Zbytky (komplexní analýza)

V komplexní analýzy je zbytek je komplexní číslo , která popisuje chování křivkového integrálu části funkce holomorphic kolem výstřednosti . Rezidua se počítají poměrně snadno a jakmile je známo, umožňují díky větě o zbytku vypočítat složitější křivočaré integrály .

Termín zbytek pochází z Cauchyho v jeho Matematických cvičeních publikovaných v roce 1826.

Definice a vlastnosti

Dovolit být open set of , sada na D z izolovaných bodů a holomorphic funkce . Pro každý bod , existuje sousedství relativně kompaktní označený v D , tak, že je holomorphic. Funkce f má v tomto případě Laurentovo rozšíření na U  : D⊆VS{\ displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}DF{\ displaystyle D_ {f}}F:D∖DF→VS{\ displaystyle f: D \ smallsetminus D_ {f} \ to \ mathbb {C}}na∈DF{\ displaystyle a \ v D_ {f}}U=Ur(na)∖{na}⊂D{\ displaystyle U = U_ {r} (a) \ smallsetminus \ {a \} \ podmnožina D} F|U{\ displaystyle f | _ {U}}

F|U(z)=∑ne=-∞∞nane(z-na)ne{\ displaystyle f {\ big |} _ {U} (z) = \ součet \ limity _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (za) ^ {n}}.

Potom definujeme zbytek f v a pomocí:

Resna⁡F≑na-1=12πi∮∂UF{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} f \ doteqdot a _ {- 1} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anint _ {\ částečné U} f}

Zbytek funkce holomorphic f v singulárního bodu (tyč nebo nezbytné, singulární bod), je tedy v -1 , to znamená, že koeficient v Laurent rozšíření funkce v sousedství . 1/(z-na){\ displaystyle 1 / (za)}

Zbytek je -Lineární, to znamená, že pro máme: . VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}λ,μ∈VS{\ displaystyle \ lambda, \ mu \ in \ mathbb {C}}REsna(λF+μG)=λREsnaF+μREsnaG{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {a} (\ lambda f + \ mu g) = \ lambda \ mathrm {Res} _ {a} f + \ mu \ mathrm {Res} _ {a} g}

Výpočtové metody

Rezidua se tradičně počítají dvěma způsoby:

• buď z vývoje Laurenta v sousedství a  ;
• nebo za použití následujícího obecného vzorce, v případě, f má již z pole pořadí n  :

Resna⁡F=1(ne-1)!limz→na∂ne-1∂zne-1((z-na)neF(z)){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} f = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ lim \ limity _ {z \ rightarrow a} {\ frac {\ částečné ^ {n- 1}} {\ částečné z ^ {n-1}}} ((za) ^ {n} f (z))}

Pro dvě funkce f a g s hodnotami v , máme také následující rovnice: VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

• Jestliže f má pól pořadí 1  :;Resna⁡F=limz→na(z-na)F(z){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} f = \ lim \ limity _ {z \ rightarrow a} (za) f (z)}
• Pokud f má má pól řádu 1 a v případě, g je holomorfní v  :  ;REsnaGF=G(na)REsnaF{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {a} gf = g (a) \ mathrm {Res} _ {a} f}
• Pokud f A CS má nulu v řádu 1  :;Resna⁡1F=1F′(na){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {1} {f}} = {\ tfrac {1} {f '(a)}}}
• Pokud f má na nulu, aby 1, a v případě, g je holomorfní v  :  ;Resna⁡GF=G(na)F′(na){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {g} {f}} = {\ tfrac {g (a)} {f '(a)}}}
• Pokud f má z nultého řádu n  :  ;Resna⁡F′F=ne{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {f '} {f}} = n}
• Pokud f má z nultého řádu n a, pokud g je holomorphic má  : .Resna⁡GF′F=G(na)ne{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} g {\ tfrac {f '} {f}} = g (a) n}

Příklady

• REsnaF=0{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {a} f = 0}když f je holomorfní v a .
• Buď . f má na 0 pól řádu 1 a .F(z)=1z{\ displaystyle f (z) = {\ tfrac {1} {z}}}REs0F=1{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {0} f = 1}
• F(z)=cos⁡(z)z=1z-z2!+z34!-⋯{\ displaystyle f (z) = {\ tfrac {\ cos (z)} {z}} = {\ tfrac {1} {z}} - {\ tfrac {z} {2!}} + {\ tfrac { z ^ {3}} {4!}} - \ cdots} v sousedství 0. Zbytek má tedy hodnotu 1.
• Res1⁡zz2-1=12{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {1} {\ tfrac {z} {z ^ {2} -1}} = {\ tfrac {1} {2}}}, jak je vidět hned s linearitou a logaritmickým derivačním pravidlem , protože a v 1 je nula řádu 1.z↦z2-1{\ displaystyle z \ mapsto z ^ {2} -1}
• Funkce gama má in -n pro všechny póly řádu 1 a zbytek stojí za to .ne∈NE{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}Res-ne⁡Γ=(-1)nene!{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {- n} \ Gamma = {\ tfrac {(-1) ^ {n}} {n!}}}

Věta o zbytku

Nechť f je holomorfní funkce zapnutá , hvězdička otevřená nebo obecněji jednoduše spojená , snad s výjimkou singularit izolovaných v bodech množiny . Pak, pokud je vtažena krajka a nesplňuje S , máme: Ω{\ displaystyle \ Omega}S⊂Ω{\ displaystyle S \ podmnožina \ Omega}y{\ displaystyle \ gamma}Ω{\ displaystyle \ Omega}

∫yF(z)dz=2iπ∑z∈SIndy⁡(z)Res⁡(F,z){\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm {d} z = 2 \ mathrm {i} \ pi \ sum _ {z \ v S} \ operatorname {Ind} _ {\ gamma} (z) \ operatorname {Res} (f, z)}

kde je index cesty k bodu z . Jánedy(z){\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z)}y{\ displaystyle \ gamma}

Reference

• Claude Wagschal, holomorfní funkce. Diferenciální rovnice , Hermann, kol. „Metody“, 2003, s. 119-120.
• Augustin Louis Cauchy, Matematická cvičení , 1826, s. 11 Zobrazit online

(de) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z německého článku na Wikipedii s názvem „  Residuum (Funktionentheorie)  “ ( viz seznam autorů ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">