Podmíněná pravděpodobnost
V teorii pravděpodobnosti , je podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost z události s vědomím, že další události došlo. Například pokud je karta z balíčku vylosována náhodně, odhaduje se, že existuje jedna ze čtyř šancí na získání srdce; ale pokud na stole uvidíte červený odraz, je zde jedna ku dvěma možnost získat srdce. Tento druhý odhad odpovídá podmíněné pravděpodobnosti získání srdce s vědomím, že karta je červená.
Podmíněné pravděpodobnosti podléhají paradoxům , jako je paradox dvou dětí , problém dvou obálek , paradox problému tří mincí a problému tří vězňů .
Intuitivní příklady
Barevné kostky
Zvažte šestistranný vyvážený nástroj, kde sudé tváře jsou zbarveny bíle a liché tváře černě. Na hodu kostkou je pravděpodobnost hození 6 1/6. Ale daleko od kostek vnímáme, že obličej je bílý. Pravděpodobnost získání 6 je 1/3, protože musíte vzít v úvahu novou informaci „objevilo se sudé číslo“.
|
Pravděpodobnost
|
Podmíněná pravděpodobnost s vědomím, že počet je sudý
|
---|
Pravděpodobnost válcování 1
|
1/6
|
0
|
Pravděpodobnost válcování 2
|
1/6
|
1/3
|
Pravděpodobnost válcování 3
|
1/6
|
0
|
Pravděpodobnost válcování 4
|
1/6
|
1/3
|
Pravděpodobnost válcování 5
|
1/6
|
0
|
Pravděpodobnost válcování 6
|
1/6
|
1/3
|
Dva hody hodí
Rozhodli jsme se hodit minci dvakrát za sebou. Pravděpodobnost, že první hod je ocas, je 1/2. Předpokládejme, že nás někdo informuje, že alespoň jeden z hodů byl hlavou. Ze čtyř možných scénářů, jmenovitě Hlavy, potom Hlavy, Hlavy, potom Ocasy, Ocasy, potom Hlavy, Ocasy, potom Ocasy, již není třeba uvažovat o scénáři Hlavy nahoru a potom Hlavy. První hod je Tails ve dvou ze tří zbývajících scénářů (Heads and Tails, Tails then Heads, Tails then Tails). Pravděpodobnost, že první hod dává hlavám, je tedy 2/3, protože věděl, že alespoň jeden ze dvou hodů dává hlavám. Tabulka shrnuje situaci, pravděpodobnosti, že první hod je ocas (1/2, resp. 2/3), se získá přidáním posledních dvou řádků.
|
Pravděpodobnost
|
Podmíněná pravděpodobnost s vědomím, že jeden ze dvou hodů dává ocasy
|
---|
Pravděpodobnost tváře a potom tváře
|
1/4
|
0
|
Pravděpodobnost, že budete mít hlavy a pak se chytit
|
1/4
|
1/3
|
Pravděpodobnost, že budete mít ocasy a ocasy
|
1/4
|
1/3
|
Pravděpodobnost, že bude mít baterie, pak baterie
|
1/4
|
1/3
|
Definice
Vezměme si dvě události a s o pravděpodobnosti nenulová (více formálně klademe na pravděpodobnostním prostoru , události a jsou členy kmene ). Podmíněná pravděpodobnost of vědomím, že došlo (nebo „pravděpodobnost vědět B “), je reálné číslo uvedeno (nebo někdy ) definovaný:
NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}B{\ displaystyle B} (Ω,B,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {B}}, \ mathbb {P} \ right)}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NA{\ displaystyle A}P(NA∣B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ střední B)}PB(NA){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {B} (A)}
P(NA∣B)=P(NA∩B)P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ mid B) = {\ frac {\ mathbb {P} (A \ cap B)} {\ mathbb {P} (B)}}}.
Časté hledisko
Definici podmíněné pravděpodobnosti lze získat také z hlediska frekventanta . Pravděpodobnost události je definována (podle tohoto hlediska) jako mezní frekvence pozorování této události. Experiment opakujeme náhodně , s velmi velkým celým číslem. Je pozorováno, že k události došlo několikrát. Takže máme . Mezi losování, ve kterých se akce konala výhradně, počítáme také počet, kolikrát se akce konala. Označíme získané celé číslo. Proto máme . Také . Všimli jsme si toho .
ne{\ displaystyle n}ne{\ displaystyle n}B{\ displaystyle B}neB{\ displaystyle n_ {B}}P(B)≃neBne{\ displaystyle \ mathbb {P} (B) \ simeq {\ frac {n_ {B}} {n}}}neB{\ displaystyle n_ {B}}B{\ displaystyle B}NA{\ displaystyle {\ ce {A}}}neNA∩B{\ displaystyle n_ {A \ cap B}}P(NA∣B)≃neNA∩BneB{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ mid B) \ simeq {\ frac {n_ {A \ cap B}} {n_ {B}}}}P(NA∩B)≃neNA∩Bne{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cap B) \ simeq {\ frac {n_ {A \ cap B}} {n}}}neNA∩BneB=neNA∩B/neneB/ne{\ displaystyle {\ frac {n_ {A \ cap B}} {n_ {B}}} = {\ frac {n_ {A \ cap B} / n} {n_ {B} / n}}}
Příklady
U předchozích intuitivních příkladů dává vzorec definice získanou hodnotu:
Barevné kostky
Pravděpodobnost, že hodíte 6 s vědomím, že výsledek je dokonce, se stává:
P(udělat 6∣sudé číslo)=P(udělat 6∩sudé číslo)P(sudé číslo)=1/61/2=13{\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ text {vytvořit 6}} \ střední {\ text {sudé číslo}}) = {\ frac {\ mathbb {P} ({\ text {vytvořit 6}} \ čepice {\ text {sudé číslo}})} {\ mathbb {P} ({\ text {sudé číslo}})}} = {\ frac {1/6} {1/2}} = {\ frac {1 } {3}}}.
Dva hody hodí
Pravděpodobnost, že při prvním hodu bude Kachle s vědomím, že existuje alespoň jeden los s Tails ve dvou, získáme:
P(první hod je ocas∣alespoň jedna baterie)=P(první hod je ocas∩alespoň jedna baterie)P(alespoň jedna baterie)=1/23/4=23.{\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ text {první hod hotový zásobník}} \ mid {\ text {alespoň jeden zásobník}}) = {\ frac {\ mathbb {P} ({\ text {první hod hotový stack}} \ cap {\ text {alespoň jeden zásobník}})} {\ mathbb {P} ({\ text {alespoň jeden zásobník}})}}} = {\ frac {1/2} {3/4 }} = {\ frac {2} {3}}.}
Třída na střední škole
Tento příklad odpovídá bezprostředněji definici sady. Ve vesmíru střední školy nechť je B událost „žák je dívka“ a A „žák cvičí německy“.
Vesmír pravděpodobnosti ( ) = Střední škola.
Ω{\ displaystyle \ Omega} |
|
B{\ displaystyle B} (Dívka)
|
¬B{\ displaystyle \ neg B} (Chlapec)
|
Součty
|
---|
NA{\ displaystyle A} (Němec)
|
10
|
7
|
17
|
¬NA{\ displaystyle \ neg A} (Ne německy)
|
4
|
9
|
13
|
Součty
|
14
|
16
|
30
|
Dívka ze třídy ( B ) je náhodně vyslýchána . Jaká je pravděpodobnost, že mluví německy (P ( A | B ))?
P(NAllEmnaned∣FillE)=P(NA∣B)=P(NA∩B)P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (německy \ mid girl) = \ mathbb {P} (A \ mid B) = {\ frac {\ mathbb {P} (A \ cap B)} {\ mathbb {P} ( B)}}}
P(B)=Kartu(B)Kartu(Ω)=1430{\ displaystyle \ mathbb {P} (B) = {\ frac {\ operatorname {karta} (B)} {\ operatorname {karta} (\ Omega)}} = {\ frac {14} {30}}}
P(NA∩B)=Kartu(NA∩B)Kartu(Ω)=1030{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cap B) = {\ frac {\ operatorname {karta} (A \ cap B)} {\ operatorname {karta} (\ Omega)}} = {\ frac {10} {30}}}
odkud
P(NA∣B)=10301430=1014≈71%{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ mid B) = {\ frac {\ frac {10} {30}} {\ frac {14} {30}}} = {\ frac {10} {14}} \ přibližně 71 \, \%}.
Vlastnosti
Za předpokladů uvedených v definici:
- aplikace (také si všiml ) je nová pravděpodobnost . Říká se tomu podmíněný zákon s vědomím B.P(.∣B){\ displaystyle \ mathbb {P} (. \ mid B)}PB{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {B}}(Ω,B){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {B}} \ right)}
-
A a B jsou nezávislé právě tehdy ;P(NA∣B)=P(NA){\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ mid B) = \ mathbb {P} (A)}
- pokud je událost A také (jako B ) nenulové pravděpodobnosti, pak (tento výsledek je známý jako Bayesova věta ).P(NA∣B)=P(B∣NA)P(NA)P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ mid B) = {\ frac {\ mathbb {P} (B \ mid A) \ mathbb {P} (A)} {\ mathbb {P} (B)}} }
Podmíněné očekávání
Nechť X je prostor pravděpodobnosti, X integrovatelná skutečná náhodná proměnná a B událost nenulové pravděpodobnosti. Říkáme podmíněné očekávání :
(Ω,B,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {B}}, \ mathbb {P} \ right)}
E(X∣B)=1P(B)∫BXdP{\ displaystyle \ mathbb {E} (X \ mid B) = {\ frac {1} {\ mathbb {P} (B)}} \ int _ {B} X \; \ mathrm {d} \ mathbb {P }}.
E(X∣B){\ displaystyle \ mathbb {E} (X \ střední B)}je očekávání X s vědomím, že B bylo realizováno.
Podmíněná hustota
Dovolit a být a dvě náhodné proměnné definované v tomto prostoru. Pokud předpokládáme, že jejich společný zákon lze definovat bivariabilní hustotou , a pokud navíc jeden vyhovuje , pak existuje absolutně spojitý zákon, jehož hustota je dána výrazem
(Ω,B,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {B}}, \ mathbb {P} \ right)}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}F(X,y){\ displaystyle f (x, y)}y0{\ displaystyle y_ {0}}∫F(t,y0)dt≠0{\ displaystyle \ int f (t, y_ {0}) \; \ mathrm {d} t \ neq 0}
G(X∣y0)=F(X,y0)∫F(t,y0)dt{\ displaystyle g (x \ mid y_ {0}) = {\ frac {f (x, y_ {0})} {\ int f (t, y_ {0}) \; \ mathrm {d} t}} }.
Tato funkce se nazývá: podmíněná hustota znalostí . Intuitivně lze tento výraz interpretovat jako spojitou formulaci Bayesovy věty .
G(X∣y0){\ displaystyle g (x \ střední y_ {0})}X{\ displaystyle X}Y=y0{\ displaystyle Y = y_ {0}}
Poznámky a odkazy
-
Dominique Foata a Aimé Fuchs, Calcul des pravděpodobnosti. Kurz, cvičení a opravené problémy, druhé vydání. , Dunod , s. Kapitola 6 str. 53
-
(in) R. Meester, Přirozený úvod do teorie pravděpodobnosti , Birkhaeuser Verlag AG Basilej - Boston - Berlín2008, Příklad 1.4.3, oddíl 1.4, strana 13
-
(in) R. Meester, Přirozený úvod do teorie pravděpodobnosti , Birkhaeuser Verlag AG Basilej - Boston - Berlín2008, Definice 1.4.1, Sekce 1.4, strana 13
-
Philippe Barbé a Michel Ledoux, Pravděpodobnost , EDP Scienes,2007, str. Kapitola VI, VI.1, definice VI.1.1, s. 150
-
„ Podmíněné pravděpodobnosti “ , na mistis.inrialpes.fr (přístup 2. května 2020 )
-
Tento příklad je inspirován souborem http://www.logamaths.fr/spip/IMG/docs/Ts/AATSCh08_Proba-conditionnelles.pdf .
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">