Weberův problém je jedním z nejslavnějších problémů v teorii lokalizace . Zobecňuje Fermatův problém a sám byl zobecněn problémem přitažlivosti a odpuzování.
| Fermatův problém | Weberův problém | Problém přitažlivosti a odpuzování | |
|---|---|---|---|
| Vytvořeno uživatelem | Fermat (před 1640) | Simpson (1750) | Tellier (1985) |
| Geometrické řešení úlohy trojúhelníku | Torricelli (1645) | Simpson (1750) | Tellier (2013) |
| Přímé numerické řešení úlohy trojúhelníku | Tellier (1972) | Tellier (1972) | Tellier (1985) |
| Iterativní numerické řešení úlohy | Kuhn a Kuenne (1962) | Kuhn a Kuenne (1962) | Chen, Hansen, Jaumard a Tuy (1992) |
V případě trojúhelníku spočívá Fermatův problém v lokalizaci bodu D vzhledem ke třem bodům A, B a C takovým způsobem, že je minimalizován součet vzdáleností mezi D a každým z ostatních tří bodů. Tento problém formuloval Fermat před rokem 1640 a lze jej považovat za skutečný začátek teorie lokalizace i ekonomiky vesmíru . Torricelli našel geometrické řešení tohoto problému kolem roku 1645, ale o více než 325 let později tento problém stále neměl přímé numerické řešení. Kuhn a Kuenne našli iterativní řešení obecného Fermatova problému v roce 1962 a v roce 1972 Luc-Normand Tellier našli přímé numerické řešení problému Fermatova trojúhelníku, přičemž toto řešení bylo trigonometrické. Řešení Kuhna a Kuenneho platí pro případy trojúhelníku a mnohoúhelníků více než tří stran, zatímco řešení Tellieru platí pouze pro trojúhelník; z níže vysvětlených důvodů.
Pokud jde o Weberův problém, spočívá v případě trojúhelníku v lokalizaci bodu D vzhledem ke třem bodům A, B a C tak, aby se minimalizoval součet nákladů na dopravu mezi D a každým z ostatních tří bodů. Tento problém představuje zevšeobecnění Fermatova problému vzhledem k tomu, že bere v úvahu, jak uvidíme dále, stejné i nerovné přitažlivé síly, zatímco Fermatův problém se zabývá pouze případem, kdy jsou všechny atraktivní síly systému stejné . Problém trojúhelníku „Weber“ zformuloval a vyřešil poprvé Thomas Simpson v roce 1750, ale je pojmenován po Alfredu Weberovi , který popularizoval rok 1909. Iterativní řešení Kuhna a Kuenne nalezené v roce 1962 a přímé řešení de Tellier nalezené v 1972 platí jak pro problém Weberova trojúhelníku, tak i pro Fermatův trojúhelník, řešení Kuhna a Kuenne platí také pro případ polygonů s více než třemi stranami.
Ve své nejjednodušší verzi spočívá problém přitahování a odpuzování v umístění bodu D vzhledem ke třem bodům A 1 , A 2 a R takovým způsobem, že síly přitažlivosti vyvíjené body přitažlivosti A 1 a A 2 a odpudivá síla vyvíjená odpuzovacím bodem R se navzájem ruší, což charakterizuje optimální lokalizaci bodu D. Tento problém představuje zevšeobecnění Fermatova i Weberova problému. Poprvé byl formulován a vyřešen v případě trojúhelníku v roce 1985 společností Tellier. V roce 1992 našli Chen, Hansen, Jaumard a Tuy iterativní řešení problému přitahování a odpuzování u polygonů, které mají více než tři strany.
Torricelliho geometrické řešení problému Fermatova trojúhelníku vychází ze dvou pozorování:
Z prvního pozorování můžeme dokázat, že v optimu musí být úhly mezi řádky AD, BD a CD nutně rovny 360 ° / 3 = 120 °. Torricelli z tohoto závěru vyvodil, že:
Simpsonovo řešení problému „Weber“ vyplývá přímo z Torricelliho řešení Fermatova problému. Simpson a Weber poukázali na to, že pokud jde o minimalizaci celkových nákladů na dopravu, výhoda přiblížení k jednomu z bodů přitažlivosti A, B nebo C závisí na tom, co se přepravuje z nebo do těchto bodů, a na nákladech na dopravu použitelné tam. Výsledkem je, že výhoda přiblížení míle k A, B nebo C není stejná. Se liší. Rovněž úhly ∠ADB, ∠ADC a ∠BDC již nemusí být 120 °.
Simpson pochopil, že stejně jako v případě Fermatova trojúhelníkového problému byly konstruované trojúhelníky ABE, ACF a BCG rovnostranné, protože tři atraktivní síly byly stejné, v případě Weberova trojúhelníkového problému byly konstruované trojúhelníky ABE, ACF a BCG musely být úměrné různým přitažlivým silám lokalizačního systému.
Simpsonovo řešení je takové, že:
Rozumí se, že třetí zkonstruovaný trojúhelník úměrný trojúhelníku sil přitažlivosti lze zkonstruovat ze strany střídavého proudu a že popsaná kružnice nakreslená z tohoto zkonstruovaného trojúhelníku také prochází dvěma dalšími kružnicemi popsanými v bodě D.
Geometrické řešení problému přitažlivosti a odpuzováníLuc-Normand Tellier našel geometrické řešení problému trojúhelníkové přitažlivosti a odpuzování. Toto řešení se výrazně liší od řešení Torricelli a Simpson. Zatímco v těchto posledních dvou případech byly trojúhelníky sil konstruovány mimo trojúhelník polohy ABC, zde jsou dva konstruované trojúhelníky superponovány na trojúhelník polohy A 1 A 2 R (kde A 1 a A 2 jsou dva přitažlivé body a R je bod odpuzování).
Řešení se vyznačuje tím, že:
Je zřejmé, že toto řešení je použitelné pouze v případě, že žádná ze tří sil není dominantní (síla je dominantní, pokud je její „velikost“ větší než součet velikostí ostatních dvou sil) a pokud jsou úhly kompatibilní. V určitých případech mohou být úhly problému neslučitelné, i když není dominantní žádná síla; pak je optimální umístění v bodě, který vyvíjí největší přitažlivou sílu.
Trigonometrické řešení problémů Fermatových a Weberových trojúhelníkůVíce než 332 let odděluje první formulaci problému s Fermatovým trojúhelníkem a objev neerativního numerického řešení tohoto problému. To je o to překvapivější, že po celou tu dobu nebo téměř měl tento problém geometrické řešení. Zkoumání dvou scénářů nám umožňuje pochopit, proč tomu tak bylo. V klasickém případě, když bylo nalezeno optimální řešení, charakterizuje Fermatův a Weberův problém šest úhlů ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 a ∠6, přičemž tyto úhly jsou ty, které tvoří tři strany lokační trojúhelník a tři vektory směřující ke třem vrcholům tohoto trojúhelníku. Prozkoumáním tohoto klasického případu můžeme snadno napsat následujících šest rovnic obsahujících šest neznámých (tj. Úhly ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 a ∠6) a šest známých hodnot (tj. Tři úhly ∠A, ∠B a ∠C lokalizačního trojúhelníku, úhly, které jsou uvedeny, a tři úhly ∠α A , ∠α B a ∠α C tvořené třemi vektory orientovanými k bodům přitažlivosti A, B a C, jejichž hodnoty závisí pouze na relativní velikosti tří přitažlivých sil přitahujících se k bodům přitažlivosti A, B a C, přičemž jsou uvedeny také tři přitažlivé síly):
∠1 + ∠2 = ∠C;
∠3 + ∠4 = ∠A;
∠5 + ∠6 = ∠B;
∠1 + ∠6 + ∠α A = 180 °;
∠2 + ∠3 + ∠α B = 180 °;
∠4 + ∠5 + ∠α C = 180 °.
Bohužel je tento systém šesti rovnic obsahujících šest neznámých neurčitý, což představovalo hlavní překážku při hledání přímého numerického řešení. Druhý případ vysvětluje, proč jsou rovnice tohoto systému nadbytečné. Tento případ odpovídá situaci, kdy tři vektory nemají společný původ. Pozorujeme v takovém případě, že šest rovnic, které jsme napsali, je stále platných, zatímco druhý případ se liší od prvního, protože ve druhém případě optimální lokalizace P zmizela kvůli vzhledu „díry“ uvnitř trojúhelníku . Ve skutečnosti, jak prokázal Tellier, má tato trojúhelníková díra přesně stejné proporce jako silové trojúhelníky konstruované v Simpsonově geometrickém řešení.
Poté, co jsme si všimli, že možná existence této trojúhelníkové díry vysvětluje redundanci rovnic systému napsaného výše, je třeba najít řešení, jak do tohoto systému přidat sedmý požadavek, podle kterého uvnitř trojúhelníku nesmí být taková trojúhelníková díra. . Jinými slovy, počáteční body tří vektorů směřujících k vrcholům polohovacího trojúhelníku se musí shodovat.
Stručně řečeno, trigonometrické řešení problémů Fermatových a Weberových trojúhelníků zahrnuje tři kroky.
Luc-Normand Tellier rozšířil problém Fermat-Weber na případy odporových sil. Předpokládejme trojúhelník A 1 A 2 R zahrnující dvě přitažlivé síly A1 w a A2 w a sílu odpuzování R w. V tomto případě, stejně jako v předchozím případě, je možné, že se počátky tří vektorů neshodují, což představuje stejný problém jako dříve. Trigonometrické řešení tohoto problému zahrnuje následující kroky:
Když počet sil přesáhne tři, již není možné určit úhly oddělující síly bez zohlednění geometrie polygonu polohy. Geometrické a trigonometrické metody jsou poté nepoužitelné. V takovém případě je nutné použít iterační optimalizační metody. Kuhn a Kuenne definovali jeden, který umožňuje řešení Fermatových problémů a Weberových problémů zahrnujících více než tři atraktivní síly, ale který nelze použít v případě problémů přitažlivosti a odpuzování. V druhém případě, pokud počet sil přesáhne počet tří, je nutné použít algoritmus vyvinutý Chenem, Hansenem, Jaumardem a Tuyem.
V konkrétním ekonomickém prostoru jsou síly odporu všudypřítomné. Hodnoty pozemků jsou s tím spojeny zejména do té míry, že většinu teorie hodnot pozemků, městských i venkovských, lze shrnout následovně.
V prostoru, kde existuje pouze jeden přitažlivý bod (ať už se jedná o centrum města nebo trh na zemědělském území) a kde jsou všichni ekonomičtí činitelé (producenti nebo spotřebitelé) vystaveni přitažlivosti od tohoto bodu, soutěž mezi různí uchazeči, kteří se snaží umístit do centra, přirozeně vedou k pozemským hodnotám, které transformují jedinečný bod přitažlivosti systému na bod odporu z hlediska pozemních hodnot. Tento vznik odpudivých sil umožňuje dosažení prostorovo-ekonomické rovnováhy charakterizované skutečností, že v optimálním případě bude každý ekonomický agent umístěn tam, kde se síla přitažlivosti a odporová síla na ně působící středem navzájem ruší .
Formulace problému přitahování a odpuzování předcházela vzniku Nové geografické ekonomiky , rozsáhlého proudu výzkumu, který se vyvinul v 90. letech a v roce 2008 získal Paula Krugmana „ Nobelovu cenu za ekonomii “. Ottaviano a Thisse to považují za předehru k tomuto proudu. Pojem přitažlivých a odporových sil skutečně úzce souvisí s pojmem sil aglomerace a disperze vyvinutým novou geografickou ekonomikou.