrikou (a metrika je určena gravitačním polem); ačkoli použití metriky, která není způsobena, a proto není kompenzovatelná mimo místní doménu časoprostoru, změnou referenčního rámce znamená, že časoprostor není euklidovský (viz myšlenkový experiment rotujícího disku, popsaný v obecné teorie relativity ), a že bychom pak jít nad rámec speciální relativity vybudovat novou teorii: obecnou relativitu . ${\ displaystyle \ ds ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ds ^ {2} = g ^ {ij} (x) x_ {i} x_ {j} = g ^ {ij} x_ {i} x_ {j}}$

Můžeme tedy zůstat v kontinuitě speciální relativity a potvrdit, že nekonečně malé působení bodové částice, ovlivněné samotnou gravitací, je obecně relativita:

${\ displaystyle dS = -mc {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}$

kde to předpokládáme, aniž bychom něco vzali z obecnosti. ${\ displaystyle \ g ^ {ij} = g ^ {ji}}$

Použitím skutečnosti, že jde o vlastní čas částice, minimalizovaná akce mezi dvěma body v časoprostoru ukazuje, že stejně jako ve speciální relativitě je to vlastní čas pro přechod z bodu A do bodu B, který je maximalizován (lokálně) zásada. Geodetika jsou cesty, které (lokálně) maximalizují vlastní čas částice . ${\ displaystyle \ ds = {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}$ ${\ displaystyle \ S = -mc \ int _ {A} ^ {B} ds}$

Abychom udrželi fyzickou soudržnost, musíme předpokládat, že jsou spojité; aby bylo možné pracovat se známými nástroji, to znamená derivacemi, ale také předpokládat, že gravitační pole je spojité, je třeba předpokládat, že jsou diferencovatelné. Následně pro Einsteinovy rovnice bude nezbytné předpokládat, že se jedná o C 2 . ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Vzhledem k tomu kdykoli: ${\ displaystyle \ t_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {dS} {dt_ {0}}} = L_ {0} = - mc {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}$

Člověk vždy použije Euler-Lagrangeovy rovnice poté, co zde vydělí koeficientem k ničemu. ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} {\ frac {\ částečné L_ {0}} {\ částečné V_ {k}}} \ - \ {\ frac {\ částečné L_ { 0}} {\ částečné x_ {k}}} \ = \ 0 ~~}$ ${\ displaystyle \ -mc}$

Demonstrační podrobnosti

Získáváme: ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ vlevo ({\ frac {2.g ^ {ik} V_ {i}} {2. {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}} \ vpravo) - \ {\ frac {\ částečné ^ {k} g ^ {ij} .V_ {i} V_ {j}} {2. {\ Sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}} \ = \ 0 ~~}$

Když si teď uděláme patřičný čas, můžeme použít rovnost, která zjednodušuje odvození , ${\ displaystyle t_ {0} =}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}} = c}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}}}$

beze změny výsledku, pokud se posuneme vpřed, a dostaneme

${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ vlevo ({\ frac {g ^ {ik} V_ {i}} {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}} \ right) = {\ frac {1} {c}}. (\ částečné ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} + g ^ {ik} {\ tečka {V_ {i}}})}$

Zaznamenáním toho , které použijeme hlavně z estetických důvodů, a změnou indexů tak, aby používaly pouze i, j a k, ${\ displaystyle \ částečné ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} = {\ frac {1} {2}}. (\ částečné ^ {n} g ^ {ik} .V_ { n} V_ {i} + \ částečné ^ {i} g ^ {nk} .V_ {n} V_ {i})}$

Euler-Lagrangeovy rovnice dávají: ${\ displaystyle g ^ {ik} {\ dot {V_ {i}}} + {\ frac {1} {2}}. (- \ částečné ^ {k} g ^ {ij} + \ částečné ^ {i} g ^ {jk} + \ částečné ^ {j} g ^ {ik}) V_ {i} V_ {j} = 0}$

S rovností a symbolem Christoffela : ${\ displaystyle \ g_ {km} g ^ {ki} = \ delta _ {m} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {m} ^ {ij} = {\ frac {1} {2}}. g_ {km} (- \ částečné ^ {k} g ^ {ij} + \ částečné ^ {i} g ^ {jk} + \ částečné ^ {j} g ^ {ik})}$

Dostaneme rovnici:

${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}$

že můžeme také napsat:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x_ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {k} ^ {ij} {\ frac {dx_ {i}} {ds}} { \ frac {x_ {j}} {ds}} = 0}$

nebo:

${\ displaystyle {\ frac {DV_ {k}} {ds}} = 0}$

s „kovariančním derivátem“: a kde pro správný čas. ${\ displaystyle DV_ {k} = dV_ {k} + \ gama _ {k} ^ {ij} V_ {i} dV_ {j}}$ ${\ displaystyle DV ^ {k} = dV ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dV ^ {j}}$ ${\ displaystyle \ V_ {k} = {\ frac {dx_ {k}} {dt_ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ t_ {0} =}$

Christoffelův symbol vyniká jako projev gravitace v pohybových rovnicích. ${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$

Pohybové rovnice nezávisí na hmotnosti částice (pojmenované proto, že jsme zanedbali její prostorový rozsah a její vliv na prostředí): všechny částice sledují stejné trajektorie (za stejných počátečních podmínek), jedná se o rovnici geodetika obecně relativita, pouze za přítomnosti gravitace.

Tyto pohybové rovnice však nejsou platné pro částice s nulovou hmotností, protože v tomto případě máme od začátku , což zakazuje všechny výše provedené výpočty; jeden také má, protože správný čas pro částici s nulovou hmotností neuplyne (viz Omezená relativita ), tento pojem v žádném případě nemůže mít význam. Vlnu spojenou s částicí musíme považovat za rovnici s významem, navíc se při psaní obecné teorie relativity chápalo světlo spíše jako vlna (elektromagnetická) než jako částice ( foton s nulovou hmotností). ${\ displaystyle ~ dS = 0 ~~}$ ${\ displaystyle ~ ds = c.dt_ {0} = 0 ~~}$ ${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m}}$

Částice v elektromagnetickém poli

Podobně jako u speciální relativity je definice nekonečně malého relativistického působení bodové částice náboje v elektromagnetickém poli . ${\ displaystyle \ e}$ ${\ displaystyle \ L.dt = \ -mc. {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} .dx_ {j}}} - eA ^ {j} .dx_ {j}}$

Dokonale podobnými výpočty odvodíme pohybové rovnice:

${\ displaystyle m. ({\ dot {V}} ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} V ^ {j}) = e.V_ {j} .F ^ { KJ}}$

že můžeme napsat:

${\ displaystyle mc. \ left ({\ frac {d ^ {2} x ^ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ frac {dx ^ {i }} {ds}} {\ frac {dx ^ {j}} {ds}} \ right) = eF ^ {kj} {\ frac {dx_ {j}} {ds}}}$

nebo:

${\ displaystyle mc. {\ frac {DV ^ {k}} {ds}} = eF ^ {kj} V_ {j}}$

Gravitační pole

Aby bylo možné určit Lagrangeovu hustotu, pak rovnice, je nutné vyvinout trochu některé z úvah diskutovaných výše, a dokonce i některé nové.

Lagrangeova hustota v zakřiveném prostoru

Vzhledem k neměnnosti trajektorie pole vzhledem k referenčním rámcům, ze kterých je pozorováno, musí být akce, která jej charakterizuje, invariantní změnou referenčního rámce. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega}$

Podrobnosti odůvodňující Lagrangeovu hustotu

Nechte akci být ve dvou různých referenčních rámcích. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '}$

Máme: a ${\ displaystyle \ d \ Omega = dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}$ ${\ displaystyle \ d \ Omega '= dx' _ {0} .dx '_ {1} .dx' _ {2} .dx '_ {3} = J.dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}$

kde je Jacobian ze změny proměnných. ${\ displaystyle \ J}$

My máme : ${\ displaystyle J = \ left | \ det \ left ({\ frac {\ částečné x '_ {i}} {\ částečné x_ {j}}} \ pravé) \ pravé | ~}$

Nebo : tím, že vezmeme determinanty . ${\ displaystyle ds ^ {2} = g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j} = g '^ {kl} dx' _ {k} dx '_ {l} \ to \ g ^ {kl} = {\ frac {\ částečné x '_ {i}} {\ částečné x_ {k}}}. {\ frac {\ částečné x' _ {j}} {\ částečné x_ {l}}} g '^ {ij } \ to g = J ^ {2} .g '}$

Proto: ${\ displaystyle J = {\ frac {| g | ^ {\ frac {1} {2}}} {| g '| ^ {\ frac {1} {2}}}}}$

Jedná se tedy o konstantu pole s ohledem na změny referenčních rámců. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '= \ int L'.Jd \ Omega \ to L = L'.J \ to L. | g | ^ {- { \ frac {1} {2}}} = L '. | g' | ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ Lambda}$

Cílem je tedy najít skaláry pole, neměnné ve srovnání se změnami referenčních snímků.

Zaznamenáním skaláru pole, neměnného ve srovnání se změnami referenčních rámců, bude Lagrangeova hustota: $\ Lambda$ ${\ displaystyle \ L = \ Lambda. | g | ^ {\ frac {1} {2}}}$

Definice z Riemann a Ricci tensors a zakřivení

Na způsob Élie Cartan

Z matematického hlediska je čtyřrozměrný prostor definovaný výše uvedenými úvahami potrubí C 2, kde čtyřrychlostní jsou vektory patřící do vektorového prostoru tečny k bodu, kde jsme odvodili, přičemž tento vektorový prostor je opatřen metrikou . ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Připomeňme si, že souřadnice jsou souřadnice bodů potrubí, opatřených libovolným souřadnicovým systémem, představujícím libovolnou volbu fyzického referenčního rámce pozorovatele. ${\ displaystyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$

Měření gravitace, které ovlivňuje geodetiku, lze provést pomocí rozdílu v orientaci mezi dvěma vektory, který je výsledkem transportu jednoho původního vektoru dvěma různými geodetickými cestami ke stejnému koncovému bodu.

Rovnice geodetiky je ekvivalentní k . ${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {dV_ {k}} {dt_ {0}}} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}$

Protože jsme odečetli ; s vědomím, že máme, jak to vidíme z jeho definice, můžeme také napsat .

{\ displaystyle V_ {j} = {\ frac {dx_ {j}} {dt_ {0}}}}

{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} dx_ {j}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} = \ Gamma _ {k} ^ {ji}}

{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {i} V_ {j}}

Podobně dostaneme

{\ displaystyle dV ^ {k} = - \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dx ^ {j}}

O vektoru se říká, že je transportován rovnoběžně s geodetikou, pokud se změny jeho souřadnic ověří, když se pohybuje po geodetice. ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}$ ${\ displaystyle dA_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ {j}}$ ${\ displaystyle \ (dx_ {j}) _ {j = 0; 1; 2; 3}}$

Podrobnosti o metodě Elie Cartana

Z kteréhokoli bodu M potrubí, zvažte dvě nekonečně malé variace a podél libovolných dvou geodetik a zvažte dvě odlišné cesty, které střídavě používají jednu z těchto geodetik. $\ d$ ${\ displaystyle \ \ delta}$

1 st cesta:

{\ displaystyle M (x_ {i}) \ až M_ {1} (x_ {i} + dx_ {i}) \ až M_ {2} (x_ {i} + dx_ {i} + \ delta (x_ {i } + dx_ {i}))}

2 e cesta:

{\ displaystyle M (x_ {i}) \ až M '_ {1} (x_ {i} + \ delta x_ {i}) \ až M' _ {2} (x_ {i} + \ delta x_ {i } + d (x_ {i} + \ delta x_ {i}))}

Aby těchto dvou cest na konci na stejném místě, se předpokládá, že , který je dosažitelný, protože geodetiky použity z bodů a jsou libovolné.

{\ displaystyle \ d \ delta x_ {i} = \ delta dx_ {i}}

{\ displaystyle \ M_ {1}}

{\ displaystyle \ M '_ {1}}

Studujme variace souřadnic vektoru přepravovaného paralelně po každé z cest: ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}$

1 st cesta:

{\ displaystyle \ A_ {i} \ do A_ {i} + dV_ {i} \ do A_ {i} + dA_ {i} + \ delta (A_ {i} + dA_ {i}) = A_ {i} + dA_ {i} + \ delta A_ {i} + \ delta dA_ {i} = W_ {i}}

2 e cesta:

{\ displaystyle \ A_ {i} \ do A_ {i} + \ delta A_ {i} \ do A_ {i} + \ delta A_ {i} + d (A_ {i} + \ delta A_ {i}) = A_ {i} + \ delta A_ {i} + dA_ {i} + d \ delta A_ {i} = W '_ {i}}

My máme :

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = \ delta dA_ {i} -d \ delta A_ {i} = \ delta (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ { j}) - d (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} \ delta x_ {j})}

Po několika výpočtech dostaneme:

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = (\ částečné ^ {j} \ gama _ {i} ^ {lk} - \ částečné ^ {l} \ gama _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ {p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}) dx_ {j} \ delta x_ { k} A_ {l}}

Definujeme Riemannův tenzor : ${\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ částečné ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ částečné ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}$

Rovnost naznačuje, že tento tenzor měří rozdíl mezi dvěma vektory vznikajícími ze stejného původního vektoru paralelním transportem dvěma různými cestami.

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = R_ {i} ^ {jkl} dx_ {j} \ delta x_ {k} A_ {l}}

{\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}

Definujeme Riemannův tenzor podle:

${\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ částečné ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ částečné ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}$

Ricci tensor je zkracování Riemann tensor: ${\ displaystyle R ^ {ij} = R_ {k} ^ {ikj}}$

Jeho vzorec ukazuje, že se jedná o symetrický tenzor:

{\ displaystyle \ R ^ {ij} = R ^ {ji}}

Riemannian zakřivení je číslo získané kontrakcí Ricci tensor: ${\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}$

Všechny rovnosti použité v „ podrobnostech metody Élie Cartana “ jsou nezávislé na zvoleném referenčním rámci, a to platí i pro definice Riemannova a Ricciho tenzoru (proto je také nazýváme tenzorem ). To je také případ zakřivení, které je tedy kandidátem na invariantní skalár gravitačního pole. $\ R$ $\ Lambda$

Élie Cartan prokázala, že skaláry invariantní změnou referenčního rámce mají tvar . ${\ displaystyle \ \ alpha R + \ beta ~}$

{\ displaystyle ~ \ \ alpha}

jednoduše naznačuje, že změna jednotky je vždy možná, umožňuje zavést kosmologickou konstantu .

{\ displaystyle \ \ beta}

Analytické nástroje

Aplikace principu setrvačnosti v zakřiveném prostoru

Aby byla naše práce skutečně důsledkem principu nejmenší akce, spočívá zde použitá metoda v určování vlastností potrubí z metriky jeho tečných prostorů.

Tečné vektorové prostory (dimenze 4) jsou opatřeny jejich „přirozeným“ základem { }: pokud je bodem, kde uvažujeme tečný prostor, představujeme ; co často píšeme . ${\ displaystyle \ \ {{\ vec {e}} ^ {~ 0}; {\ vec {e}} ^ {~ 1}; {\ vec {e}} ^ {~ 2}; {\ vec {e }} ^ {~ 3}}}$ ${\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ vlevo (~ {\ frac {\ částečné x_ {j}} {\ částečné x_ {i}}} ~ \ vpravo) _ {j = 0, 1,2,3}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ frac {\ částečné ~} {\ částečné x_ {i}}}}$

Geodetické rovnice jsou vlastnosti vztahující se k souřadnicím nebo kvadri-rychlosti podél této trajektorie, nedávají indikaci pro variaci (derivaci) kvadri-vektoru z jednoho bodu do druhého prostoru, ani pro derivaci kvadri-rychlostního vektoru .

{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {dt_ {o}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {ds}}}

{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i}}

{\ displaystyle {\ vec {V}} = V_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}

K tomu můžeme použít fyzikální princip přepsaný k měření obecné relativity:

Princip setrvačnosti : podél geodetické části a při absenci vnějšího zásahu je (kvadri-) vektor rychlosti částice konstantní.

To znamená:

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Dostaneme:

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}} = dV_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec {e} } ^ {~ i} = - \ Gamma _ {i} ^ {jk} dx_ {j} V_ {k}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec { e}} ^ {~ i}}

Počáteční rychlost quadri-vektoru je libovolná, získá se:

${\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ gama _ {k} ^ {ij} dx_ {j} {\ vec {e}} ^ {~ k}}$

Analýzou rovnic geodetiky nebo zohledněním skutečnosti, že „osy“ souřadnic nemusí být nutně geodetické, nemůžeme potvrdit, že souřadnice vektoru quadri-speed jsou konstantní. O výběru

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Odvodit znamená „určit čáru, která označuje směr pohybu“. Celý problém spočívá v tom, vědět, co je přímka, když je souřadný systém libovolný, dokonce i v zakřiveném prostoru; jakmile jsou řádky určeny, lze definovat derivaci.
V rámci, který nás zajímá, je-li experimentátor v Minkowského prostoru a zvolil jakýkoli souřadný systém, který by tam případně vyvolal gravitaci, jsou derivační přímky Minkowského prostoru, které jsou také liniemi setrvačného pohybu. Pokud nedefinujete novou derivaci, je zásadní rovnost . ${\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}$
Pokud je experimentátor v referenčním rámci, kde existuje gravitace, a při absenci informací o příčinách této gravitace (kvůli hmotnosti nebo kvůli zrychlenému referenčnímu rámci nebo oběma), jediné přímé čáry, ke kterým jako fyzik má přístup k setrvačnému pohybu: derivaci proto definuje . ${\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}$

Ale tato volba je založena na předpokladu, že setrvačný pohyb ve svém referenčním rámci skutečně sleduje přímku. Pokud experimentátor zvolí osy svého referenčního rámce jako přímky, uloží proto , že pozorovaný „setrvačný“ pohyb není přímý ( ) a lze jej interpretovat v důsledku síly (gravitace).

{\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ vec {0}}}

{\ displaystyle d {\ vec {V}} \ neq {\ vec {0}}}

Tyto dvě volby, stejně jako ostatní, které si člověk dokáže představit, jsou platné pouze lokálně: První lokálně asimiluje gravitaci na zrychlený referenční rámec v Minkowského prostoru, druhý předpokládá sílu v prostoru zpočátku vpravo; dvě možnosti, které svým způsobem narovnávají časoprostor, což lze provést pouze lokálně. Kovarianční derivace

Dovolit být quadri-vektor v prostoru tečny k bodu . ${\ displaystyle {\ vec {A}} (x) = A_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}$ ${\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$

My máme : ${\ displaystyle d {\ vec {A}} (x) = (dA_ {i}) {\ vec {e}} ^ {~ i} + A_ {i} d ({\ vec {e}}} ^ { ~ i}) = (\ částečné ^ {j} A_ {i} + A_ {k} \ gama _ {i} ^ {jk}) {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j} = D ^ {j} A_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j}}$

Definováním kovariantní derivace jako:

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ částečné ^ {j} A_ {i} + \ gama _ {i} ^ {jk} A_ {k}}$

Vlastnictví :

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {il} = \ částečné ^ {j} A_ {il} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {kl} + \ Gamma _ {l} ^ {jk} A_ {ik}}$

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} ^ {l} = \ částečné ^ {j} A_ {i} ^ {l} + \ gama _ {i} ^ {jk} A_ {k} ^ {l} - \ Gamma _ {k} ^ {jl} A_ {i} ^ {k}}$

A tak dále se všemi indexy tenzoru podle jejich pozic.

Kde najdeme Riemannovy tenzory atd.

Pomocí kovariantní derivace, a po několika výpočty, najdeme: . ${\ displaystyle \ left (D ^ {i} D ^ {j} -D ^ {j} D ^ {i} \ right) A_ {k} = R_ {k} ^ {l, ij} dx_ {i} dx_ {j} A_ {l}}$

Získáváme tak již zavedené koncepty „na způsob Elie Cartana“.

Rovnosti a užitečné vlastnosti

Ricciho věta: a ${\ displaystyle \ D_ {k} g ^ {ij} = 0 ~ \ quad ~}$ ${\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}$

Pózováním máme: ${\ displaystyle \ g = \ det (g ^ {ij}) \ qquad}$ ${\ displaystyle | g | = -g \ qquad g ^ {ij} .g_ {ij} = \ delta _ {i} ^ {i} = 4 \ qquad \ dg = g ~ g_ {ij} ~ dg ^ {ij }}$

Ostrogradského věta:, když je tenzor. ${\ displaystyle \ int _ {V} {\ sqrt {-g}} ~ D_ {i} A ^ {i} ~ d \ Omega = \ anint _ {\ částečné V} {\ sqrt {-g}} A ^ {i} ~ dS_ {i}}$ ${\ displaystyle \ A ^ {i}}$

Návrh demonstrací rovnosti

Součet, rozdíl a Einsteinův součet tenzorů definovaných ve stejném tečném prostoru dává tenzor; na druhou stranu, pokud jde o tenzory definované v různých tečných prostorech, není jisté, že to dá tenzor.

Například: Christoffelův symbol je definován z metrického tenzoru. Geodetická rovnice nám ukazuje, že ji lze definovat pomocí, která, i když je tenzor, je konstruována rozdílem mezi dvěma tenzory (kvadri-vektory a ) definovanými ve dvou různých tečných prostorech: Christoffelův symbol, on, není tenzor konkrétní případy), jak je možné ukázat pomocí definičního vzorce.

{\ displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} .V_ {k} = \ částečné ^ {j} V_ {i}}

{\ displaystyle \ \ částečné ^ {j} V_ {i}}

{\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m})}

{\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m} + dx_ {m})}

Tenzorická rovnost prokázaná v kterémkoli bodě, ale s použitím konkrétního referenčního rámce, je v tomto bodě a pro všechny referenční rámce skutečnou rovností: to je hlavní zájem použití tenzorů.

Například v jakémkoli bodě existuje referenční rámec v beztíže (ve volném pádu v gravitačním poli), to znamená pro kterou . V takovém referenčním rámci máme a kdy je tenzor: který je jednodušší použít k ospravedlnění tenzorové rovnosti, která bude platná bez ohledu na referenční rámec.

{\ displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} = 0}

{\ displaystyle R_ {i} ^ {j, kl} = \ částečné ^ {j} \ gama _ {i} ^ {lk} - \ částečné ^ {l} \ gama _ {i} ^ {jk}}

{\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ částečné ^ {j} A_ {i}}

{\ displaystyle \ A_ {i}}

Einsteinovy rovnice gravitačního pole ve vnějším případě

Tenzory se používají k zajištění toho, aby rovnosti byly pravdivé bez ohledu na pozorovací bod fyzika a bez ohledu na jeho referenční rámec. Tenzory přenášejí pouze informace související s bodem pozorování a jeho tečným prostorem, najednou jsou informace, které se tam používají a které jsou z nich vytvářeny, pouze lokální: jsou to informace o tenzorech, kromě všeobecně platných údajů, jako je konstanta c, G a další, které tam najdete.

Prvním případem polních rovnic je případ, kdy neexistuje hmota (lokálně): hovoří se o „vnějším případu“, což znamená „na hmotu“.

V tomto případě je jedinou složkou akce složka gravitačního pole , kde je konstanta spojená s výběrem jednotek: u jednotek MKSA to vezmeme , znaménko je dáno principem minimalizace akce. ${\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}$ ${\ displaystyle \ K}$ ${\ displaystyle \ K = - {\ frac {c ^ {3}} {4 \ pi G}}}$ ${\ displaystyle \ -}$

Chcete-li najít rovnice gravitačního pole ve formě tenzorů hustoty energie, které jsou symetrické, je jednodušší transformovat Lagrangian podle integrálu akce, než použít rovnice Euler-Lagrange. Variační princip se aplikuje změnou podmínek metriky , což je Lagrangeův projev gravitace, podle výše uvedeného principu ekvivalence. ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Důkaz Einsteinových rovnic ve vnějším případě

Pomocí rovnosti máme ${\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}$

${\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ delta \ left ({\ sqrt {-g}}. g_ {ij} .R ^ {ij} \ right) d \ Omega}$ ${\ displaystyle = K [\ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. \ delta (g_ {ij }). R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. G_ {ij}. \ Delta (R ^ {ij}) d \ Omega]}$

Máme, protože ${\ displaystyle \ delta ({\ sqrt {-g}}) = {\ frac {- \ delta g} {2 {\ sqrt {-g}}}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} g.g_ {ik}. \ delta g ^ {ik} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}}. g ^ {ik} \ delta g_ {ik}}$ ${\ displaystyle g ^ {ik} .g_ {ik} = 4 \ to \ delta (g ^ {ik}). g_ {ik} = - g ^ {ik}. \ delta (g_ {ik})}$

Pro 1 st integrálu byl ${\ displaystyle \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega = \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) Rd \ Omega = - { \ frac {1} {2}} \ int g ^ {ij} .R. {\ sqrt {-g}}. \ delta g_ {ij} d \ Omega}$

2 nd tie je ponechán beze změny.

Pro 3 rd integrálu, ke zjednodušení výpočtů klademe sebe ve stavu beztíže referenčního rámce, a proto mají . (Ale obecně proto, že Christoffelův symbol není tenzor). ${\ displaystyle \ R ^ {ij} = \ částečné ^ {l} \ gama _ {l} ^ {ij} - \ částečné ^ {i} \ gama _ {l} ^ {lj}}$ ${\ displaystyle \ částečné ^ {l} \ gama _ {l} ^ {ij} \ neq D ^ {l} \ gama _ {l} ^ {ij}}$

Proto za předpokladu, že variace listů v tomto bodě ponechává referenční rámec bez váhy, což pro ně stále ponechává nekonečno možných variací . ${\ displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ delta \ částečné ^ {l} \ gama _ {l} ^ {ij} - \ delta \ částečné ^ {i} \ gama _ {l} ^ {lj} = \ částečné ^ {l} \ delta \ gama _ {l} ^ {ij} - \ částečné ^ {i} \ delta \ gama _ {l} ^ {lj}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

V jakémkoli úložišti, kde symbol je Christoffelův symbol ve stejném bodě jako, ale s upravenými termíny ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ vlevo (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ vpravo) '}$ ${\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '}$ ${\ displaystyle \ \ Gamma _ {l} ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

máme rozdíl mezi dvěma tenzory definovanými ve stejném bodě, tedy tenzor (na rozdíl od Christoffelova symbolu). ${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ částečné ^ {j} V_ {i} \ do \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} .V_ {j} - \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '. V_ {j} = \ částečné ^ {j} V_ {i} - \ vlevo (\ částečné ^ {j} V_ {i} \ vpravo) '}$ ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$

A pro tento tenzor, v referenčním rámci v beztížnosti (a ponechaný jako takový, v uvažovaném bodě variací ), tedy ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ částečné ^ {l} \ delta \ gama _ {k} ^ {ij} = D ^ {l} \ delta \ gama _ {k} ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ částečné ^ {l} \ delta \ gama _ {l} ^ {ij} - \ částečné ^ {i} \ delta \ gama _ {l} ^ {lj} = D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. [g_ {ij} .D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {ij} .D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}] = {\ sqrt {-g}}. [D ^ {l} \ vlevo ( g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) -D ^ {i} \ left (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj} \ right)] }$

protože a také ${\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}$ ${\ displaystyle ~ \ quad D ^ {k} g_ {ij} = 0 ~}$

odkud . ${\ displaystyle ~ \ quad {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} \ vlevo (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {lj}. \ delta \ Gamma _ {i} ^ {ij} \ right) = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ { já}}$

Proto pomocí Ostrogradského věty ${\ displaystyle \ int {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ {l} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. A_ {l} .dS ^ {l} = 0}$

Nulita posledního integrálu je způsobena skutečností, že se počítá na nadpovrchovém ohraničení objemu integrace, a skutečností, že variace jsou nulové na hranici integrace. ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Získáváme: ${\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ left (R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R \ right) {\ sqrt {-g}} . \ delta g_ {ij} d \ Omega}$

Princip nejmenší akce, který říká, že a jakékoli variace , člověk získá , co píše (a předvádí) často snížením indexů. ${\ displaystyle \ \ delta S_ {g} = 0}$ ${\ displaystyle \ \ delta g_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R = 0}$

Odvozené rovnice jsou:

${\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = 0}$

Provedením „kontrakce“ získáme , což neznamená, že prostor je plochý, ale že jde o minimální povrch se čtyřmi rozměry, roztažený mezi různými hmotami, které se tam vyvíjejí. ${\ displaystyle \ g ^ {ij} R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} .g_ {ij} R = 0}$ ${\ displaystyle \ R = 0}$

Einsteinovy rovnice v externím případě jsou tedy:

${\ displaystyle \ R_ {ij} = 0}$

Einsteinovy rovnice gravitačního pole ve vnitřním případě

Druhým případem polních rovnic je případ, kdy existuje hmota (lokálně): mluvíme o „vnitřním případě“, tedy „v hmotě“.

V tomto případě se akce skládá z působení gravitačního pole a působení hmoty, včetně elektromagnetického pole, které je zapsáno . ${\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}$ ${\ displaystyle \ S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ sqrt {-g}}. \ Lambda _ {m} d \ Omega}$

Důkaz Einsteinových rovnic ve vnitřním případě

Stejnou variační metodou s vědomím, že s využitím integrace po částech a Ostrogradského teorémem, který umožňuje psát v referenčním rámci v nulové gravitaci ${\ displaystyle \ \ delta \ částečné = \ částečné \ delta}$ ${\ displaystyle \ int \ částečné _ {l} [{\ frac {\ částečné \ levé ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ pravé)} {\ částečné \ levé (\ částečné _ {l } g_ {ik} \ right)}}] d \ Omega = \ int \ částečné _ {l} [{\ sqrt {-g}} {\ frac {\ částečné \ vlevo (\ Lambda _ {m} \ vpravo) } {\ částečné \ levé (\ částečné _ {l} g_ {ik} \ pravé)}}] d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}} {\ frac {\ částečné \ levé (\ Lambda _ { m} \ vpravo)} {\ částečné \ vlevo (\ částečné _ {l} g_ {ik} \ pravé)}} dS_ {l} = 0}$

Definováním tenzoru impulsní energie rovností ${\ displaystyle \ T ^ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} = {\ frac {\ částečný \ levý ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ right)} {\ částečné g_ {ik}}} - \ částečné _ {l} [{\ frac {\ částečné \ vlevo ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ vpravo)} {\ částečné \ levé (\ částečné _ {l} g_ {ik} \ pravé)}}]}$

Získáváme: ${\ displaystyle \ delta S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} \ delta g_ {ij } d \ Omega}$

Proto pózováním , a my jsme dospěli k závěru, stejně jako v externím případě . ${\ displaystyle \ chi = - {\ frac {1} {2c.K}}}$

Odvozené rovnice jsou:

${\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = \ chi T_ {ij}}$

S kontrakcí podobnou vnějšímu případu , s vědomím toho a pózováním , máme . Hlavní zakřivení je tedy úměrná celkové hustotě energie (nebo stopa tenzoru ). ${\ displaystyle \ g_ {ij} g ^ {ij} = 4}$ ${\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ R = - \ chi T}$ ${\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ T_ {ij}}$

Můžeme tedy také napsat:

${\ displaystyle \ R_ {ij} = \ chi \ vlevo (T_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} T \ vpravo)}$

Poznámky

Jean-Claude Boudenot pochází z roku 1916, strana 162 své knihy Électromagnétisme et gravitation relativistes , elipsa (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 ) ; v Lev Landau a Evgueni Lifchits , teoretická fyzika , t. 2: Teorie pole [ detail vydání ], Poznámka pod čarou §93 na začátku odstavce, se říká, že tuto metodu navrhl Hilbert již v roce 1915, což potvrzuje Jean-Paul Auffray str. 247 (odstavec Hilbert loví ryby ) ze své knihy Einstein et Poincaré , vydání Le Pommier , 1999, ( ISBN 2 746 50015 9 ) .
Elie Cartan, Journal of Pure and Applied Mathematics, 1, 1922, str. 141-203 .

Zdroje

Jean-Claude Boudenot; Relativistický elektromagnetismus a gravitace , elipsa (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 )
Jean-Louis Basdevant; Variační a dynamické principy , Vuibert (2005), ( ISBN 2711771725 ) .
Edgard Elbaz; Obecná relativita a gravitace , elipsa (1986).

Bibliografie

Lev Landau a Evgueni Lifchits , teoretická fyzika , t. 2: Teorie pole [ detail vydání ]
Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (v) a Matthew Sands (v) , Feynmanovy přednášky z fyziky [ publikování podrobnosti ] , Elektromagnetismus (I) , kap. 19, InterEditions, 1979 ( ISBN 2-7296-0028-0 ) ; rákos. Dunod, 2000 ( ISBN 2-10-004861-9 )
Florence Martin-Robine, Historie principu menší akce , Vuibert, 2006 ( ISBN 2711771512 )

Související články