Laurentova řada

Tento článek se zabývá Laurentovým sériovým vývojem v komplexní analýze. Definici a vlastnosti formálních Laurentových řad v algebře naleznete v článku Formální řady .

V komplexní analýzy je řada Laurent (také volal Laurent rozvoj ) z funkce holomorphic f je způsob vyjádření f v blízkosti jednoho singularity , nebo obecněji, kolem „díry“ v jeho oblasti definice.. Reprezentujeme f jako součet řady mocnin (kladných nebo záporných exponentů) komplexní proměnné.

Holomorfní funkce f je analytická , to znamená rozvinutelná v celočíselných řadách v sousedství každého bodu její definiční oblasti. Jinými slovy, v sousedství bodu a, kde je definováno f , můžeme napsat f ( z ) ve tvaru:

f (z) = \ součet _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {n} (za) ^ {n}

Vytvořili jsme celou řadu objeví na , což je série Taylora z f u . Laurentova řada může být viděna jako rozšíření popisující f kolem bodu, kde není ( a priori ) definována. Zahrnujeme síly záporných exponentů; série Laurent bude proto představena v podobě:

f (z) = \ součet _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} a_ {n} (za) ^ {n}

Laurent série byla pojmenována po jejich zveřejnění Pierre Alphonse Laurent v roce 1843 . Karl Weierstrass byl první, kdo je objevil, ale svůj objev nezveřejnil.

Autoři nejčastěji komplexní analýzy současné série Laurent pro holomorfních funkcí definovaných na koruny , to znamená, že otvory o komplexní rovině vymezené dvěma soustřednými kruhy . Tyto série se používají hlavně ke studiu chování holomorfní funkce kolem singularity.

Státy

Koruna se středem na a je otvorem komplexní roviny ohraničené nanejvýš dvěma kruhy se středem a . Obecně je koruna ohraničena dvěma kruhy příslušných poloměrů r , R tak, že r < R . Lze však uvažovat o několika zvrhlých případech: $\ mathbb {C}$

Pokud R je roven do nekonečna, koruna považován je doplňkem z uzavřeného disku se středem A a poloměrem r ;
Pokud r je 0, koruna odpovídá otevřenému disku se středem a a poloměrem R , zbaveného a . Mluvíme také v tomto případě tupého disku ;
Pokud r je 0 a R je nekonečný, pak je koruna soukromá komplexní rovina bodu a .

Pro jakoukoli holomorfní funkci f na koruně C se středem a existuje jedinečná posloupnost taková, že: ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$

f (z) = \ součet _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} a_ {n} (za) ^ {n}

kde řada funkcí konverguje normálně na kompaktní koruny C . Kromě toho jsou koeficienty a n dány vztahem:

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anoint _ {\ gamma} {\ frac {f (z) \, \ mathrm {d} z} { (za) ^ {n + 1}}}}

což je nastavení středového kruhu bylo nakresleno v koruně. $\ gama$

Na příkladu

Racionální funkce je holomorphic mimo jeho pólů . Vyjádříme Laurentovu řadu racionální funkce F na pólu a výpočtem Taylorovy řady ( z - a ) n F ( z ) s n dostatečně velkým. Například na tupém disku najdeme řadu Laurent se středem $j$ ( krychlový kořen jednotky ) a poloměrem : ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 + z + z ^ {2}}} = {\ frac {1} {3}} \ sum _ {n \ geq -1} {\ left (\ mathrm {i } {\ frac {(z- \ mathrm {j})} {\ sqrt {3}}} \ vpravo)} ^ {n}}

Ve skutečnosti, $j$ a $j 2$ jsou kořeny polynomu 1 + Z + Z 2 . Jsme tedy schopni psát, s y = z - $j$ :

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 + z + z ^ {2}}} = {\ frac {1} {y}} \ cdot {\ frac {1} {y + \ mathrm {i} {\ sqrt {3}}}} = {\ frac {1} {y \ mathrm {i} {\ sqrt {3}}}} \ sum _ {n \ geq 0} {\ left ({\ frac {\ mathrm { i} y} {\ sqrt {3}}} \ vpravo)} ^ {n}}

Tento druh technik je zobecněn v algebře k vývoji racionálních zlomků ve formální Laurentově sérii (nebo formální meromorfní řadě). Tento typ vývoje lze skutečně přizpůsobit jakémukoli kruhu.

Důkazy

Navrhujeme dva různé důkazy o existenci Laurentovy řady a jejím způsobu konvergence:

První důkaz je založen na Fourierově teorii , která se snaží rozložit periodické funkce reálné proměnné na součet sinusoidů;
Druhý důkaz je založen přímo na integrálním vzorci Cauchyho , který umožňuje zapsat hodnotu holomorfní funkce v bodě jako určitý křivočarý integrál na kontuře obklopující bod.

Pro zjednodušení zápisu předpokládáme, bez ztráty obecnosti, a = 0. Můžeme jej snížit působením překladu . Předpokládáme tedy, že f je holomorfní funkce na koruně C ohraničená dvěma kruhy se středem 0 a příslušnými poloměry r , R takovými, že r < R . $z \ mapsto za$

Fourierovou teorií

Omezení f na kružnici poloměru s (zahrnuto mezi r a R ) lze považovat za 2π-periodickou funkci skutečné proměnné f s : stačí vyjádřit f ( z ) jako funkci argumentu z . Ptáme se:

{\ displaystyle f_ {s} (t) = f (s \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t})}

Konvergenční věta Dirichlet platí pro kontinuální periodické funkce f sa a napomáhá štěpení jako suma sine. Přesněji lze ukázat Fourierovy koeficienty (které závisí na výběru s ), například: $c_ {n} (f, s)$

{\ displaystyle f_ {s} (t) = \ součet _ {n = - \ infty} ^ {n = + \ infty} c_ {n} (f, s) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}}

Protože je však funkce f s třídy alespoň C 1 , Fourierova řada normálně konverguje k f s . Tento obecný výsledek Fourierovy teorie je demonstrován použitím odhadů rychlosti konvergence Fourierových koeficientů. Když vezmeme argument znovu, můžeme získat normální konvergenci na libovolném kompaktu řady, viděném jako řada funkcí v s a t . Získaná řada bohužel není, alespoň ve vzhledu, přesně v požadované formě: musí se objevit mocniny z . Je proto nutné odstranit závislost Fourierových koeficientů v modulu s . Přesněji je třeba hledat definování komplexních koeficientů ověřujících: $c_ {n} (f, s)$ $rok$

c_ {n} (f, s) = a_ {n} (f) s ^ {n}

. (*)

Máme však integrální výraz pro Fourierovy koeficienty: v důsledku toho lze funkci s považovat za integrál s parametry . Můžeme se pokusit zjistit jeho pravidelnost a poté vyjádřit jeho derivaci. Je pozoruhodné získat diferenciální rovnici, kterou lze relativně snadno integrovat: $c_ {n} (f, s)$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} c_ {n} (f, s) = {\ frac {n} {s}} c_ {n} (f, s )}

Z této diferenciální rovnice efektivně vyplývá (*), což umožňuje vidět f jako součet Laurentovy řady, která alespoň občas konverguje. A normální konvergence na jakémkoli kompaktu koruny bude něco, co již bylo získáno. Stále z (*) a vyjádření Fourierových koeficientů odvodíme:

{\ displaystyle a_ {n} (f) = {\ frac {c_ {n} (f, s)} {s ^ {n}}} = \ mast _ {\ gamma} {\ frac {f (z) \ , \ mathrm {d} z} {(zc) ^ {n + 1}}}}

Tímto způsobem je existence Laurentovy řady ukázána v širokém obrysu pomocí jediných nástrojů Fourierovy teorie.

Demonstrace Rozklad Fourierovy řady Holomorfní funkce je funkce vyvinutá v celé řadě v kterémkoli bodě její definiční oblasti. Proto je neomezeně rozlišitelný. Složením je výše definovaná funkce f s funkcí neomezeně diferencovatelnou od reálné proměnné. Navíc je -periodické. Platí Dirichletova konvergenční věta a ukazuje, že funkce f s je součtem její Fourierovy řady :

2 \ ft

{\ displaystyle f \ left (s \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} \ right) = \ součet _ {n = - \ infty} ^ {n = \ infty} c_ {n} (f, s) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}}

. kde řada funkcí konverguje alespoň příležitostně . Dále známe vliv derivace na Fourierovy koeficienty, popsané v článku Fourierova řada . Částečná integrace poskytuje ve skutečnosti:

| c_ {n} (f, s) | \ leq {\ frac {\ | f_ {s} '' \ | _ {{\ infty}}} {n ^ {2}}}

, kde označuje nekonečnou normu nad prostorem omezených -periodických funkcí. Je možné vyjádřit jako funkci prvních derivací f . Opravme dva mezilehlé poloměry r < u < U < R . Uzavřená koruna F ohraničená kruhy o poloměru u a U je kompaktní (je to skutečně ohraničená uzavřená z C ) a derivace f jsou spojité funkce na F , a proto ohraničené. Aniž bychom se pokoušeli vyjádřit deriváty f pomocí Cauchyova integrálního vzorce , získáme přímo:

\ | \ cdot \ | _ {{\ infty}}

2 \ ft

f_ {s} ''

u <s <U, \ quad | c_ {n} (f, s) | \ leq {\ frac {Cste} {n ^ {2}}}

. Jak je obecným termínem série 1 / n 2 je summable, série funkcí se obvykle konvergentní na každém uzavřeném crown C .

{\ displaystyle \ sum c_ {n} (f, s) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}}

Normální konvergence na jakémkoli kompaktu Jestliže K je kompaktní C , aplikace na komplexní kombajny jeho modul vyvolává kontinuální funkce na K . Je tedy omezený a dosahuje svých limitů. Jinými slovy, máme rámec:

\ forall z \ v K, \ quad u \ leq | z | \ leq U

; kde skutečné U a U jsou realizovány jako prvek moduly K a tím spíše o C . Protože C je koruna ohraničená kruhy rayosn r a R , odvodíme r < u < U < R . Takže, K je součástí uzavřeného prstence ohraničené kruhy poloměry U a U , který je sám součástí C . Jako každá kompaktní C je obsažen v dostatečně velkém kruhu uzavřeného C , normální konvergence na jakémkoliv uzavřeném kruhu C (dříve nastavené) znamená normální konvergenci na každém kompaktním C . Vyjádření Fourierových koeficientů Tyto Fourierovy koeficienty jsou definovány integrální vzorec:

{\ displaystyle c_ {n} (f, s) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f \ vlevo (s \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} \ vpravo) \ mathrm { e} ^ {- \ mathrm {i} nt} {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}}}

. Zejména je integrál na segmentu [0, 2π] spojité funkce v závislosti na reálném parametru s . Tato integrovaná funkce je jako funkce se dvěma proměnnými průběžně diferencovatelná . Odvození pod integrálním znaménkem nepředstavuje žádné potíže. Funkce je definována a nepřetržitě diferencovatelná v otevřeném intervalu ( r , R ) a její derivace má hodnotu:

c_ {n} (f, s)

s \ mapsto c_ {n} (f, s)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} c_ {n} (f, s) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {\ částečné } {\ částečné s}} f \ vlevo (s \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} \ vpravo) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} nt} {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}}}

. Vyjádříme částečnou derivaci s ohledem na s :

{\ displaystyle \ částečný _ {s} f \ levý (s \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} \ pravý) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} f '\ levý (s \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} \ vpravo) = {\ frac {1} {\ mathrm {i} s}} \ částečné _ {t} f \ vlevo (s \ mathrm {e } ^ {\ mathrm {i} t} \ vpravo)}

. (Ve skutečnosti jsme vytvořili Cauchy-Riemannovy rovnice v polárních souřadnicích .) Vložíme výraz získaný z parciální derivace vzhledem k s do integrálu, poté (znovu) provedeme integraci po částech:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} c_ {n} (f, s) = {\ frac {1} {\ mathrm {i} s}} c_ {n } (f_ {s} ') = {\ frac {n} {s}} c_ {n} (f, s)}

. Jinými slovy, Fourierovy koeficienty jako funkce s uspokojují diferenciální rovnici se samostatnými proměnnými, které je proto snadné integrovat. Přichází pro všechny r < s , t < R :

f_ {s}

{\ frac {c_ {n} (f, s)} {c_ {n} (f, t)}} = {\ frac {s ^ {n}} {t ^ {n}}}

. Zpráva zejména:

{\ displaystyle a_ {n} (f) = {\ frac {c_ {n} (f, s)} {s ^ {n}}} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac { f \ left (s \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} \ right)} {{\ left (s \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} \ right)} ^ {n }}} {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} = \ anint _ {C_ {s}} {\ frac {f (z)} {z ^ {n + 1}}} \ mathrm {d} z}

je nezávislý na s a umožňuje izolovat závislost Fourierových koeficientů v s :

c_ {n} (f, s) = a_ {n} (f) s ^ {n}

. Závěr Výraz získaný výše lze vložit do řady funkcí. On přichází :

f (z) = \ součet _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} a_ {n} (f) z ^ {n}

. Již víme, že konverguje řady běžně na kompaktní korunou C . Jedinečnost koeficientů a n f bezprostředně vyplývá z jedinečnosti Fourierových koeficientů. Demonstrace skončila.

Podle integrálního vzorce Cauchyho

The Cauchyův integrální vzorec se používá k reprezentaci hodnoty funkce holomorphic f v Z v závislosti na integrální termínu podél uzavřené křivky, která „obklopuje“ Z . Jedná se o integrální Cauchyho vzorec, který umožňuje získat celočíselný vývoj v řadě f v sousedství bodů jeho definiční oblasti. Je proto přirozené chtít tento vzorec znovu použít k získání Laurentova sériového vývoje.

Uvažujeme křivku γ zakreslenou do koruny C , která se skládá z:

Projít kružnici se středem 0 a poloměru S ve směru proti směru hodinových ručiček jednou ;
Přechod od S k s po segmentu [ S , s ];
Projděte kruhem se středem 0 a poloměrem s ve směru hodinových ručiček;
Vraťte se ze s na S , stále sledujte segment [ s , S ].

Tato křivka γ je v koruně U kontraktilní a „uzavírá“ otevřenou korunu C ( s , S ) ohraničenou kruhy příslušných poloměrů s , S tak, že s < S . Pokud z je komplexní (nerealistické kladné) číslo s modulem mezi s a S , platí Cauchyho integrální vzorec pro z a dává:

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anint _ {\ gamma} {\ frac {f (w) \, \ mathrm {d} w} { (wz)}} \ quad {\ text {si}} z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {R} _ {+} {\ text {and}} s <| z | <S.}

Avšak vybočení γ bylo popsáno zřetězením cest, takže křivočarý integrál se rozkládá na součet čtyř křivočarých integrálů. Dvakrát integruje podél segmentu [ s , S ], poprvé z S na S , podruhé je v S . Tyto dva integrály se navzájem ruší. Proto:

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ vlevo (\ int _ {C_ {S}} {\ frac {f (w) \, \ mathrm { d} w} {(wz)}} - \ int _ {C_ {s}} {\ frac {f (w) \, \ mathrm {d} w} {(wz)}} \ vpravo)}

kde C je a C S značí kruhy paprsky s jsou a S . Tento vzorec platí pro jakékoliv komplexní číslo z modulu mezi S a S .

Ve dvou integrálech můžeme vyjádřit integrand jako řadu funkcí, které odhalují mocniny z , kladné exponenty pro první integrál, přísně negativní pro druhý. Sériová integrální inverze je ospravedlněna hodnocením nekonečné normy sečtených funkcí. Tímto způsobem je f ( z ) vyjádřeno jako součet řady v mocninách z ve tvaru:

f (z) = \ součet _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} a_ {n} (f, s, S) z ^ {n}

Sbližování řady je přinejmenším příležitostné. Stejný odhad na nekonečných normách ospravedlňuje normální konvergenci této řady na libovolném kompaktu obsaženém v otevřené koruně C ( s , S ). Proto bude na každé otevřené koruně C ( s , S ) silně obsažené v C napsáno f jako součet řady Laurentů . Pro získání nezávislosti koeficientů v s a S je opět nutné provést sériově integrální inverzi. Výpočet také poskytuje jedinečnost koeficientů a oznámeného výrazu.

Demonstrace Skrz první část důkazu jsou s a S dva pevné mezilehlé poloměry: r < s < S < R . Umožňují definovat otevřenou korunu C ( s , S ), v jejímž omezení budeme pracovat. Aplikace Cauchyova integrálního vzorce Je komplexní číslo z modulu mezi s a S . Přímka R z rozděluje kruhy o poloměrech s a S v bodech a a b tak, aby segment [ a , b ] neobsahoval z (viz obrázek). Zavedeme γ získanou krajku:

Jedním přejetím kruhu poloměru S proti směru hodinových ručiček;
Sledování segmentu [ b , a ];
Jedním přejetím kruhu o poloměru s ve směru hodinových ručiček;
Poté následujte segment [ a , b ].

Při pohledu na průsečíky vybočení γ s přímkou R w můžeme snadno ukázat, že index γ v z se rovná 1. Vzhledem k tomu, že krajka je v koruně U kontraktilní , platí integrální vzorec Cauchy a dává:

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anint _ {\ gamma} {\ frac {f (w)} {wz}} \, \ mathrm { d} w}

. S ohledem na pokyny týkající se kruhů přichází:

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ vlevo (\ mast _ {C_ {S}} {\ frac {f (w)} {wz}} \, \ mathrm {d} w- \ anint _ {C_ {s}} {\ frac {f (w)} {wz}} \, \ mathrm {d} w + \ int _ {b} ^ {a} {\ frac {f (x)} {xz}} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x)} {xz}} \, \ mathrm { d} x \ vpravo)}

. Po zjednodušení:

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ vlevo (\ mast _ {C_ {S}} {\ frac {f (w)} {wz}} \, \ mathrm {d} w- \ int _ {C_ {s}} {\ frac {f (w)} {wz}} \, \ mathrm {d} w \ right)}

. Vývoj prvního integrálu Protože modul z je menší než S , můžeme uvažovat o rozšíření integrandu na mocniny z / w :

{\ displaystyle {\ frac {f (w)} {wz}} = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f (w)} {w}} {\ vlevo ({\ frac {z} {w}} \ right)} ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} g_ {n} (w, z)}

s: .

{\ displaystyle g_ {n} (w, z) = {\ frac {f (w)} {w}} {\ left ({\ frac {z} {w}} \ right)} ^ {n}}

Zvětšme funkci g n . Pro libovolné w modulu S , a pokud je modul z z mezi s a rS (s r <1), máme:

{\ displaystyle | g_ {n} (w, s) | \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {\ infty}} {S}} r ^ {n}}

kde označuje supremum modulu f nad C ( s , S ). Vzhledem k tomu, geometrická řada konverguje, v sérii s obecným termínem konverguje normálně na poloměru kruhu S . Proto můžeme provést sériově integrální inverzi:

\ | f \ | _ {{\ infty}}

g_ {n} (., w)

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anint _ {C_ {S}} {\ frac {f (w)} {wz}} \, \ mathrm {d} w = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ anoint _ {C_ {S}} g_ {n} (w, z) \ , \ mathrm {d} w = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (f, S) z ^ {n}}

s: .

{\ displaystyle a_ {n} (f, S) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anoint _ {C_ {S}} {\ frac {f (w)} {w ^ {n + 1}}} \, \ mathrm {d} w}

Obecná řada termínů normálně konverguje na otevřené koruně ohraničené s a rS s r <1.

a_ {n} (f, S) z ^ {n}

Vývoj druhého integrálu Pro druhý integrál vyvíjíme integrand v mocninách w / z :

{\ displaystyle {\ frac {f (w)} {wz}} = - {\ frac {f (w)} {z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {w} {z}} \ right)} ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} h_ {n} (w, z)}

. Pro w modulů s a z modulu mezi Rs a S (s R > 1):

| h_ {n} (w, z) | \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {{\ infty}}} {Rs}} \ left (1 / R \ right) ^ {n}

. Jak je uvedeno výše, toto zvýšení poskytuje normální konvergenci na kruhu poloměrů s řady obecných členů . Sériová integrální inverze je proto oprávněná:

h_ {n} (., z)

{\ displaystyle - {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anint _ {C_ {s}} {\ frac {f (w)} {wz}} \, \ mathrm {d} w = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ anint _ {C_ {s}} h_ {n} (w, z) \, \ mathrm {d} w = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} (f, s) {\ frac {1} {z ^ {n}}}}

s: .

{\ displaystyle b_ {n} (f, s) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anint _ {C_ {s}} f (w) w ^ {n-1} \, \ mathrm {d} w}

Řada normálně konverguje na jakoukoli korunu ohraničenou kruhy poloměrů Rs a S , s R > 1. Normální konvergence na jakémkoli kompaktu Kombinací tří předchozích rovností přichází pro všechna z v C ( s , S ):

f (z) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {n} (f, S) z ^ {n} + \ sum _ {{n = 1}} ^ {{ \ infty}} b_ {n} (f, s) {\ left (1 / z \ right)} ^ {n}

. Jakýkoli kompaktní K otevřené koruny C ( s , S ) je zahrnut v uzavřené koruně ohraničené poloměry Rs a rS , s r <1 < R . Tento argument je podrobně uveden ve výše uvedeném důkazu. Avšak předchozí dva kroky, ukázaly, že tyto dvě sady konvergovat normálně uzavřen na této koruně spíše má na kompaktním K . Na koruně C ( s , S ) je tedy funkce f součtem Laurentovy řady, která normálně konverguje na libovolném kompaktu. Rozšířit tento rozklad kompletní koruna C , stačí ukázat, že výše uvedené faktory jsou nezávislé na S a S . Nezávislost v s a s Opravme mezilehlý poloměr s < T < S . Potom obě předchozí série sbíhají obvykle v blízkosti kruhu o poloměru T . Normální konvergence ospravedlňuje sériově integrální převody:

{\ displaystyle \ mast _ {C_ {T}} {\ frac {f (z)} {z ^ {k + 1}}} \, \ mathrm {d} z = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} a_ {n} (f, S) \ anint _ {C_ {T}} {\ frac {1} {z ^ {k + 1-n}}} \, \ mathrm {d} z + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} (f, s) \ anint _ {C_ {T}} {\ frac {1} {z ^ {k + 1 + n}}}} \, \ mathrm {d} z}

. V článku „ Křivočarý integrál “ najde čtenář následující výsledek:

{\ displaystyle \ mast _ {C_ {T}} {\ frac {1} {z ^ {q}}} \, \ mathrm {d} z = 2 \ pi \ mathrm {i} \ delta _ {q, 1 }}

. Proto:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anint _ {C_ {T}} {\ frac {f (z)} {z ^ {k + 1}}} \, \ mathrm {d} z = {\ begin {cases} a_ {n} (f, S) & {\ text {si}} k = n ~; \\ b_ {n} (f, s) & {\ text {si}} k = -n. \ end {případy}}}

Ve skutečnosti je tento vzorec ukazuje, že koeficienty a nejsou závislé na s i S . Když měníme s a S mezi limity r a R , je skutečně možné opravit střední poloměr, alespoň pro malé variace. Proto a jsou skutečně konstantní.

a_ {n} (f, S)

b_ {n} (f, S)

a_ {n} (f, S)

b_ {n} (f, S)

Externí odkaz

(en) Eric W. Weisstein , „ Laurent Series “ , na MathWorld