Speciální relativita je teorie vyvinutá Albertem Einsteinem v roce 1905 , aby vyvodila všechny fyzikální důsledky galilejské relativity a princip , že rychlost světla ve vakuu má stejnou hodnotu ve všech galileových (nebo setrvačných ) referenčních rámcích. implicitně uvedeno v Maxwellových rovnicích (ale do té doby interpretováno mnohem odlišně, s Newtonovým „absolutním prostorem“ a éterem ).
Galileova relativita v moderním jazyce uvádí, že jakýkoli experiment provedený v inerciálním referenčním rámci probíhá naprosto stejným způsobem v jakémkoli jiném inerciálním referenčním rámci. Poté, co se stal „ principem relativity “, bude jeho tvrzení Einsteinem upraveno tak, aby bylo rozšířeno na neinerciální referenční rámce : z „omezeného“ se relativita stane „ obecnou “ a bude se také zabývat gravitací , kterou speciální relativita dělá nedělat ...
Speciální teorie relativity zavedla nové vzorce pro přechod z jednoho galileovského referenčního rámce do druhého. Odpovídající rovnice vedou k předpovědím jevů, které se střetávají se zdravým rozumem (ale žádná z těchto předpovědí nebyla zkušenostmi vyvrácena ), jednou z nejpřekvapivějších je zpomalení pohybujících se hodin , což umožnilo navrhnout často zmiňovaný myšlenkový experiment jako je paradox dvojčat . Tento jev se ve sci-fi pravidelně používá .
Speciální teorie relativity měla také vliv na filozofii tím, že vyloučila jakoukoli možnost existence absolutního času a trvání v celém vesmíru (Newton). Následovala Henriho Poincarého a přinutila filozofy klást otázku času a prostoru jinak .
V newtonovské mechanice se rychlosti přidávají při změně referenčního rámce : jedná se o transformace Galileo . Například pokud z rakety pohybující se od Země rychlostí 7 km / s vystřelí dělová koule dopředu rychlostí 1 km / s vzhledem k raketě, bude rychlost střely při pohledu ze Země 8 km / s ; pokud je míč stažen zpět, jeho pozorovaná rychlost ze Země bude 6 km / s .
Na konci XIX th století , James Clerk Maxwell stanovuje rovnice , kterými se řídí elektromagnetické vlny, včetně světelných vln. Podle této teorie by rychlost světla měla záviset pouze na elektrických a magnetických vlastnostech média, což představovalo problém v případě, že toto médium je vakuum, protože to naznačuje nezávislost rychlosti světla vzhledem k rámu odkaz měřicího přístroje: pokud je v příkladu výše vyzařován z rakety světelný paprsek dopředu nebo dozadu, bude rychlost světla měřená vzhledem k Zemi stejná, na rozdíl od rychlosti míče. Hypotéza éteru , média šíření světla, a tedy docela přirozená hypotéza, byla odstranit tuto vlastnost ze světla a zajistit její šíření kompatibilní s galileovskou relativitou. V roce 1887 provedli Michelson a Morley experiment k měření rychlosti Země ve vztahu k tomuto etheru: experiment podobný experimentu výše zmíněné rakety, kde roli samotné rakety hraje samotná Země . Chtěli měřit tuto rychlost zvýrazněním rozdílu v rychlosti světla mezi různými možnými směry šíření. Bez zjištění významného rozdílu se ukázalo, že výsledek tohoto experimentu je obtížně interpretovatelný, a to natolik, že jejich autoři zašli tak daleko, že si představovali nevysvětlitelnou kontrakci měřicích přístrojů v určitých směrech: speciální relativita to poté ospravedlní.
V transformační vzorce pro vyhovění pozorovatele do druhého byla stanovena Lorentz než 1904; šlo o rovnice kompatibility, jejichž význam nebyl jejich autorovi jasný. Jiní fyzici, například Woldemar Voigt (1887), zvolili podobný přístup ještě dříve. Henri Poincaré publikoval články představující teorii speciální relativity. . Rozdělení rolí toho či onoho vědce při vzniku speciální teorie relativity bylo předmětem kontroverzí , zejména v roce 2000.
V roce 1905 Albert Einstein ve svém článku O elektrodynamice pohyblivých těl popularizoval koncepty a relativitu prezentoval takto:
Výsledné Lorentzovy rovnice jsou v souladu s fyzickou realitou. Mají nezamýšlené důsledky. Pozorovatel tedy připisuje pohybujícímu se tělesu kratší délku, než je délka připisovaná tomuto stejnému tělesu v klidu, a doba jevů, které ovlivňují pohybující se těleso, se prodlužuje ve vztahu k této „stejné“ době měřené stacionárními pozorovateli ve vztahu k tělo.
Einstein také přepsal vzorce, které definují hybnost a kinetickou energii tak, aby jejich výraz byl neměnný v Lorentzově transformaci.
Čas a tři vesmírné souřadnice, které hrály v Lorentzových rovnicích neoddělitelné role, je Hermann Minkowski interpretoval ve čtyřrozměrném časoprostoru . Všimněme si však, že čas a prostor zůstávají různé povahy a že se tedy nemůžeme navzájem asimilovat. Například můžeme provést obrat v prostoru, když je to časově nemožné.
V roce 1912 byli Lorentz a Einstein nominováni na společnou Nobelovu cenu za práci na teorii. Doporučení pochází od laureáta Wien z roku 1911, který uvádí, že „ačkoli by Lorentz měl být považován za prvního, kdo našel matematický obsah principu relativity, Einsteinovi se ho podařilo zredukovat na jednoduchý princip. Měli bychom proto považovat zásluhy obou výzkumníků za srovnatelné “ . Einstein nikdy nedostal Nobelovu cenu za relativitu, tato cena se v zásadě nikdy neudělala za čistou teorii. Výbor proto čekal na experimentální potvrzení. Než k tomu došlo, Einstein přešel k další důležité práci.
Einstein bude nakonec v roce 1921 oceněn Nobelovou cenou za fyziku „za příspěvky k teoretické fyzice a zejména za objev zákona fotoelektrického jevu “ .
Einsteinova teorie je zaměřena na princip relativity, který se týká pozorování a měření jevů podle referenčního rámce, ze kterého pozorovatel (nebo měřicí zařízení) provádí měření na experimentu.
Speciální relativita zohledňuje pouze případ, kdy je pozorovatel v setrvačném referenčním rámci, ostatní referenční rámce jsou předmětem obecné relativity . Připomeňme si, že o referenčním rámci se říká, že je setrvačný, pokud jakýkoli objekt izolovaný od tohoto referenčního rámce (na který není vyvíjena žádná síla nebo na který je výslednice sil nulový) je buď stacionární nebo v rovnoměrném přímočarém translačním pohybu. Například: raketa ve vesmíru daleko od jakékoli hmoty představuje setrvačný referenční rámec, pokud není zapnutý žádný motor.
Dva postuláty speciální relativity jsou:
Prvním postulátem je vlastní princip relativity , který je ve své koncepci omezen na třídu setrvačných referenčních rámců. Formalizuje Galileovo pozorování, že jednotný přímočarý pohyb je „jako nic“ pro pozorovatele patřícího do pohyblivého referenčního rámce.
Druhý postulát formalizuje interpretaci Maxwellových rovnic, podle nichž neexistuje ether , a je v souladu s experimenty (v první řadě u Michelsona a Morleye ). Je to ekvivalent postulátu, že rychlost světla nezávisí na rychlosti zdroje světla v referenčním rámci pozorovatele. Jedním z důsledků je, že světlo může být použito stejným způsobem v jakémkoli setrvačném referenčním rámci jako komunikační prostředek k synchronizaci hodin, které tam stojí.
Můžeme se obejít bez druhého postulátu, abychom určili rovnice Lorentzových transformací za podmínky zavedení další hypotézy k prvnímu postulátu: časoprostor je homogenní a izotropní. Tuto skutečnost objevil již v roce 1910 Kunz a nezávisle Comstock. Dodatečná hypotéza vede ke skupině transformací, v závislosti na parametru c 2 , fyzicky homogenních k druhé mocnině rychlosti. Tyto transformace jsou identifikovány s transformacemi Galileo, pokud je c 2 nekonečné, a s Lorentzovými transformacemi, pokud je c 2 kladně konečné. Identifikace c při rychlosti světla, stanovená pozorováním jako konečná, má za následek druhý postulát. Jean-Marc Lévy-Leblond poukazuje na to, že tento přístup implikuje pouze existenci rychlostního limitu c , což je u všech nehmotných částic, a tedy světla v našich současných teoriích. Pokud by se ukázalo, že foton má hmotu (viz v tomto tématu fyzikální vlastnosti fotonu ), relativita (nebo přesněji její matematický popis) by nebyla zpochybněna, ale světlo by mělo rychlost o něco nižší než c , a který by závisel na referenčních rámcích, jakož i na energii fotonů, které jej tvoří, a tedy na jeho vlnové délce.
Synchronizace stacionárních hodin ve stejném setrvačním referenčním rámci umožňuje datovat zde pozorované události a definovat simultánnost pro tento referenční rámec, zatímco informace se k pozorovateli dostanou pouze se zpožděním, protože cestují až na doraz možné. rychlostí světla .
Ale dva hodiny pohybující se vůči sobě navzájem nelze synchronizovat, simultánnost není stejná pro dva inerciální referenční rámce pohybující se vůči sobě navzájem.
Jak můžeme mít jistotu, že mají stejný systém pro měření času a délek, jsou uvedeny dva setrvační referenční rámce v jednotném přímočarém vzájemném překladu?
Fenomén „ zpomalení pohybujících se hodin “ neumožňuje synchronizovat pohybující se hodiny s těmi, které jsou stacionární v referenčním rámci pozorovatele .
Domníváme se, že dvě referenční rámce a první frame of reference jsou poháněny rychlostí vzhledem k vztažné soustavě . Pro zjednodušení výpočtu nejprve pracujeme v rámci tzv. „Zvláštních“ transformací, charakterizovaných skutečností, že osové systémy x, y, z a x ′, y ′, z ′ jsou paralelní, že osy O ′ X ' a Ox jsou společné a rovnoběžné s rychlostí a za předpokladu, že když došlo ke sloučení prostorových počátků dvou referenčních rámců, hodiny (fixované v příslušných referenčních rámcích, na O a O') naznačovaly t = 0 a t ′ = 0 (inicializace hodin). Toto omezení nijak neubírá na obecnosti výsledků. Níže napíšeme vzorce vztahující se k rychlosti ukazující jakýmkoli směrem.
Einsteinovy hypotézy vedou k takzvaným „ Lorentzovým “ transformacím . Tyto Lorentz vzorce umožňují vyjádřit souřadnice ( x , y , z , t ) dané události v „pevné“, odkaz (říci Zemi) na základě souřadnic ( x ‚ y‘ , z ' , T' ) z stejná událost v „mobilním“ úložišti (řekněme raketa). Jsou psány:
kde a jsou bezrozměrné faktory definované pomocí
Tyto výrazy jsou zjednodušené a mají podobu rotace, pokud se do hry dostanou hyperbolické funkce parametru θ , zvané rychlost , což je úhel „rotace“ v Minkowského prostoru , definovaný
S těmito zápisy dostaneme a
K získání vzorců odpovídajících inverzní transformaci stačí změnit β na - β , a tedy θ na - θ .
Recept: Chcete-li najít znaménko, které chcete umístit před sinh θ , vše, co musíte udělat, je zvážit bod v klidu v jednom z referenčních rámců (řekněme například rakety, například x ′ = 0) a podívejte se co musí být znaménko prostorové souřadnice v druhém referenčním rámci (řekněme pevný referenční rámec, ve kterém x roste, pokud má raketa kladnou rychlost).
Lorentzovy transformace pro libovolný směr rychlosti
Pokud speciální transformace zjednoduší analytickou studii, nezhorší to obecnost. Lze snadno přejít do případu, kdy pohyblivé referenční rámce nejsou navzájem rovnoběžné a mají jakoukoli orientaci vzhledem k jejich relativní rychlosti . Vektor je vždy možné rozložit ve dvou směrech: ten rovnoběžný s posunem a ten ortogonální k tomuto . Takže máme:
Ptáním
Lorentzovy transformace dávají:
Což vede k
Tak jako
máme (vektorovým vynásobením )
Jeden tak získá vyjádření obecných transformací Lorentze ve formě:
Lorentzovy transformace vedou k revoluční vizi fyziky a odhalují jevy, které se střetávají se zdravým rozumem.
V následujících příkladech budeme vedeni k tomu, abychom zvážili dvě po sobě jdoucí události. Proto budeme přepisovat předchozí vzorce nahrazením x i t o ? X a At představující prostorové nebo časové rozdíly mezi první události a druhý.
Relativita simultánnostiRelativita omezuje pojem simultánnosti na události viděné z jednoho galileovského referenčního rámce: pokud jsou dvě události simultánní v , ve dvou různých bodech , pak obecně již nejsou simultánní v jiném referenčním rámci pohybujícím se s ohledem na. .
Lorentzovy transformace to umožňují zajistit: obecně víme, že pokud tedy v referenčním rámci , pak v referenčním rámci máme if .
Můžeme si všimnout, že pokud je v úsečce spojující dva body kolmé na relativní rychlost mezi dvěma referenčními rámci, to znamená , ale a / nebo , pak jsou tyto dvě události současně v jednom než v druhém úložiště. Toto je příklad ukazující, že v relativnosti měření při přechodu z jednoho referenčního rámce do druhého existují rozdíly v účincích mezi směrem relativní rychlosti mezi těmito dvěma referenčními rámci a kolmými směry.
Prodloužení trváníČasový interval mezi dvěma událostmi v jednom referenčním rámci se měří jinou veličinou v jiném referenčním rámci, pokud je druhý v pohybu vzhledem k prvnímu. Tak hodiny pohybující se ve vztažné soustavě se zdají být pomalejší ve srovnání s identickým hodiny, ale stále v této vztažné soustavě.
Experimentální ověření provedli v roce 1960 fyzici Robert Pound a Glen Rebka zrychlením atomů z radioaktivního krystalu vibrujícího kolem jejich rovnovážné polohy zvýšením tepla, což poskytlo menší měření frekvence emitovaných gama paprsků (tj. řekněme rozšíření jejich období), přičemž měření jsou v souladu s prognózami s 10% chybou.
Potom se zdá paradox: jak je možné, že hodiny zpomalují, když jsou viděny z , a že, symetrií, hodiny zpomalují, když jsou viděny z ? To nepředstavuje problém: každý referenční rámec vidí, že druhý pracuje pomalou rychlostí, a pokud dojde k společnému vynulování hodin dvou referenčních rámců, každý uvidí, co pochází z minulosti druhého ve vztahu k času. uplynul na svých nehybných hodinách. Případ, kdy mezi dvěma hodinami je schůzka, pak vzdálenost a pak nová schůzka, což umožňuje porovnat čas, který uplynul mezi dvěma schůzkami v jedné a druhé v těsné blízkosti, je předmětem paradoxu dvojčat .
Kontrakce délekPředpokládejme, že délka lišty L je nehybná v úložišti , orientované ve směru relativní rychlosti mezi referenčním a a zda měří, mimochodem , za použití stacionární pravidlo v úložišti . Toto měření poskytne výsledek menší než L : v referenčním rámci je lišta v pohybu a je měřena kratší než jeho vlastní délka.
Tyto transformace Lorentzova jsou, za předpokladu, že paralelně rychlosti k ose (ox) a nastavení a :
Pro měření provedené v referenčním rámci máme a dostaneme .
Všimněte si, že a : měření délek kolmých na relativní rychlost mezi referenčními snímky se nezmění.
Ukážeme také nesimultánnost stanovení konců při pohledu z druhého referenčního rámce : což umožňuje říci, že při pohledu z referenčního rámce v pohybu není měření provedené v tom, kde je pravidlo stacionární, dobré Hotovo.
Stejně jako při zpomalení pohybujících se hodin můžeme narazit na mnoho paradoxů. Jedním z nejznámějších vztahů k této relativistické kontrakci délek je automobil, který se má vejít do garáže kratší, než je ta, za předpokladu, že je poháněn dostatečně rychle: paradox vlaku .
Jednoduchý obrázekV následujícím experimentu, který jednoduchým způsobem ilustruje dilataci času předpovězeného speciální relativitou, uvažujeme o fotonových hodinkách, ve kterých se světelné zrno pohybuje sem a tam mezi dvěma zrcadly rychlostí c světla.
Doba trvání zpáteční cesty v referenčním rámci se rovná kvocientu cesty provedené v tomto referenčním rámci rychlostí světla, která nezávisí na referenčním rámci. Pokud jsou hodinky fixovány vzhledem k pozorovateli, odpovídá dráha klidové vzdálenosti mezi oběma zrcadly a trvá 2 t . Pokud se hodinky pohybují relativně k pozorovateli, ten uvidí foton sledovat přerušovanou čáru delší než segment cestovaný v předchozím referenčním rámci. Je 2 t ' trvání cesty, je vyšší než 2 t : pohyblivá hodinky se zpožděním (je dilatace času ).
Délka přepony pravoúhlého trojúhelníku ABH na obrázku je ct ', výška výšky je ct a délka základny je vt ', pokud v „pevném“ rámci označíme v rychlost překladu hodinek referenčního. Proto máme ( Pythagorovu větu ):
odkud okamžitě čerpáme
Jednoduše tedy najdeme předchozí vzorec udávající dilataci času .
Vzhledem k tomu, že rychlost světla je přibližně 300 000 km / s, má letoun letící rychlostí 0,3 km / s (tj. 1 000 km / h ) rychlost blízkou jedné miliontině rychlosti světla, takže chyba spáchaná pomocí galilejské aproximace je menší než miliontina miliontiny (nebo 10–12 ), v současné praxi zcela zanedbatelná. U velmi přesných měření doby cestování používaných při vesmírných experimentech a také pomocí GPS je však nutné brát v úvahu relativistické korekce (jak speciální relativity, tak obecné relativity).
Pro tělo pohybující se rychlostí rovnou desetině rychlosti světla je relativistický efekt řádově jedno procento. Relativistické efekty se tak stávají významnými pouze pro rychlosti blízké rychlosti světla, které nelze dosáhnout v každodenním životě (ale ne v laboratoři: naopak, urychlovače částic umožňují dosáhnout rychlostí až několika metrů. Za sekundu méně než pouze c ). To je jeden z důvodů, proč máme potíže s konkrétním pochopením fungování speciální relativity.
Relativistická teorie může budit dojem (i když jen svým jménem), aby věci zcela závisly na referenčním rámci (setrvačném), ze kterého se měření provádějí. Naopak speciální relativita se pokouší identifikovat to, co je invariantní, změnou souřadnic. Z tohoto pohledu je invariance časoprostorového intervalu mezi dvěma událostmi zakládajícím prvkem relativistické teorie.
V referenčním rámci je událost charakterizována svými časoprostorovými souřadnicemi : „takové a takové místo, takový okamžik“. Dvě události umístěné příslušně na x 1 , y 1 , z 1 , t 1 a na x 2 y 2 , Z 2 , t 2 jsou odděleny "prostorově časový interval", jehož čtverec je definován pomocí
Budeme psát jednodušeji
Tato veličina , nazývaná „čtverec časoprostorového intervalu“, je relativistickým invariantem : její hodnota nezávisí na setrvačném referenčním rámci, ve kterém je vyhodnocována, což ukazují Lorentzovy transformace .
V důsledku přítomnosti znaménka „-“ ve vzorci tohoto „čtverce“ se to může ukázat jako kladné nebo záporné: název „čtverce“ je pouze běžný . To je to, co dělá celý rozdíl s druhou mocninou euklidovské vzdálenosti, která je vždy kladná: veličiny a jsou „skutečné“ čtverce, a jako takové pozitivní.
Znamení časoprostorového invariantu Δ s 2 umožňuje klasifikovat dvě události vůči sobě navzájem, zobrazované světelným kuželem , tato klasifikace má absolutní charakter a odpovídá jejich možnosti nebo ne d 'být spojen a příčinná souvislost .
Čas a prostor hrají symetrické role v časoprostorovém intervalu, takže je logické je měřit stejným způsobem. Toto je hledisko přijaté novou definicí rychlosti světla , která, když je stanovena libovolně, stanoví de facto ekvivalenci mezi délkou a časem tím, že předefinuje metr od druhého . Konkrétně, protože rychlost světla je v každém setrvačném referenčním rámci stejná, je možné měřit vzdálenost nebo čas buď v centimetrech nebo v sekundách.
Správný čas hodin je čas, který plyne rychlostí, jakou je zobrazuje. Správný čas částice je správný čas hodin, které by byly na svém místě, je to čas, který prochází v referenčním rámci, kde jsou nehybné. Kvůli „zpomalení pohybujících se hodin“ se pozorovatel (alespoň v inerciálním referenčním rámci) domnívá, že vlastní čas hodin je zpomalen ve vztahu k jeho vlastnímu času, pokud není sám pozorovatelem. . Správný čas referenčního rámce je obecně znám .
V referenčním rámci (údajně setrvačném), kde je stacionární, má částice tok vlastního času a variace jeho prostorových souřadnic jsou nulové a při pohledu z jiného setrvačného referenčního rámce jsou tyto variace a . Vzhledem k invariance čtverci prostorově časový interval, máme tedy : správný čas a prostor-časový interval jsou stejné, a to až do koeficientu . Alespoň proto je správný čas neměnný změnou referenčního rámce.
A jako , pak kde je relativní a konstantní rychlost mezi dvěma referenčními rámci, vzorec, který člověk najde přímo transformacemi Lorentze.
Stejně jako správný čas je kratší než čas referenčního rámce, kde měření provádí pozorovatel: je to zpomalení pohybujících se hodin .
Je tedy třeba poznamenat, že částice pohybující se rychlostí světla není ve správném čase, nebo že její vlastní čas neteče: . Pohyb rychlostí světla, a tedy absence správného času, se ve skutečnosti týká pouze částic s nulovou hmotností .
V newtonovské mechanice je prostor oddělen od času a my studujeme pohyb částice jako funkci absolutního času. Graficky znázorňujeme trajektorii v prostoru, ale nikdy v čase, a tato trajektorie může mít například tvar přímky nebo elipsy .
Ve speciální relativitě jsou události sledovány v 4-dimenzionálním prostoru, tři v prostoru a jeden v čase, a proto je v nejobecnějším případě nemožné vizualizovat křivku představující posloupnost událostí odrážejících posun částice v čase a ve vesmíru . Tato křivka se nazývá vesmírná čára částice. Abychom překonali obtížnost reprezentace 4 dimenzí, často se omezujeme na 2 dimenze, jednu z prostoru a jednu z času. Jinými slovy, budeme uvažovat o pohybu pouze podél x- osa , v y a Z souřadnic nemění. Pak zůstanou pouze proměnné x a t , které umožňují nakreslit v dvourozměrném kartézském souřadnicovém systému trajektorii částice v časoprostoru: její vesmírnou linii.
Pozoruhodné je, že vesmírná čára částice v klidu již není jediným bodem, ale úsečkou času. Ve skutečnosti, pokud se částice nepohybuje ( x = konstantní), čas pokračuje během uvažovaného období!
Minkowského diagram inerciálního referenčního rámce. Žlutě cesta fotonu x = ct, c = rychlost světla .
Jsou znázorněny tři referenční rámce: prostorová souřadnice a časová souřadnice pro každý z nich.
Správný čas cesty je vypracován větší než doba referenčního framu, vzhledem k tomu, že je kratší: jedná se o omezení tohoto grafického znázornění.
Pokud úsečka představuje v tomto diagramu pohyb konstantní rychlostí, jedná se obecně o křivku, která převede pohyb částice.
Úsečka mezi „odjezdem“ a „příchodem“ podél časové osy představuje vesmírnou linii Země, jejíž prostorová souřadnice, která se rovná 0, se nemění. Zakřivená čára představuje sled událostí tvořících cestu rakety. Křivočará souřadnice, která umožňuje lokalizovat bod na této křivce, je správný čas rakety, který se měří palubními hodinami.
Relativistické vzorce ukazují, že správný čas podél křivkové dráhy je kratší než správný čas podél přímočaré dráhy (zde ten, který představuje pozemský čas). Tento jev je základem paradoxu dvojčat . Jeden z bratrů provede okružní cestu rychlostí blízkou světlu (což je také nemožné dosáhnout, ale je to imaginární zážitek ), zatímco jeho bratr zůstává na Zemi. Na zpáteční cestě se cestovatel ocitne mladší než jeho bratr.
V raketě pohybující se rychlostí relativní k Zemi je dělová koule vystřelena rychlostí měřenou v raketě. Jaká je rychlost koule měřená na Zemi?
V Galilean kinematice jsou rychlosti přidány a my bychom měli
V relativistické kinematice je zákon složení rychlosti jiný:
Za předpokladu, že píšeme a Nebo ve vektorovém zápisu můžeme rozložit rychlost dělové koule na paralelní rychlost a ortogonální rychlost , získáním . Buď ve vektorovém zápisu:
V rakety, je vzdálenost Δ x urazí míč v době Δ t je
Pomocí Lorentzových vzorců
a nahrazením Δ x jeho hodnotou můžeme snadno najít rychlost koule v pozemském referenčním rámci ve tvaru:
Proto vzorce.Tento vztah ukazuje, že zákon složení rychlostí ve speciální relativitě již není aditivním zákonem a že rychlost c je omezující rychlost bez ohledu na uvažovaný referenční rámec (lze snadno ověřit, že složení dvou rychlostí menších nebo rovných c je stále menší nebo rovno c ).
V případě, že jsou obě rychlosti a jsou paralelní , existuje nastavení parametrů, které umožňuje získat aditivní zákon. K tomu stačí přepnout z rychlosti v na dříve zavedený parametr úhlové rychlosti θ , který se nazývá rychlost .
Ukažme, že ve složení rychlostí jsou přidány úhlové parametry rychlosti.
Pózování , , a podle vzorce přidávání hyperbolické funkce , zjistíme,
Úhlová parametr odpovídající rychlosti c , je nekonečný, protože artanh ( x ) je hyperbolický tangens argumentu z x , inklinuje k nekonečnu, když x má sklon k 1. Proto je zde skutečnost, že c je omezena rychlost nezávisle na zvolené referenční rámec ... Tohoto rychlostního limitu je nemožné dosáhnout u masivní částice, pouze částice s nulovou hmotností, jako je foton , se mohou pohybovat rychlostí světla.
Digitální aplikacePředstavme si, že koule je vystřelena rychlostí w ' = 0,75 c do referenčního rámce samotné rakety pohybující se rychlostí v = 0,75 c vzhledem k Zemi. Jaká je rychlost koule měřená na Zemi? Je zřejmé, že hodnota 1,5 c, kterou by nám dal galileovský vzorec, je falešná, protože získaná rychlost by překročila rychlost světla. Relativistické vzorce nás vyzývají, abychom postupovali následovně. Parametrický úhel rychlosti skořápky vzhledem k raketě je Parametrický úhel rychlosti rakety vzhledem k Zemi má stejnou hodnotu . Rychlost skořápky vzhledem k Zemi je tedy ta , která odpovídá rychlosti
Zjevně můžeme tento výsledek najít přímo na vzorci dávajícím w jako funkci w ' a v .
V newtonovské mechanice studujeme pohyb mobilního telefonu sledováním jeho polohy jako funkce času t , přičemž se tento čas považuje za absolutní, nezávisle na hodinách, které jej měří. V relativitě opouštíme tento pohled na věci, abychom považovali pohyb částice za posloupnost událostí , křivka popsaná touto událostí ve čtyřrozměrném prostoru (tři pro prostor, jedna pro čas), poté převzato název „vesmírná řada ".
Stejně jako v klasické mechanice definujeme rychlost částice pomocí derivace
polohy vzhledem k času, stejným způsobem v relativistické mechanice definujeme vektor rychlosti ve čtyřech rozměrech (nebo kvadrivektorové rychlosti)
kde je správný čas částice.
Vysvětlením komponent tohoto kvadrivektoru v daném referenčním rámci můžeme psát
výraz, ve kterém jsme zavedli faktor c pro práci s homogenními souřadnicemi.
Kvůli invariance čtverce časoprostorového intervalu změnou setrvačného referenčního rámce je čtverec pseudo-normy čtyřnásobné rychlosti také invariantní změnou referenčního rámce. A stejně jako ve specifickém setrvačném referenčním rámci (tangenciálním a okamžitém) částice, pouze časová část čtyřnásobné rychlosti částice není nula a má hodnotu c (protože čas tohoto referenčního rámce je jeho vlastní čas a jeho rychlost je nulová): quadrivector rychlosti má komponenty (c, 0, 0, 0). V důsledku toho v jakémkoli galileovském referenčním rámci budeme mít vztah
čtverec pseudonormy = (časová část ) 2 - (prostorová část ) 2 = c 2 .Je to invariance této normy, která umožňuje mluvit o kvadrivektoru částice nezávisle na jakémkoli souřadném systému.
Stejně jako hybnost částice, jejíž variace je anglicismem mylně nazývána „impuls“, byla produktem „ hmoty rychlostí“, byl také produktem „m “ kvadrivektorové rychlosti „ „ hmotou “ m "částice se stává kvadrivektorovou hybností. Často se nazývá vektor „ energie-hybnost “, což vyjadřuje skutečnost, že energie a hybnost (alespoň hybnost ) jsou ve fyzickém pojetí spojeny neoddělitelně, stejně jako prostor a čas. Tvoří časoprostor . Pokud jsou prostorové složky tohoto kvadrivektoru skutečně identifikovány zjevným způsobem s těmi klasického impulzu, byli fyzici vedeni Einsteinem k identifikaci časové složky tohoto kvadrivektoru pomocí energie uvažované částice.
V setrvačném referenčním rámci (například pozemský referenční rámec jako první aproximace, dále jen laboratorní referenční rámec ) jsou souřadnice událostí spojených se sledovanou částicí ( t , x , y , z ) a komponenty v tomto referenčním rámci mobilního energeticko-impulzního kvadrivektoru jsou:
; s:Protože tento kvadrivektor je úměrný čtyřrychlostní (což je pseudonorma c) koeficienty neměnnými změnou setrvačného referenčního rámce, máme v každém setrvačném referenčním rámci:
Definice kvadrivektoru energie-hybnost pomocí prvků a přirozeného času neměnného změnou referenčního rámce umožňuje snadno použít Lorentzovy transformace pro změnu inerciálního referenčního rámce v případě, že je paralelní s relativním rychlost mezi dvěma úložišti:
Vzhledem k definici energeticky hybnosti quadrivector, zejména její dočasné souřadnic, jsme se nakonec s expresí na celkové energie částice v laboratorní vztažné , ten, u nichž se částice se urychlí ( protože energie závisí na referenčním rámci, ve kterém je vypočítána!) ve formě:
Na druhou stranu, jako složky rychlosti částice v laboratorním referenčním systému jsou:
Vezmeme-li v úvahu faktor dilatace času mezi d t ad , dostaneme se k dalšímu důležitému vzorci poskytujícímu hodnotu impulzu v laboratorním referenčním rámci :
Energeticko-impulsní kvadrivektor má tu vlastnost, že jeho norma nebo jeho skalární čtverec (ve smyslu čtverce časoprostorového intervalu ) je během změny referenčního rámce neměnný. Stručně řečeno množství:
je nezávislý na referenčním rámci, ve kterém se počítá. Nyní je v referenčním rámci částice rychlost nulová, stejně jako hybnost, takže norma této invariantní veličiny má hodnotu (m c ) 2 . V jakémkoli referenčním rámci tedy máme následující kapitálový vztah:
nebo:
(Faktory c, které jsou zavedeny do těchto vzorců, zajišťují jejich homogenitu, pa velikost ( m v ), E velikost ( m v 2 ).)
Můžeme učinit několik pozorování:
(i) Hodnota celkové energie částice závisí na referenčním rámci pozorovatele. Hodnota masové energie je však stejná ve všech referenčních soustavách, zejména ve specifickém referenčním rámci částice. Jedná se tedy o vnitřní charakteristiku částice. (ii) Když v má tendenci k c , má tendenci k nekonečnu, což znamená, že k urychlení částice je zapotřebí nekonečné energie, dokud nedosáhne rychlosti světla . To je zjevně nemožné. Je však možné urychlit částice na rychlosti velmi blízké c. (iii) Speciální relativita se objevuje ve všech fyzikálních jevech, i když mezilehlé rychlosti nejsou „relativistické“. Do očí bijícím příkladem je nejjednodušší defekt hmotnosti atomu: hmotnost atomu vodíku je menší než součet hmotností elektronu a protonu v množství, které se rovná ekvivalentu hmotnosti ionizační energie atomu. Hromadný defekt řádově desetiny miliardtiny. Tato realita hromadného defektu se samozřejmě objevuje u všech ostatních atomů i v jejich molekulárních vazbách.Ekvivalence hmoty a energie je dána známého vztahu E = mc 2 . Představit tuto rovnocennost bylo revolučním krokem, protože do té doby byly pojmy hmoty a energie odlišné, ačkoli někteří vědci, jako Poincaré a Lorentz , se nezávisle pokoušeli o aproximaci v oblasti elektromagnetismu. V dnešní době by neměla být přeceňována ani tato rovnocennost, protože zatímco hmotnost je normou kvadrivektoru energie a hybnosti, energie je pouze jednou ze složek tohoto kvadrivektoru. Hmotnost daná:
je invariantní změnou referenčního rámce (v každém referenčním rámci je stejný). Energie naopak závisí na zvoleném referenčním rámci, je zřejmé, že při změně rychlosti se mění i kinetická energie.
V klasické fyzice je celková hybnost a kinetická energie izolovaného systému zachována v průběhu času, alespoň když jsou šoky pružné . Je to vlastnost kompatibilní, ale nezávislá na galileovském principu relativity. Změna galileovského referenčního rámce dává nové hodnoty kinetické energii a souřadnicím hybnosti systému, ale i tyto hodnoty jsou v tomto referenčním rámci zachovány v průběhu času.
Ve speciální relativitě je zachován globální kvadrivektor energetické energie hybnosti izolovaného systému a je to také vlastnost kompatibilní a nezávislá na Einsteinově principu relativity . Souřadnice tohoto čtyřrozměrného ( kvadrivektorového ) vektoru seskupují energii a hybnost a jsou udržovány bez ohledu na interakce mezi prvky izolovaného systému . Stejně jako v nerelativistické fyzice, změna referenčního rámce dává nové hodnoty energii (časové souřadnice) a souřadnicím impulsu (prostorové souřadnice), a v tomto novém referenčním rámci zachování hodnot Těchto souřadnic v průběhu času stále platí.
Princip stálosti je následující:
Bez ohledu na podrobnosti experimentu je kvadrivektor izolované soustavy částic zachován v jakékoli vnitřní interakci.Jinými slovy můžeme napsat:
Vzhledem k tomu, že kvadrivektor je konzervován, je každá z jeho složek v daném referenčním systému (jehož hodnoty závisí na zvoleném systému) také konzervována při kolizích. Časová složka představující energii E systému a prostorová složka představující její impuls tedy skončíme pro každý referenční rámec dvou zákonů zachování, jeden pro energii, druhý pro kvantitu pohybu (nebo impuls).
(Akademický) příkladSrážka dvou částic je znázorněna na opačném obrázku. Částice A o hmotnosti 8 (v libovolných jednotkách) animovaná rychlostí v / c 15/17 směřující doprava zasáhne částice hmoty 12 přicházející v opačném směru s rychlostí v / c 5/13 (obrázky byly vybrány tak, aby výpočty „padly správně“). Po srážce se A odrazí opačným směrem a sdělí B část své hybnosti. Celková energie, součet energií částic A a B je zachována, stejně jako celková hybnost. Uvedená množství E a p skutečně představují (E / c 2 ) a (p / c) a jsou vyjádřena v libovolných hmotnostních jednotkách. S těmito veličinami máme vztah E 2 = p 2 + m 2 . Faktor γ je vždy definován γ = [1 - (v / c) 2 ] -1/2 .
V urychlovači částic se stává, že částice velmi vysoké energie narazí do částice v klidu a komunikuje s druhou částí své kinetické energie. Pokud se jediná výměna energie týká právě této kinetické energie (zachování hybnosti systému), říkáme, že šok je elastický . Vzorce odrážející zachování kvadrivektoru systému tvořeného těmito dvěma částicemi umožňují analyzovat srážku. V newtonovské mechanice směr dvou částic stejné hmotnosti po rázu tvoří pravý úhel. To neplatí v případě rázů mezi relativistickými částicemi, kde jejich směry tvoří ostrý úhel. Tento jev je dokonale viditelný na záznamech srážek provedených v bublinových komorách .
Vezměme si elektron o hmotnosti m a velmi vysoké energii dopadající na jiný elektron zpočátku v klidu. Pulzní vektory dvou částic jsou vyneseny na opačném obrázku. Před šokem je impuls dopadajícího elektronu . Po šoku jsou impulsy obou elektronů a . Když zapíšeme energii elektronu jako součet jeho klidové energie mc 2 a její kinetické energie K , můžeme zapsat celkovou energii systému před srážkou jako:
Rovněž,
Zákon zachování energie říká, že E = E 1 + E 2 a tedy
vzorec označující, že je zachována také kinetická energie (elastická kolize).
Zákon zachování hybnosti to říká
a proto pokud nazýváme θ úhel mezi dvěma vektory a , máme vztah
odkud čerpáme
Vyjádřením čtverce impulsu různých elektronů podle jejich energie a hmotnosti pomocí výše uvedených vzorců získáme
pro dopadající elektron a
pro elektrony po výboji.
Protože K = K 1 + K 2 snadno skončíme s nakonec jednoduchým vzorcem
Tento vzorec ukazuje, že cos θ je kladný, a proto směry elektronů konečného stavu mezi nimi tvoří ostrý úhel.
V literatuře lze snadno najít řešení případu, kdy je šok symetrický, přičemž oba dva elektrony mají stejnou energii K 1 = K 2 = K / 2. V této konkrétní situaci se stane obecný vzorec
pro symetrickou kolizi.Vzorce samozřejmě platí pro případ srážky mezi dvěma protony.
Fyzikální aplikace vzorců pro zachování energie a hybnosti částicového systému je poskytována analýzou kolize mezi vysokoenergetickým fotonem a klidovým elektronem, což je šok, který nazýváme Comptonův rozptyl .
Předpokládejme, že izolovaný systém je známý a skládá se z částic bez interakce v referenčním rámci R : a jsou v tomto referenčním rámci známé a zůstávají v průběhu času nezměněny.
V klasické fyzice nepředstavují definice středu setrvačnosti a setrvačného rámce, kde je toto centrum stacionární, problém: používají se vektory vzdálenosti a hmotnosti těles. V relativistické fyzice podobná definice naráží na obtížnost volby (měli bychom zvolit masy nebo energie?) Bez rozhodujícího kritéria.
Použitá definice je ta, která umožňuje nejjednodušší použití relativistických rovností: referenční rámec známý jako „střed setrvačnosti“ je referenční rámec R *, ve kterém je celkový impuls nulový, tj .
V tomto referenčním rámci energie E * systému ověřuje rovnost, protože proto jde pouze o změnu referenčního rámce .
Relativní rychlost mezi referenčními snímky R a R * , poznamenává , kontroluje , ale tato rychlost se při výpočtech používá jen zřídka.
Hodnota celkové hmotnosti M * takto získaného systému je nezávislá na referenčním rámci, ve kterém je vyhodnocována: Tato invariance s ohledem na změny referenčního rámce a ověření vzorců kvadrivektorového impulzu systému zajistit, aby tato definice reagovala na všechny očekávané vlastnosti hmoty .
Zachováním energie a absencí interakce (v systému, který je jí věnován, tedy není žádná energie), máme:
Nyní je energie E j * každé částice j (v referenci R * ) součtem energie m j c 2 odpovídající její klidové hmotnosti m j přidané k její kinetické energii K j * (vždy v referenci R * ), to znamená, že: . Odkud :
To ukazuje, že: celková hmotnost systému nezávislých částic je větší než součet jednotlivých hmotností částic .
Zachování energeticko-impulzního kvadrivektoru vysvětluje, že při reakci nelze uchovat hmotu systému, aby se mohl transformovat na energii, zčásti nebo úplně. To se děje při reakcích štěpení , fúze a zničení částic .
Předpokládejme, že těleso v klidu o hmotnosti M se spontánně rozpadne na dvě části příslušných hmot ( klidové hmoty ) a : ukážeme, že pak je hmotnost M větší než a že rozdíl má podobu energetické kinetiky.
Zákon zachování energie dává proto , a proto .
V případě, že tento rozpad nemůže být spontánní, může k němu dojít až po dodání energie, která se rovná alespoň její „vazebné energii“ .
Zákon zachování hybnosti tedy dává odkud člověk čerpá .
Nakonec rovnosti a umožňují určit energie dvou nových částic: a . Rozdíl hmot se převádí na kinetickou energii pro dvě nové částice, energii, která se nachází v a .
Můžeme také vypočítat normu impulsů dvou částic, a tedy i jejich rychlostí.
Štěpení částic zahrnuje také zachování kvantových čísel : elektrický náboj , spin atd.
Tyto výrazy dávat i jako funkce a vedou ke vzorci
.Pokud se rychlost částice rovná rychlosti světla (tj. Jestliže ), pak výpočtem zjistíme, že hmotnost částice je nutně nulová. Naopak, pokud je hmotnost částice nulová, pak a následně .
„Částice má nulovou hmotnost“ se tedy rovná „její rychlost je rychlost světla“.
V astronomii jsou detekovány částice nesoucí kolosální energii: kosmické paprsky . I když je jejich výrobní mechanismus stále záhadný, můžeme měřit jejich energii. Získané značné počty ukazují, že jejich analýza vyžaduje použití speciálních vzorců relativity. Kosmické paprsky proto poskytují ideální ilustraci Einsteinovy teorie.
Částice jsou detekovány až do neuvěřitelných energií řádově 10 20 elektronvoltů nebo sto EeV . Předpokládejme tedy, že kosmický paprsek je proton 10 20 eV. Jaká je rychlost této částice?
Ve výrazu, který dává energii E , představuje výraz m c 2 energii klidové hmotnosti částice. Hodnota protonu je asi 1 GeV nebo 10 9 eV. Vztah mezi E a m c 2 je rovna 10 20 /10 9 = 10 11 , a je jiný než natahování faktor času . Jaká je rychlost tohoto protonu? Při psaní to zjistíme
Jinými slovy, rychlost uvažovaného protonu je téměř stejná jako rychlost světla. Liší se od ní pouze o méně než 10 - 22 (ale v žádném případě se jí nemůže rovnat).
Podívejme se, co tyto obrázky naznačují pro relativistické faktory existující mezi specifickým referenčním rámcem částice a pozemským referenčním rámcem. Naše galaxie o průměru asi 100 000 světelných let protne světlo za 100 000 let. Pro pozemského pozorovatele proton protíná galaxii současně. V jader protony referenční rámec, odpovídající čas je 10 11 krát nižší, a proto je 30 sekund (rok je 3 x 10 7 sekund). Kříží naši Galaxii za 30 sekund svého času, ale za 100 000 let našeho pozemského času.
Když tento kosmický paprsek narazí na atom kyslíku nebo dusíku v zemské atmosféře ve výšce řádově 20 až 50 kilometrů nad zemí, spustí se sprcha elementárních částic, zejména obsahujících miony . Někteří z nich se pohybují směrem k zemi rychlostí téměř rovnou rychlosti světla 300 000 kilometrů za sekundu v pozemském referenčním rámci. Tyto částice proto procházejí přibližně 30 kilometry atmosféry za 10 až 4 sekundy (neboli 100 mikrosekund).
V referenčním rámci, kde je v klidu, má mion poločas 2 μs (2 mikrosekundy nebo 2 × 10-6 s). To znamená, že mezi množinou mionů produkovaných v horní části atmosféry polovina zmizela po 2 mikrosekundách a přeměnila se na jiné částice. Polovina zbývajících mionů zmizí po dalších 2 mikrosekundách atd. Pokud by byl poločas stejný (2 mikrosekundy) v pozemském referenčním rámci, za 10 - 4 sekundy procházející atmosférou by miony napočítaly 10 - 4/2 × 10 - 6 = 50 poločasů. V důsledku toho by se jejich počet snížil při příjezdu na zem faktorem (1/2) 50 nebo přibližně 10 -15, takže v praxi by jej žádný mion nedosáhl.
Měření však ukazují, že přibližně 1/8 nebo (1/2) 3 počátečních mionů dosáhne zemského povrchu, což dokazuje, že prošly pouze 3 dělení svého počtu o 2 a ne 50. Jinými slovy, doba průchodu atmosféry v jejich vlastním referenčním rámci je 3 poločasy a ne 50, nebo pouze 6 mikrosekund (a ne 100 mikrosekund). Tento výsledek představuje silný důkaz správnosti speciální relativity a zejména fenoménu protahování přirozeného času (zde mionu), když se měření provádějí ve vnějším referenčním rámci (zde v Zemi). Ve zvoleném numerickém příkladu je činitel dilatace času 100/6.
Můžeme odvodit rychlost a energii mionů. Opravdu, máme to jako v předchozím výpočtu
Což vede k
Vzhledem k tomu, že hmotnost mionu je asi 100 MeV , je energie částice 100/ 6krát větší, nebo asi 2 000 MeV nebo 2 GeV .
V trojrozměrném newtonovském prostoru je částice náboje q umístěná v elektrickém poli a magnetickém poli vystavena Lorentzově síle a rovnice, která řídí jeho pohyb, je
Abychom tento vzorec převedli do relativistické mechaniky, budeme muset místo vektoru vzít v úvahu kvadrivektor energie a hybnosti a vyhodnotit rychlost variace tohoto kvadrivektoru nikoli v referenčním rámci žádného galilejského pozorovatele, ale ve specifickém referenčním rámci částice. Levý člen bude tedy ve formě , kde je správný čas nabité částice. Vpravo najdeme objekt nezávislý na zvoleném referenčním rámci, který bude také nutně lineární funkcí rychlosti částice. Ve skutečnosti je prostorová část rovnice dynamiky lineární, protože je napsána
V tomto výrazu a jsou součásti v Lorentzian rámci odkazu na rychlosti quadrivector , který proto může být napsán:
Výše uvedená rovnice se výslovně rozpadá na třech osách následovně:
Pro svoji část je napsána časová složka dynamické rovnice (která odpovídá zákonu udávajícímu variaci energie)
kde W je práce síly
Shromážděním výše popsaných rovnic v rámci čtyřrozměrného časoprostoru je rychlost změny kvadrivektoru energie-hybnost dána vztahem
Maticová rovnice, kterou jsme právě napsali, ukazuje, že ve speciální relativitě tvoří magnetické pole a elektrické pole jednu entitu. Ve skutečnosti je předchozí prezentace poněkud nesprávná, protože k využití veškeré síly relativistické teorie je nutné apelovat na tenzory. Maticová rovnice výše je překlad, pokud jde o komponenty tenzorové rovnice, nezávisle na jakémkoli souřadném systému.
je tenzor elektromagnetického pole (nebo Maxwellův tenzor nebo Faradayův tenzor). Je to tento objekt, který fyzicky představuje elektromagnetické pole. Jeho komponenty v určitém souřadném systému jsou dány výše napsanou maticí.
Ve speciální relativitě by měla být délka a čas měřeny stejnou jednotkou (což jsme zde systematicky nedělali). V astronomii zvolíme jednotku času a změříme vzdálenost do doby, než světlo tuto vzdálenost překoná. Například to, že se galaxie nachází pět milionů světelných let od naší, znamená, že světlu trvá pět milionů let, než urazí vzdálenost, která nás od ní odděluje. Všimněte si, že v každodenním životě můžeme snadno říci, že například Paříž je tři hodiny vlakem z Montpellier, což je přesně to samé jako měření vzdálenosti v čase. Navíc od roku 1983 je jednotka času (druhá) jediná, která je definována přímo Mezinárodním systémem jednotek (SI), přičemž jednotka délky ( metr ) je definována jako ujetá vzdálenost světla v přesném čase (což znamená definitivní a přesné stanovení hodnoty c na 299 792 458 m / s ).
Výběr z Einsteinových děl, zejména jeho originální články, je nyní k dispozici ve francouzském překladu s komentářem pod názvem Œuvres choisies at éditions du Seuil / CNRS éditions, ve sbírce Sources du savoir (6 svazků vydaných od roku 1989). Svazky 2 a 3 se věnují výhradně teoriím relativity.
Popularizační knihyPřístupné na úrovni střední školy (Première S).
Přístupné na vysokoškolské úrovni.