V matematice , konkrétně v geometrii , je problém kontaktů , nazývaný také problém Apollonia nebo problém tří kruhů, jedním z velkých problémů řeckého starověku . Jde o nalezení kružnice tečny ke třem daným kružnicím různých poloměrů.
Tento problém představil Pappus jako desáté a nejobtížnější pojednání o kontaktech , jedno ze ztracených děl Apollónia. Na jeho vyřešení Françoisem Viètem, který prokáže, že připouští maximálně osm řešení , bude skutečně nutné počkat do roku 1600 . Za to v Apollonius Gallus vyřeší deset níže uvedených problémů (aniž by se zabýval konkrétními případy).
Pojednání o kontakty , ztracený dílem Apollonius , navrhuje stanovit kruhy omezen na tři podmínky odebraných z těch, které se skládají z průchodu daného bodu, nebo je tečná k dané trati nebo kruhu, což odpovídá deseti. Problémy určený symboly PPP, DDD, PPD, PPC ... reprezentací bodu P, přímky D a kružnice C.
Tato smlouva je zmíněn v IV -tého století podle Pappus Alexandrie v sedmé knize jeho matematické Collection , která dává jen částečné řešení.
Problém studují matematici středověkého islámu Ibn al-Haytham a Ibrahim ibn Sinan, kteří se jím zabývají až do konce, aniž by však provedli vyčerpávající studii všech případů (o velikosti kruhů nebo jejich zarovnání). Ale tyto studie nejsou známy v Evropě v XVI th století.
Na XVI th století evropské matematici jsou také zajímat ve svém usnesení, aniž by řízení poskytnout řešení euklidovské (tj constructible s pravítkem a kompasem ). Například pro Regiomontanus nelze vyřešit poslední problém (problém ze 3 kruhů) bez použití kuželoseček.
Na vědeckém sporu o existenci či nikoli francouzských matematiků kvality na konci XVI th století, Francois vieta prokázat zaprvé, že je schopen řešit složitou rovnici, která Adrien Romain poslal sadu matematici z Evropy. Poté formou vzájemnosti požádejte Adriena Romaina, aby mu poskytl řešení posledního problému Apollónia, což je úkol, kterého Adrien Romain dosahuje průsečíky nadsázky.
Podmínkou, že dva kruhy se středy C a C 1 a středem r a r 1 jsou tečna, je, že CC 1 = r + r 1 nebo | r - r 1 | . Aby byla kružnice se středem C tečná ke dvěma kružnicím, jsou zapotřebí dvě takové rovnosti. Odečtením a eliminací případů neposkytujících nic se zapíše podmínka tak, aby kružnice se středem C byla tečná ke kružnicím se středy C 1 a C 2 ve tvaru | CC 1 - CC 2 | = r 2 + r 1 nebo | r 2 - r 1 | který odkazuje na bifokální definici hyperboly .François Viète, který není spokojen, že vidí nekonstruktivní řešení vládce a kompasu , poté zveřejní svůj Apollonius gallius ( Francouzský Apollonius ), aby prokázal, že Francouz má stejnou hodnotu jako Belgičan nebo Říman. Nabízí úplné řešení 10 problémů, ale bez diskuse o existenci nebo analýze všech konfigurací.
Řešení od Viète nezastaví výzkum. René Descartes v roce 1643 ve své korespondenci s Alžbětou českou navrhuje algebraické řešení, než uvede svou Descartovu větu v případě, že jsou tři kružnice tečné. Je to také algebraická a trigonometrická cesta , kterou zvolil Leonhard Euler ve své knize Solutio facilis problematis, quo quaeritur circulus, která obsahuje datové obvody tangat z roku 1790
Rozvoj geometrických nástrojů s pojmem radikální osy z pole a polární , o opaku a explicitní definice síly k bodu od Jakob Steiner vedl Gergonne na počátku XIX th století s velmi stručnou rozlišení: K dispozici je 6 center homothety transformující jeden z kruhů na jiné, řešení navržené Gergonnem se skládá ze 6 center homothety, aby se jejich polární vzhledem k dvěma dotyčným kruhům, což dává 12 pólů, těchto 12 pólů nakreslí rovnoběžníky, které vezmeme úhlopříčky. 12 získaných úhlopříček nese všechny body tečnosti kruhových řešení problému. Můžeme odlehčit konstrukci, jak navrhuje Hadamard ve svých lekcích geometrie, a to tím, že si všimneme, že 6 center homothety je vyrovnáno tři ku třem na 4 přímkách. Pro každý řádek sestrojíme 3 póly čáry ve vztahu ke 3 kružnicím. U každého pólu vedeme přímku procházející radikálním středem tří kruhů, průsečíky (pokud existují) této přímky s kružnicí spojenou s pólem jsou body tečnosti dvojice řešení kružnic s dotyčný kruh.
Cílem na konci XIX . Století je navrhnout metody, které mohou také integrovat konkrétní případy, a klasifikovat konfigurace podle jejich počtu řešení. Tato klasifikace úsilí pokračuje ve XX th a XXI tého století.
Tento problém, který se nyní zdá být studován pouze pro vzdělávací účely, někdy skrývá překvapivý vývoj, jako je špinění nepřátelských zbraní během války 14-18, a vede k rozšíření, jako je Apolloniův baderne fraktál .
Tato část popisuje klasické konstrukce pravítka a kompasu kontaktních bodů nebo hledaných středů pomocí konfigurací zahrnujících vlastnosti kružnice, homothety a sílu bodu vzhledem ke kružnici . Začíná to připomenutím konstrukcí tečen (které lze považovat za konkrétní případy kontaktních problémů, když čáry považujeme za kružnice nekonečného poloměru).
Tečny do kruhu Tečna v bodě kruhuZ bodu A umístěného na kružnici se středem O můžeme vést tečnu k této kružnici nakreslením kolmice v A na poloměr [OA]. Diagram ukazuje metodu: počínaje od bodu B symetrického k O ve srovnání s A, vytvoří se kolmá přímka [BO], která je tečná ke kružnici.
Tečny do kruhu procházejícího daným bodemZ bodu M mimo kružnici můžeme k této kružnici vést dvě tečny; dotknou se kruhu na A a B a my máme MA = MB. Přímka (OM) je osou symetrie obrázku, je půlící rovinou úhlu AMB. Konstrukce Euklida : vzhledem k kružnici ( c ) středu O a bodu M vně kružnice jsou body dotyku A a B tečen z M průsečíky kružnice ( c ) a kružnice průměru [ MO].
Síla bodu vzhledem ke kružniciZákladní princip spočívá v pozorování, že pokud M je bod tečny v bodě T ke kružnici, pak pro jakýkoli sečen do kružnice v A a B procházející M, máme MA.MB = MT²
Kružnice procházející dvěma danými body a tečnou k dané přímceNechť M 1 a M 2 jsou dva dané body a (d) úsečka, jde o nalezení bodu tečnosti T kružnice, který se má najít s úsečkou (d). V tomto příkladu zvolíme M 1 a M 2 ve stejné polorovině a s (M 1 M 2 ) protínajícím se (d) v I.
Víme, že IT² musí rovnat IM 1 .IM 2 . Délka IT, se potom vypočte za použití trojúhelníku IM 1 H obdélník, jehož H M 2 je patka výšky vyplývající z H. Víme, ve skutečnosti, podle majetku pravoúhlého trojúhelníku, který IH² = IM 1 .IM 2 . Tuto vzdálenost IH na přímce (d) stačí odložit, abychom našli řešení bodu T. Všimli jsme si, že ve skutečnosti existuje další bod T 've správné vzdálenosti od I, symetrický od bodu T vzhledem k I, který poskytuje druhé řešení problému.
Existují i další možné konstrukce, jako je práce na vlastnostech vepsaného úhlu nebo práce úpravou: za předpokladu, že kolmá přímka [M 1 M 2 ] splňuje přímku v J, sestrojíme kružnici, jejíž střed je na kolmé přímce a která je tečna k (d), homothety se středem J umožní zvětšit nebo zmenšit kruh tak, aby prošel M 1 a M 2 (obecně 2 řešení).
Kružnice procházející dvěma danými body a tečná k dané kružniciNechť M 1 a M 2 jsou dva dané body a (c) kružnice, musíme najít bod tečnosti T řešení kružnice s kružnicí. V tomto příkladu volíme body mimo kružnici a ne symetrické vzhledem k poloměru kružnice (c).
Cíl spočívá v prvním hledání bodu I, který má stejnou sílu vzhledem ke dvěma kruhům. Postavíme pomocnou kružnici procházející M 1 a M 2 a setkávající se s kružnicí (c) v P a P '. Přímky (PP ') a (M 1 M 2 ) se setkávají v I. Tečny z I poskytují body řešení T. Opravdu:
IT² = IP.IP ‚= IM 1 .IM 2 . Kružnice tečná ke dvěma daným kruhům procházejícím daným bodemMyšlenkou je nahradit omezení v kruhu omezením v bodě. Za tímto účelem studujeme vlastnosti kružnice tečné ke dvěma kružnicím.
Dáme dva kruhy ( c 1 ), ( c 2 ) se středy O 1 , O 2 , různých poloměrů r 1 a r 2 a kružnici ( c ) tečnou k těmto dvěma kruhům.
Existují dvě homothety H (S, r 2 / r 1 ) a H (S ', - r 2 / r 1 ) transformující ( c 1 ) na ( c 2 ).
Body S a S 'centra homotety kruhů jsou body, které sdílejí segment [O 1 O 2 ] v poměrech ± r 1 / r 2 .
Pokud je kružnice ( c ) tečná ke kružnicím ( c 1 ) a ( c 2 ) v T a T ', přímka (TT'), která spojuje kontaktní body, prochází středem homotety. Ve skutečnosti existuje homothety transformace středu T ( c 1 ) na ( c ) a homothety transformace středu T '( c ) na ( c 2 ), což při kombinaci dává jednu z předchozích dilatací. Středy těchto tří homothety jsou proto zarovnány. Síla p středu stejnolehlost vzhledem k proměnné kružnice ( c ) je konstantní.
p = ST × ST '= ST × ST 1 × ST' / ST 1 = ST × ST 1 × r 2 / r 1 .Získáme sílu bodu S vzhledem ke kružnici ( c 1 ) vynásobené poměrem poloměrů.
Pokud jsou U a U 'průsečíky ( c 1 ) a ( c 2 ) s přímkou středů, síla bodu S vzhledem ke kružnici průměru [UU'] je p = SU × SU '.
Pokud nyní hledáme kružnici procházející bodem M 1 a tečnou ke dvěma kružnicím, vytvoříme bod M 2 , o kterém víme, že patří do správné kružnice. Hledá se jako průsečík hledané kružnice s přímkou (SM 1 ). Víme, že tento bod musí ověřovat p = SM 1 .SM 2 = SU.SU '. Tento bod je tedy průsečíkem kružnice UU'M 1 s (SM 1 ).
Zbývá jen najít kružnici tečnou k ( c 1 ) a procházející M 1 a M 2 . Druhé homothety centrum povede ke konstrukci dalšího bodu.
Kružnice procházející daným bodem a tečna k dané přímce a dané kružniciStejně jako dříve je myšlenkou nahradit kružnici bodem studiem vlastností kružnice (c) tečné ke kružnici a k přímce.
V opačném příkladu, kde (c) a (c 1 ) jsou tečny na vnější straně, jsou body S a S 'konce průměru (c 1 ) kolmo na (d). Cílem je ukázat, že síla p S vzhledem ke kružnici (c) je nezávislá na (c). Označíme H ortogonální projekci S na (d), T bod tečnosti dvou kružnic a T 'bodu přímky a kružnice (c). Body S, T a T 'jsou zarovnány, protože kružnice jsou stejnoměrné se středem T.
Síla S vzhledem k (c) je p = ST.ST '.
Trojúhelníky STS 'a SHT' jsou podobné, protože obdélníky sdílející stejný úhel, proto ST / SH = SS '/ ST'. Křížovým produktem p = ST.ST '= SH.SS'.
Pokud nyní hledáme kružnici procházející bodem M 1 a tečnou ke kružnici a k přímce, nejprve vytvoříme bod M 2 , o kterém víme, že patří do správné kružnice. Hledá se jako průsečík hledané kružnice s přímkou (SM 1 ). Víme, že tento bod musí ověřovat p = SM 1 .SM 2, proto SM 1 .SM 2 = SH.SS '. Tento bod je tedy průsečíkem kružnice HS'M 1 s (SM 1 ). Podobné uvažování lze provést s vnitřně tečnými kružnicemi pomocí S '.
Vracíme se tedy k problému najít kružnici procházející dvěma body a tečnou k dané přímce.
„Paralelní překlad“ VièteVièteovou myšlenkou je všimnout si, že pokud víme, jak nakreslit kružnici procházející bodem a tečnou ke dvěma objektům (přímku nebo kružnici), zvětšením nebo zmenšením poloměru řešení kružnice o hodnotu r, můžeme najít kružnice tečná ke kružnici o poloměru r a tečná ke dvěma dalším kružnicím nebo přímým objektům, které posunuly svůj bod tečnosti dále nebo blíže.
Abychom tedy nakreslili tečnu kružnice zvenčí na 2 kružnice a na čáru, považujeme nejmenší kružnici, zmenšíme její velikost na nulu, zatímco zmenšíme poloměr druhé kružnice o r a posuneme čáru dále, hledáme kružnici -řešení nové konfigurace. K nalezení kruhového řešení počáteční úlohy bude stačit zmenšit poloměr kruhového řešení r. Pokud chceme, aby se kruhové řešení a malý kruh dotýkaly uvnitř, musíme naopak linii přiblížit a zvětšit poloměr velké kružnice, najít řešení nového problému a poté zvětšit jeho poloměr.
|
V následující části budou problémy identifikovány podle jejich zkratky.
Pomocí lemmat, která nastavuje (paralelní překlad - nahrazení problému PCX problémem PPX), navrhuje Viète algoritmy pro zjednodušení problému, které umožňují dospět k problému PPP (kruh ohraničený třemi body). Dává následující strom:
Maximální počet řešení se vypočítá pozorováním, že kruhové řešení může být tečné interně nebo externě k ostatním kruhům a že maximální počet řešení konfigurace PPD jsou dva.
V XIX th století, diskuse o počtu řešení, Hadamard, circa 1898, nabízí 11 konfigurací pro problémem tří kruhů s výjimkou případů hraničních:
V roce 2013 navrhl Roger Tchangang Tambekou klasifikaci s přihlédnutím k existenci oddělovací kružnice či nikoli a podle celkového počtu průsečíků mezi kružnicemi. Mluví o dvojitém průsečíku pro bod společný třem kruhům. Poté navrhuje 17 konfigurací, které mohou vést k počtu řešení rovných 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8 nebo k nekonečnu řešení.
Počet křižovatek ▶ ▼ Konfigurace obsahuje: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
přísně oddělující kruh | 0 sol. | ||||||
žádná dělicí kružnice, tečná kružnice nebo dvojitý bod |
8 sol. | 4 sol. | 4 sol. | 8 sol. | |||
ani oddělovací kruh, ani dvojitý bod 1 nebo 2 tečné kružnice |
6 sol. | 5 sol. | 4 sol. | 5 sol. | 6 sol. | ||
tři tečné body | 5 sol. | ||||||
oddělovací kružnice, tečné kružnice bez dvojitých bodů |
2 sol. | 3 sol. | |||||
dvojité body | ∞ | 2 sol. | 3 sol. | 5 sol. |
a představuje soupis pro případy PCC a PPC
Počet křižovatek ▶ ▼ Konfigurace obsahuje | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
přísně oddělující kruh | 0 sol. | |||
žádná dělicí kružnice, tečná kružnice nebo dvojitý bod |
4 sol. | 2 sol. | 2 sol. | 2 sol. |
ani oddělovací kružnice ani dvojité tečné kružnice |
3 sol. | 2 sol. | ||
kružnice oddělující tečnu | 1 patro. | |||
dvojitý bod | ∞ | 1 patro. |
Případ PPC má pouze tři konfigurace: pokud se kružnice odděluje, neexistuje žádné řešení, pokud je bod na kružnici, existuje pouze jedno řešení, jinak existují 2.