Alhazen problém

Alhazen Problém je geometrická optická problém týkající se odraz na sférického zrcadla . To je pojmenované Alhazen ve vztahu k arabským matematik XI -tého  století Alhazen ( Ibn al-Hajtám ), který představil geometrické řešení ve své knize optiky . Algebraické řešení vyžaduje kvartickou rovnici . Řešení problému není obecně proveditelné pravidlem a kompasem .

Geometrická formulace

Cílem je vyřešit následující optický problém: „Vzhledem k světelnému zdroji a kulovému , konvexnímu nebo konkávnímu zrcadlu najděte na povrchu bod, kde se světelný paprsek odráží, než dosáhnete oka pozorovatele. „ Tento problém je analogický k otázce: „ U kruhového bazénu, kterým směrem vyslat míč, se odrazí od okraje bazénu, než dosáhne cílového míče? "

Řešení pro rovinné zrcadlo je známo již dlouho: jedná se o průsečík rovinného zrcadla s přímkou ​​spojující oko pozorovatele a symetrický světelného zdroje s ohledem na rovinné zrcadlo. Tato vlastnost je odvozena od skutečnosti, že světelný paprsek se odráží na povrchu, zatímco zůstává ve stejné rovině a udržuje stejný úhel vzhledem k normále k povrchu.

Problém úvahy o sférické zrcadlo, ve svém symetrického vzhledu je studována z II -tého  století od Claudia Ptolemaia .

Geometrický překlad tohoto problému je: „Vzhledem ke dvěma bodům A a B roviny a dané kružnici se středem O a poloměrem r najděte bod D kružnice tak, aby přímka (DO) byla úhlovou osou (ADB ). "

Řešení Ibn al-Haythama

Ibn al-Haytham řeší problém pomocí křižovatek kuželové a má geometrickou důkaz 6 lemmata ve své optické Smlouvy ( XI th  století ). Přináší problém zpět do konstrukce sečnu v rovnoramenném trojúhelníku  :

Vezmeme výše uvedený překlad: najděte bod D kružnice se středem O a poloměrem r takovým, že (OD) je půlou úhlu AOB. Zkonstruujeme rovnoramenný trojúhelník MNP, jehož vrcholový úhel P se rovná AOB. Umístíme na základnu [MN] bod F takový, že . Nakreslíme pomocí F sekans k trojúhelníku, který protíná [NP] v Q a svislou přímku [MN] v S tak, že (tato konstrukce používá průnik hyperboly a kružnice) a dokazuje, že l 'úhel SQN je rovná se úhlu BOD, kde D je hledaný bod.

Neomezuje se pouze na sférické zrcadlo, ale řeší případ válcového zrcadla a kužele. Jeho práce je přeložena do latiny od konce XII th  století a počátku XIII -tého  století . Vitellion publikoval v roce 1270 Optiku do značné míry inspirovanou Alhazenskou smlouvou, která obsahovala problém, aniž by přinesla něco nového, poté byla Alhazenova práce publikována v Basileji v roce 1572.

Následná řešení

Řešení Ibn al-Haythama se zdá být tak komplikované, že se později matematici pokusí přijít s elegantnějšími řešeními.

Mechanická konstrukce

Podle Roberta Marcolongo , Leonardo da Vinci , na konci XV -tého  století , který marně hledal matematický řešení Alhazen před navržením mechanické řešení pomocí nástroje kloubového typu pantografu , který zajistí rovnost úhlů ODA a ODB. Analyzoval texty a kresby z několika stránek Codex Atlantico a Marcolongo zkonstruoval kloubový nástroj naproti. Bod O je umístěn ve středu kružnice, délka OD je pevná, rovná poloměru kružnice. Větve (DA) a (NR) otočný kolem zadržovací D (OD) jako sečna jako pastilky tvořené kloubovými systém deformuje opěrných špice opačný D vyrovnán s O a D . Kolík je umístěn na A v posuvném systému chrámu ( DA ). A přístroj se otáčí kolem O, takže druhá větev prochází B.

Geometrické konstrukce

Isaac Barrow v roce 1669 navrhl průnik kruhu s křivkou jedné smyčky procházející A a B , mající O jako dvojitý bod a mající asymptotu.

René-François de Sluse navrhuje konstrukci průsečíkem paraboly a kruhu, zatímco Christian Huygens navrhuje v roce 1672 průnik kruhu s rovnostrannou hyperbolou procházející středem kruhu, body A 'a B „inverze bodů A a B vzhledem ke zrcadlovému kruhu, přičemž pro asymptoty jsou čáry rovnoběžné s půlícími úhly AOB procházejícími středem [A'B '].

Tyto různé křivky prořezávají kruh ve 2 nebo 4 bodech. Když jsou A a B uvnitř kruhu, všechny tyto body jsou řešení. Pokud jsou externí, je řešením pouze jeden bod ze dvou.

Analytická řešení

Hledají se také analytická řešení. Ve stejné době jako Sluse a Huygens se James Gregory neúspěšně pokouší o analytické řešení.

V XVIII -tého  století , jsou navrhovány algebraické a trigonometrické rezoluce. Například Abraham Gotthelf Kästner navrhl v roce 1777 trigonometrické rozlišení, zatímco William Wales uvádí v roce 1781 Alhazenův problém jako problém vedoucí k rovnici 4. stupně, kterou řeší pomocí logaritmických tabulek .

Publikace také existují v XIX th  století a připojení je provedeno s problémy minimálních cest nebo maximum. Ve XX -tého  století , problém je i nadále předmětem zájmu matematiků: Jack M. Elkin v roce 1965 a Peter Neumann v roce 1998 ukazují, že obecné řešení není constructible s pravítkem a kompasem , John D. Smith představuje elegantní řešení s využitím 1992 komplexy.

Poznámky a odkazy

  1. Smith 1992 , str.  192.
  2. Sabra 1982 .
  3. Bode 1892 , str.  77.
  4. Sabra 1982 , s.  299.
  5. Roberto Marcolongo. Lo strumento inventato da Leonardo da Vinci per la risoluzione del problema di Alhazen , Napoli: Unione tipografica combatenti, 1929.
  6. Roberto Marcolongo, „Leonardo da Vinci nelle storia della matamatica e della meccanica, Il problema d'Alhazen“, ATTI del congresso internationale dei matematici (Bologan 3. – 10. Září 1928 , svazek 1, str. 287-289, číst online .
  7. Smith 1992 , str.  194.
  8. Hyperbola se možná zvrhla na dva řádky, pokud OA = OB.
  9. Smith 1992 , str.  195.
  10. Baker 1881 , str.  328.
  11. Bode 1892 , str.  81-82.
  12. Baker 1881 , str.  329.
  13. Enoch Beery Seitz  (en) to řeší pomocí rovnice stupně 8 (stupně 4 podle ( Bode 1892 , s.  81-82)) a Hornerovou metodou ( Baker 1881 , s.  328).
  14. (in) Jack M.Elkin, „  Zdánlivě snadný problém  “ , učitel matematiky , sv.  58, n o  3,1965, str.  194-199 ( JSTOR  27968003 ).
  15. Neumann 1998 .

Bibliografie