Zbytky přírodního celku

Zbytek nebo digitální kořen ( digitální kořen ) z přirozeného čísla je součtem čísel opakována toto číslo (k obvyklému značení v základu 10), to znamená, že je získána přidáním všech číslic z původního počtu, potom přidáním číslic výsledku atd., dokud nezískáte jednociferné číslo.

Například v případě čísla 65 536 je výsledek 7, protože 6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25, pak 2 + 5 = 7.

Součet iterovaných číslic (v základu 10) nenulového celého čísla je jedinečné celé číslo mezi 1 a 9, které má stejný zbytek euklidovským dělením 9, tj. Ve stejné třídě shody modulo 9. Zejména poskytuje prostředky vypočítat tento zbytek, tedy kritérium dělitelnosti o 9 nebo 3, a může sloužit jako „ kontrolní součet “ pro operace kompatibilní s kongruenčním vztahem modulo 9, v případě devítky .

Používá se pod názvem teosofické redukce v nevědeckých kontextech, jako je okultismus nebo numerologie .

Definice

Dovolit být přirozené číslo. Pro danou základnu definujeme součet číslic v základu , označil by $ne$ ${\ displaystyle b> 1}$ $ne$ $b$ ${\ displaystyle F_ {b} (n): \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle F_ {b} (n) = \ součet _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}}$

kde je počet základních číslic a ${\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ $ne$ $b$

${\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}$

je hodnota i- té číslice. je zbytek v případě, že je pevný bod z , to je, je-li . $ne$ ${\ displaystyle F_ {b}}$ ${\ displaystyle F_ {b} (n) = n}$

Jedinými možnými zbytky jsou v zásadě čísla od 0 do . Ve skutečnosti, pokud budeme mít nutně proto, a tudíž $b$ ${\ displaystyle b-1}$ ${\ displaystyle n \ geq b}$ ${\ displaystyle F_ {b} (n) <n}$ ${\ displaystyle k> 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} <\ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} b ^ {i}}$ .

Na druhou stranu, pokud ano . ${\ displaystyle n <b}$ ${\ displaystyle F_ {b} (n) = n}$

Jediné možné zbytky jsou proto mezi 0 a ; kromě toho neexistuje žádný cyklus kromě pevných bodů, což zajišťuje, že opakované použití funkce nutně vede ke zbytku v konečném počtu kroků. ${\ displaystyle b-1}$ ${\ displaystyle F_ {b}}$

Aditivní perzistence

Přísada přetrvávání řady je počet, kolikrát je třeba shrnout číslic dosáhnout jeho zbytková. Jinými slovy, jedná se o počet iterací nezbytných k dosažení jejího pevného bodu. $ne$ ${\ displaystyle F_ {b}}$

Například perzistence aditivace 65 535 v bázi 10 je 2, protože k dosažení zbytku procházíme dvěma kroky (25 a 7).

Ať už je základ jakýkoli , aditivní persistence je neomezená, to znamená, že existují čísla, jejichž aditivní persistence je libovolně velká. $b$

Příklad: v případě, že byla větší vytrvalost aditivní M , nebo n číslo, jehož přísada perzistence M . Číslo zapsané jako n- násobek čísla 1 má aditivní perzistenci M + 1 ( k získání zbytku n je potřeba provést součet všech 1 a poté M kroků ), což je v rozporu s hypotézou.

Shoda modulu 9

Číslo 10 a jeho po sobě jdoucí mocniny (100, 1000 atd.), Které jsou shodné s 1 modulo 9, je číslo zapsané v základně 10 shodné se součtem jeho číslic ( algebraické vlastnosti kongruencí ). V případě třímístného čísla, které je zapsáno abc, například 10 ≡ 1 (mod 9) a 10 2 ≡ 1 2 ≡ 1 (mod 9) $\ overline {abc} ^ {{10}} = 10 ^ {2} a + 10b + c \ equiv a + b + c {\ pmod {9}}.$ Tento součet je nutně menší než počáteční číslo, jakmile má několik číslic, iterativní proces končí jednociferným číslem, které není nula, jakmile je počáteční celé číslo nenulové. To charakterizuje třídu kongruence, protože existuje přesně 9 různých číslic 0 a 9 tříd kongruence. Zbytek odvodíme z dělení 9 počátečního čísla, které se také nazývá modulo 9 zbytek tohoto čísla.

je-li součet iterovaných číslic n 9, zbytek dělení n 9 9 je 0;
jinak se součet iterovaných číslic n rovná zbytku dělení n 9.

Vlastnosti

Důkaz do 9

Z vlastností kompatibility kongruencí na celá čísla s přidáním a násobením odvodíme

součet iterovaných číslic součtu dvou celých čísel je součtem součtů iterovaných číslic každého z jejích členů;
součet iterovaných číslic součinu dvou celých čísel je součtem součtů iterovaných číslic každého z jejích členů;

a tedy proces, který umožňuje zkontrolovat výsledek těchto operací na celých číslech (umožňuje identifikovat určité chyby, ale nezaručuje správnost výsledku).

Například: 1 234 + 5 678 = 6 912 a 1 234 × 5 678 = 7 006 652.

Součet iterovaných číslic 1234 je 1. Součet číslic 5678 je 8.

Součet iterovaných číslic 6 912 je skutečně 9 = 1 + 8.

Součet iterovaných číslic 7 006 652 je skutečně 8 = 1 × 8.

Nějaké příklady

Stále používáme charakterizaci tříd kongruence modulo 9 součtem iterovaných číslic, například získáme, že

součet iterovaných číslic dokonalého čtverce je 1, 4, 7 nebo 9;
součet číslic iterovaných násobkem 3 je 3, 6 nebo 9;
součet iterovaných číslic čísla, které není násobkem 3, jako je například prvočíslo jiné než 3, je tedy 1, 2, 4, 5, 7 nebo 8;
součet číslic iterovaných výkonem 2 je 1, 2, 4, 5, 7 nebo 8;
součet iterovaných číslic sudého dokonalého čísla (kromě 6) je 1;
součet iterovaných číslic čísla s hvězdičkou je 1 nebo 4.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Digital root “ ( viz seznam autorů ) .

Michael Marshall Smith ( překlad B. Domis), Kniha iracionálních čísel , Bragelonne ,2012, 15 str. ( ISBN 978-2-8205-0601-6 , číst online )- původní název antologie: More Tomorrow & Other Stories (en) .
Zetetická observatoř: numerologie Theosofická redukce (...): redukce libovolného čísla na jednu číslici (od 1 do 9) postupným přidáváním jeho číslic, dokud nezůstane jen jedna .
(in) FM Hall: An Introduction Into Abstract Algebra . 2. vydání, CUP ARchive 1980, ( ISBN 978-0-521-29861-2 ) , s. 101 ( číst online v Knihách Google )
Například Jacques Stern , Věda o utajení , Odile Jacob ,1998( číst online ) , s. 154.