Quadri-moment
Ve speciální relativitě je quadri-moment (nebo quadrivector impuls nebo quadri impuls nebo quadrivector impulsní energie nebo quadrivector energie hybnosti ) je zobecněním trojrozměrné lineární moment z klasické fyziky v podobě quadrivector z prostoru Minkowski , 4-dimenzionální časoprostor speciální relativity.
Kvadri-moment částice kombinuje trojrozměrný moment a energii :
p→=(pX,py,pz){\ displaystyle {\ vec {p}} = (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}E{\ displaystyle E}
(p0p1p2p3)=(E/vs.pXpypz)=(ymvs.ymprotiXymprotiyymprotiz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p ^ {0} \\ p ^ {1} \\ p ^ {2} \\ p ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} E / c \\ p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma mc \\\ gamma mv_ {x} \\\ gamma mv_ {y } \\\ gamma mv_ {z} \ end {pmatrix}}}Jako každý kvadrivektor je kovariantní, to znamená, že změny jeho souřadnic během změny inerciálního referenčního rámce se počítají pomocí Lorentzových transformací .
V dané základně minkowského časoprostoru jsou zaznamenány jeho souřadnice , v přidružené kovariantní základně jsou zaznamenány jeho souřadnice a jsou rovny (p0;p1;p2;p3){\ displaystyle \ \ left (p ^ {0}; p ^ {1}; p ^ {2}; p ^ {3} \ vpravo)} (p0;p1;p2;p3){\ displaystyle \ \ left (p_ {0}; p_ {1}; p_ {2}; p_ {3} \ vpravo)} pi=ηij.pj{\ displaystyle \ p_ {i} = \ eta _ {ij} .p ^ {j}}
Vztah se čtyřnásobnou rychlostí
Věděli jsme, že v klasické mechanice je vztah mezi hybností a rychlostí nerelativistické částice následující:
p→=mproti→{\ displaystyle {\ vec {p}} = m {\ vec {v}}}kde je hmota v klidu.
m{\ displaystyle m}
Můžeme tento koncept zobecnit na čtyři dimenze zavedením čtyřnásobné rychlosti. U částice vybavené nenulovou hmotností, ale s nulovým elektrickým nábojem, je čtyřnásobný moment dán součinem hmotnosti v klidu a čtyřnásobné rychlosti .
m{\ displaystyle \ m} u{\ displaystyle \ u}
V kontrariantních souřadnicích máme , kde je Lorentzův faktor a c je rychlost světla :
u=(u0,u1,u2,u3)=(y.vs.,yprotiX,yprotiy,yprotiz){\ displaystyle \ u = \ left (u ^ {0}, u ^ {1}, u ^ {2}, u ^ {3} \ right) = \ left (\ gamma .c, \ gamma v_ {x} , \ gamma v_ {y}, \ gamma v_ {z} \ vpravo)}y=11-(protivs.)2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - ({\ frac {v} {c}}) ^ {2}}}}}
pμ=muμ{\ displaystyle p ^ {\ mu} = m \, u ^ {\ mu} \!} nebo
μ∈{0,1,2,3}{\ displaystyle \ mu \ in {\ big \ {} 0,1,2,3 {\ big \}}}
Minkowského norma: p 2
Výpočtem Minkowského normy kvadri-momentu získáme Lorentzův invariant rovný (na faktor rovný rychlosti světla c blízký) druhé mocnině klidové hmotnosti částice:
p⋅p=ημνpμpν=E2vs.2-|p→|2=m2vs.2{\ displaystyle p \ cdot p = \ eta _ {\ mu \ nu} p ^ {\ mu} p ^ {\ nu} = {E ^ {2} \ nad c ^ {2}} - | {\ vec { p}} | ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2}}Jelikož je Lorentzův invariant, jeho hodnota zůstane nezměněna Lorentzovými transformacemi, to znamená změnou setrvačného referenčního rámce . Použití Minkowského metriky :
|p|2{\ displaystyle | p | ^ {2} \!}
ημν=(10000-10000-10000-1){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ začátek {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 a 0 & -1 \ end {pmatrix}}}Metrický tensor je ve skutečnosti definován až do znamení. Konvenci namísto konvence přijaté v tomto článku najdete v některých pracích . Fyzikální výsledky jsou zjevně stejné bez ohledu na zvolenou konvenci, ale je třeba dbát na to, aby nebyly zaměňovány.
ημν=(-,+,+,+){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = (-, +, +, +)}ημν=(+,-,-,-){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = (+, -, -, -)}
Zachování kvadri-momentu
Zachování kvadri-momentu v daném referenčním rámci implikuje dva zákony zachování pro takzvané klasické veličiny :
- Celkové množství energie je neměnné. E=vs..p0{\ displaystyle \ E = cp ^ {0}}
- Klasický trojrozměrný lineární moment zůstává neměnný.p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}
Je třeba mimochodem poznamenat, že hmotnost soustavy částic může být větší než součet hmotností částic v klidu, a to kvůli kinetické energii . Vezměme si například 2 částice kvadri-momentu {5 Gev, 4 Gev / c , 0, 0} a {5 Gev, -4 Gev / c , 0, 0}: každá z nich má hmotu v klidu 3 Gev / c 2, ale jejich celková hmotnost (tj. Opět hmotnost systému) je 10 Gev / c 2 . Pokud se tyto 2 částice srazí a spojí, hmotnost takto vytvořeného objektu je 10 Gev / c 2 .
Praktická aplikace zachování částicové hmoty ve fyzice částic umožňuje z kvadri-momentů p A a p B 2 částic vytvořených rozpadem větší částice mající quadri-moment q najít hmotu počáteční částice. Konzervování kvadrimomentu dává q μ = p A μ + p B μ a hmotnost M počáteční částice je dána | q | 2 = M 2 c 2 . Měřením energie a 3-momentů výsledných částic můžeme vypočítat klidovou hmotnost 2-částicového systému, která se rovná M. Tato technika se používá zejména při experimentálním výzkumu bosonu Z v urychlovačích částic .
Pokud se hmotnost objektu nezmění, je Minkowského tečkový součin jeho kvadri-momentu a odpovídajícího quadri-zrychlení A μ nulový. Zrychlení je úměrné časové derivaci momentu dělené hmotou částice:
pμNAμ=pμddtημνpνm=12mddt|p|2=12mddt(m2vs.2)=0.{\ displaystyle p _ {\ mu} A ^ {\ mu} = p _ {\ mu} {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ eta ^ {\ mu \ nu} p _ {\ nu }} {m}} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d} {dt}} | p | ^ {2} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d } {dt}} (m ^ {2} c ^ {2}) = 0.}
Je také užitečné definovat „kanonický“ moment (ve 4 rozměrech) pro aplikace v relativistické kvantové mechanice :, což je součet kvadri-momentu a součinu elektrického náboje s potenciálem (což je vektor ve 4 rozměrech):
Pμ{\ displaystyle P ^ {\ mu}}
Pμ=pμ+qNAμ{\ displaystyle P ^ {\ mu} = p ^ {\ mu} + qA ^ {\ mu} \!}kde 4-vektorový potenciál je kombinací mezi skalárním potenciálem a vektorovým potenciálem magnetického pole :
(NA0NA1NA2NA3)=(ϕ/vs.NAXNAyNAz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ phi / c \\ A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}Podívejte se také
Poznámky
-
obecné relativity a gravitace podle Edgard Elbaz, (elipsy 1986), kapitola IV, §4
-
Lev Landau a Evgueni Lifchits , teoretická fyzika , t. 2: Teorie pole [ detail vydání ], §9
-
Ch. Grossetête , omezená relativita a atomová struktura hmoty , Paříž, elipsy ,1985, 320 s. ( ISBN 2-7298-8554-4 ) , str. 61
-
Úvod do teorie relativity James H. Smith, InterEditions (1968) ( 2 th vydání v roce 1979 ( ISBN 2-7296-0088-4 ) opětovně vydávány Masson: Dunod - 3 th edition - 1997 ( ISBN 2-225-82985 -3 ) ), kapitola 12
-
Konvence znamení je přítomna v Lev Landau a Evgueni Lifchits , Physique theorique , t. 2: Teorie pole [ detail vydání ]ημν=(+,-,-,-){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = (+, -, -, -)} , například.
-
Zachování kvadri-momentu znamená, že v daném referenčním rámci je zachován celkový kvadri-moment izolovaného systému. Při změně úložiště, čtyři-hybnost podstoupí transformaci Lorentz: . Nový kvadri-moment je zase udržován v tomto novém referenčním rámci, ale nerovná se .pν{\ displaystyle p ^ {\ nu}}p′ μ=Λμνpν{\ displaystyle p '~ ^ {\ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} p ^ {\ nu}}p′ μ{\ displaystyle p '~ ^ {\ mu}}pν{\ displaystyle p ^ {\ nu}}
Reference
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">