Odmocnina
V matematice je třetí odmocnina z reálného čísla je jen reálné číslo , jehož kostka (to znamená, že na sílu 3 rd ), stojí za to ; jinými slovy . Je zaznamenán kubický kořen .
y{\ displaystyle}X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle}y=X3=X×X×X{\ displaystyle y = x ^ {3} = x \ krát x \ krát x}y{\ displaystyle}y3{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {y}}}
Můžeme také hovořit o kubických kořenech komplexního čísla .
Definice
Obecně nazýváme krychlový kořen čísla (reálného nebo komplexního) libovolným číselným řešením rovnice :
y{\ displaystyle}X{\ displaystyle x}
X3=y.{\ displaystyle x ^ {3} = y.}
Pokud skutečný, tato rovnice v R unikátní řešení, tzv krychle kořen skutečné : .
y{\ displaystyle}y{\ displaystyle}X=y3{\ displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {y}}}
V C , tato rovnice má tři odlišné řešení, která jsou na kostky kořeny komplexu . Když tento komplex je skutečný, tři řešení jsou: , a kde je skutečný kořen kostka a 1 , j a j jsou tři kostka kořeny jednoty v C .
y{\ displaystyle}y{\ displaystyle}y3{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {y}}}jy3{\ displaystyle {\ rm {j}} {\ sqrt [{3}] {y}}}j¯y3{\ displaystyle {\ overline {\ rm {j}}} {\ sqrt [{3}] {y}}}y3{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {y}}}y{\ displaystyle}
Krychlový kořen reálného čísla
Příklady
Kořen kostky 8 je 2, protože 2 × 2 × 2 = 8. Kořen kostky odvozuje svůj název od krychle : kořen krychle je délka hrany krychle, jejíž objem je dán . Máme objem 8 a okraj 2; píšeme :
83=2{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {8}} = 2}.
Krychlový kořen –27 je –3, protože (–3) × (–3) × (–3) = –27.
-273=-3{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {- 27}} = - 3}.
Funkce krychlového kořene
Na R , na krychlový kořenové funkce , označené , je ten, který sdružuje svůj jedinečný skutečný krychlový kořen s reálné číslo.
3{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {~}}}
Na množině přísně pozitivních realů se funkce kubického kořene rovná jedné třetině mocninné funkce:
∀y∈R+∗y3=y13{\ displaystyle \ forall y \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad {\ sqrt [{3}] {y}} = y ^ {1 \ nad 3}}.
Vlastnosti
Krychlové kořeny komplexního čísla
Jakékoli nenulové komplexní číslo má tři odlišné komplexní kubické kořeny nulového součtu . Pokud je Z jedním z nich, další dva jsou j Z a j 2 Z , kde
1,j=-1+i32=Ei2π3Etj2=j¯=-1-i32=E-i2π3{\ displaystyle 1, \ quad {\ rm {j}} = {\ frac {-1 + {\ rm {i}} {\ sqrt {3}}} {2}} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} {\ frac {2 \ pi} {3}}} \ quad {\ rm {and}} \ quad {\ rm {j}} ^ {2} = {\ overline {\ rm {j}}} = {\ frac {-1 - {\ rm {i}} {\ sqrt {3}}} {2}} = {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} {\ frac {2 \ pi} {3}}}}
jsou tři kubické kořeny jednoty .
Symbol Unicode
U + 221b ∛ odmocnina ( HTML : ∛)
Poznámka
-
Stejně jako všechny elektrické funkce definované jako skutečné funkci, výkon funkce 1/3 je definován pouze na R + *: pro skutečný y > 0, y 1/3 je základna exponenciální y skutečného 1/3.
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">