Alhazen Problém je geometrická optická problém týkající se odraz na sférického zrcadla . To je pojmenované Alhazen ve vztahu k arabským matematik XI -tého století Alhazen ( Ibn al-Hajtám ), který představil geometrické řešení ve své knize optiky . Algebraické řešení vyžaduje kvartickou rovnici . Řešení problému není obecně proveditelné pravidlem a kompasem .
Cílem je vyřešit následující optický problém: „Vzhledem k světelnému zdroji a kulovému , konvexnímu nebo konkávnímu zrcadlu najděte na povrchu bod, kde se světelný paprsek odráží, než dosáhnete oka pozorovatele. „ Tento problém je analogický k otázce: „ U kruhového bazénu, kterým směrem vyslat míč, se odrazí od okraje bazénu, než dosáhne cílového míče? "
Řešení pro rovinné zrcadlo je známo již dlouho: jedná se o průsečík rovinného zrcadla s přímkou spojující oko pozorovatele a symetrický světelného zdroje s ohledem na rovinné zrcadlo. Tato vlastnost je odvozena od skutečnosti, že světelný paprsek se odráží na povrchu, zatímco zůstává ve stejné rovině a udržuje stejný úhel vzhledem k normále k povrchu.
Problém úvahy o sférické zrcadlo, ve svém symetrického vzhledu je studována z II -tého století od Claudia Ptolemaia .
Geometrický překlad tohoto problému je: „Vzhledem ke dvěma bodům A a B roviny a dané kružnici se středem O a poloměrem r najděte bod D kružnice tak, aby přímka (DO) byla úhlovou osou (ADB ). "
Ibn al-Haytham řeší problém pomocí křižovatek kuželové a má geometrickou důkaz 6 lemmata ve své optické Smlouvy ( XI th století ). Přináší problém zpět do konstrukce sečnu v rovnoramenném trojúhelníku :
Vezmeme výše uvedený překlad: najděte bod D kružnice se středem O a poloměrem r takovým, že (OD) je půlou úhlu AOB. Zkonstruujeme rovnoramenný trojúhelník MNP, jehož vrcholový úhel P se rovná AOB. Umístíme na základnu [MN] bod F takový, že . Nakreslíme pomocí F sekans k trojúhelníku, který protíná [NP] v Q a svislou přímku [MN] v S tak, že (tato konstrukce používá průnik hyperboly a kružnice) a dokazuje, že l 'úhel SQN je rovná se úhlu BOD, kde D je hledaný bod.Neomezuje se pouze na sférické zrcadlo, ale řeší případ válcového zrcadla a kužele. Jeho práce je přeložena do latiny od konce XII th století a počátku XIII -tého století . Vitellion publikoval v roce 1270 Optiku do značné míry inspirovanou Alhazenskou smlouvou, která obsahovala problém, aniž by přinesla něco nového, poté byla Alhazenova práce publikována v Basileji v roce 1572.
Řešení Ibn al-Haythama se zdá být tak komplikované, že se později matematici pokusí přijít s elegantnějšími řešeními.
Podle Roberta Marcolongo , Leonardo da Vinci , na konci XV -tého století , který marně hledal matematický řešení Alhazen před navržením mechanické řešení pomocí nástroje kloubového typu pantografu , který zajistí rovnost úhlů ODA a ODB. Analyzoval texty a kresby z několika stránek Codex Atlantico a Marcolongo zkonstruoval kloubový nástroj naproti. Bod O je umístěn ve středu kružnice, délka OD je pevná, rovná poloměru kružnice. Větve (DA) a (NR) otočný kolem zadržovací D (OD) jako sečna jako pastilky tvořené kloubovými systém deformuje opěrných špice opačný D vyrovnán s O a D . Kolík je umístěn na A v posuvném systému chrámu ( DA ). A přístroj se otáčí kolem O, takže druhá větev prochází B.
Isaac Barrow v roce 1669 navrhl průnik kruhu s křivkou jedné smyčky procházející A a B , mající O jako dvojitý bod a mající asymptotu.
René-François de Sluse navrhuje konstrukci průsečíkem paraboly a kruhu, zatímco Christian Huygens navrhuje v roce 1672 průnik kruhu s rovnostrannou hyperbolou procházející středem kruhu, body A 'a B „inverze bodů A a B vzhledem ke zrcadlovému kruhu, přičemž pro asymptoty jsou čáry rovnoběžné s půlícími úhly AOB procházejícími středem [A'B '].
Tyto různé křivky prořezávají kruh ve 2 nebo 4 bodech. Když jsou A a B uvnitř kruhu, všechny tyto body jsou řešení. Pokud jsou externí, je řešením pouze jeden bod ze dvou.
Huygensova hyperbola se 4 odrazovými body pro 2 vnitřní body.
Huygensova hyperbola se 2 body odrazu pro 2 vnitřní body.
Huygensova hyperbola pro dva vnější body, existují 4 průsečíky, ale pouze dva body odrazu.
Hledají se také analytická řešení. Ve stejné době jako Sluse a Huygens se James Gregory neúspěšně pokouší o analytické řešení.
V XVIII -tého století , jsou navrhovány algebraické a trigonometrické rezoluce. Například Abraham Gotthelf Kästner navrhl v roce 1777 trigonometrické rozlišení, zatímco William Wales uvádí v roce 1781 Alhazenův problém jako problém vedoucí k rovnici 4. stupně, kterou řeší pomocí logaritmických tabulek .
Publikace také existují v XIX th století a připojení je provedeno s problémy minimálních cest nebo maximum. Ve XX -tého století , problém je i nadále předmětem zájmu matematiků: Jack M. Elkin v roce 1965 a Peter Neumann v roce 1998 ukazují, že obecné řešení není constructible s pravítkem a kompasem , John D. Smith představuje elegantní řešení s využitím 1992 komplexy.