Zastoupení algebry lži

Tento článek je nástin týkající se algebry .

O své znalosti se můžete podělit vylepšením ( jak? ) Podle doporučení příslušných projektů .

V matematiky , je znázornění algebry lži je způsob psaní této algebry jako algebře matric , nebo obecněji endomorphisms jednoho vektorového prostoru , s Lie držáku dána komutátoru .

Lež algebry

Nechť K je komutativní pole s charakteristiku odlišnou od charakteristiky 2. Lie algebry na K je vektorový prostor vybaven s mapou bilineární z ve které splňuje následující vlastnosti: G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(X,y)↦[X,y]{\ displaystyle (x, y) \ mapsto [x, y]}G×G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ krát {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

1. ∀X∈G, [X,X]=0{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0} ;
2. ∀X,y,z∈G, [X,[y,z]]+[y,[z,X]]+[z,[X,y]]=0.{\ displaystyle \ forall x, y, z \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.}

Libovolný vektorový prostor může být vybaven strukturou Lieovy algebry pózováním . Taková Lieova algebra, kde Lieova závorka je identicky nulová, se nazývá abelian . Další příklad, zásadní pro to, co následuje, je následující. Nechť V vektorový prostor přes K . Vektorový prostor End (V) z endomorfismů z V , může být opatřena strukturou algebry Lie, nastavením: . Takto označíme také Lieovu algebru. Pokud V je konečný rozměr n , identifikuje se velikost matic s koeficienty v K . To je pak uvedeno .PROTI{\ displaystyle V}∀X,y∈PROTI, [X,y]=0{\ displaystyle \ forall x, y \ in V, \ [x, y] = 0}[u,proti]=u∘proti-proti∘u{\ displaystyle [u, v] = u \ cirkus vv \ cirkus u}Gl(PROTI){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}Gl(PROTI){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}ne×ne{\ displaystyle n \ krát n}Gl(ne,K.){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

Dílčí lež algebry z je vektor podprostor ze stáje lež držák, tedy tak, že . G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀X,y∈h, [X,y]∈h{\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {h}}, \ [x, y] \ in {\ mathfrak {h}}}

Příklady

• Pokud je abelianská Lieova algebra, pak jakýkoli vektorový podprostor je automaticky Lieův subalgebra.G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Podprostor z vyškolených traceless matric je sub-Lie algebra , protože pro všechny matice A a B . Tato subalgebra je známá .Gl(ne,K.){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}Gl(ne,K.){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}tr(NAB)=tr(BNA){\ displaystyle tr (AB) = tr (BA)}sl(ne,K.){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n, K)}

Ideální z algebry lži je vektorový podprostor z taková, že . Jakýkoli ideál Lieovy algebry je zejména Lieova subalgebra (ale obrácení je nepravdivé). G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀X∈G,y∈h, [X,y]∈h{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, y \ in {\ mathfrak {h}}, \ [x, y] \ in {\ mathfrak {h}}}

Příklady

• Pokud je abelianova Lieova algebra, pak je jakýkoli vektorový podprostor automaticky ideální.G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Lež podalgebry ze je ideální.sl(ne,K.){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n, K)}Gl(ne,K.){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

Morphism mezi dvěma algeber a je lineární mapa tak, že . Jádro morfismu Lieovy algebry je pak ideálem zdrojové Lieovy algebry a obrazem Lieovy subalgebry cíle Lieovy algebry. Izomorfismus mezi dvěma algeber je morfismus z algeber což je izomorfismus vektorových prostorů. G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}φ:G→h{\ displaystyle \ varphi: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}∀X,y∈G, φ([X,y])=[φ(X),φ(y)]{\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi ([x, y]) = [\ varphi (x), \ varphi (y)]}

Příklady

• If is a Lie subalgebra of then theclusion of in is a morphism of Lie algebras, with zero kernel and with a image .G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Pokud je ideál, pak existuje v kvocientovém vektorovém prostoru jedinečná struktura Lieovy algebry , takže kanonická projekce je morfismem Lieových algeber. Jádro p je tedy a jeho obraz . Takto definovaná Lieova algebra se nazývá kvocient Lieovy algebry on . Například kvocient Lieova algebra je izomorfní k Abelianově Lieově algebře .h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}p:G→G/h{\ displaystyle p: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}G/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}G/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}Gl(ne,K.)/sl(ne,K.){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K) / {\ mathfrak {sl}} (n, K)}K.{\ displaystyle K}

Zastoupení

Definice

Znázornění z Lie algebry ve vektorovém prostoru V, jsou údaje o morfizmus . Jinými slovy, je lineární mapa, která také kontroluje . Zaznamenáváme toto znázornění nebo jednoduše, když není žádná možná nejednoznačnost . Také říkáme, že V je a - modul nebo jednoduše modul . Někdy si všimneme namísto působení prvku na vektor . G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} π:G→Gl(PROTI){\ displaystyle \ pi \ ,: \, {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {gl}} (V)}π{\ displaystyle \ pi}∀X,y∈G, π([X,y])=π(X)∘π(y)-π(y)∘π(X){\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi ([x, y]) = \ pi (x) \ circ \ pi (y) - \ pi (y) \ circ \ pi (x)}(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}PROTI{\ displaystyle V}π{\ displaystyle \ pi}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}X⋅proti{\ displaystyle x \ cdot v}π(X)(proti){\ displaystyle \ pi (x) (v)}X∈G{\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}proti∈PROTI{\ displaystyle v \ ve V}

Reprezentace je považována za věrnou, pokud je morfismus injektivní. V tomto případě lze Lieovu algebru považovat za Lieovu subalgebru . (π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}π{\ displaystyle \ pi}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Gl(PROTI){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

Dílčí znázornění reprezentace z jsou údaje vektoru podprostoru W z V stáje působením , tedy tak, že . Zejména pro to, aby vektorová linie D generovaná vektorem v byla stabilní, je nezbytné a dostačující, aby v byl vlastním vektorem společným pro všechny endomorfismy . Reprezentace je nesnížitelná pokud nepřipouští čisté nedostatečné zastoupení, to znamená, že kromě dílčích prostorů a V. . Zejména jakékoliv znázornění rozměru 1 je nesnížitelný, protože v tomto případě pouze podprostory V jsou přesně a V . Pojďme být nedostatečným zastoupením . Reprezentace kvocient je reprezentace z v kvocientu prostoru definovaného . (π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀X∈G, π(X)(Ž)⊂Ž{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) (W) \ podmnožina W}π(X){\ displaystyle \ pi (x)}(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}PROTI′{\ displaystyle V '}(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}π¯{\ displaystyle {\ bar {\ pi}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}PROTI/PROTI′{\ displaystyle V / V '}∀X∈G, ∀proti∈PROTI, π¯(X)(proti+PROTI′)=π(X)(proti)+PROTI′{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ {\ bar {\ pi}} (x) (v + V ') = \ pi (x) (v ) + V '}

Morphism mezi dvěma reprezentacemi a stejné lži algebře jsou údaje o lineární mapy která dojíždí působení , to znamená taková, že . Když je izomorfismus vektorových prostorů, říkáme, že obě reprezentace jsou izomorfní. Sada všech morfismů mezi reprezentacemi a tvoří vektorový prostor, označený .(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,PROTI′){\ displaystyle (\ pi ', V')}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ:PROTI→PROTI′{\ displaystyle \ varphi: V \ rightarrow V '}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀X∈G, φ∘π(X)=π′(X)∘φ{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi \ circ \ pi (x) = \ pi '(x) \ circ \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,PROTI′){\ displaystyle (\ pi ', V')}HÓmG(PROTI,PROTI′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

Schurovo lemma je důležitým výsledkem pro pochopení tohoto prostoru . Zde je prohlášení: HÓmG(PROTI,PROTI′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

Schurovo lemma  - 

• Dovolit a být dvě neredukovatelné reprezentace Lieovy algebry . Buď . Pak je to buď nulová mapa, nebo izomorfismus. Zejména pokud jsou a nejsou izomorfní .PROTI{\ displaystyle V}PROTI′{\ displaystyle V '}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ∈HÓmG(PROTI,PROTI′){\ displaystyle \ varphi \ v Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}φ{\ displaystyle \ varphi}PROTI{\ displaystyle V}PROTI′{\ displaystyle V '}HÓmG(PROTI,PROTI′)={0}{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ') = \ {0 \}}
• Předpokládejme zde, že pole K je algebraicky uzavřeno . Dovolme být neredukovatelnou konečnou dimenzionální reprezentací . Jakýkoli morfismus je tedy násobkem identity. Jinými slovy .PROTI{\ displaystyle V}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ∈HÓmG(PROTI,PROTI){\ displaystyle \ varphi \ v Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V)}HÓmG(PROTI,PROTI)≅K.{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V) \ cong K}

Poznámky

• První bod Schurova lematu vyplývá ze skutečnosti, že jde o nedostatečné zastoupení a nedostatečné zastoupení .kEr(φ){\ displaystyle ker (\ varphi)}PROTI{\ displaystyle V}Jám(φ){\ displaystyle Im (\ varphi)}PROTI′{\ displaystyle V '}
• Druhý bod Schurova lematu vyplývá ze skutečnosti, že jakýkoli endomorfismus konečného dimenzionálního vektorového prostoru připouští alespoň jedno vlastní číslo nad algebraicky uzavřeným polem. Proto je morfismus z V do V, který není izomorfismem. Podle prvního bodu se tedy jedná o nulovou mapu, tzn . Tento výsledek je stále platný v nekonečné dimenzi, ale vyžaduje sílu spektrální věty .λ{\ displaystyle \ lambda}φ-λid{\ displaystyle \ varphi - \ lambda id}φ=λid{\ displaystyle \ varphi = \ lambda id}
• Druhý bod Schurova lematu je pro nealgebraicky uzavřené pole nepravdivý. Předpokládejme například . Zvažte reprezentaci danou vzorcem . Ověřujeme, že jde o neredukovatelné zastoupení abelianské Lieovy algebry . Zvážit a předpokládat . Vzhledem k tomu, Lež algebra je abelian, je morphism of V. ve V. . Můžeme také ověřit, že jde skutečně o izomorfismus. Není to však násobek identity. V tomto ohledu si všimněte, že nemá skutečná vlastní čísla (což vysvětluje, proč důkaz druhého bodu lemmatu není v tomto případě platný).K.=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}∀X∈R, π(X)=(cos⁡X-hřích⁡Xhřích⁡Xcos⁡X)∈Gl(2,R){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos x & - \ sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})}(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}y=45Ó{\ displaystyle y = 45 ^ {o}}φ: =π(y){\ displaystyle \ varphi: = \ pi (y)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}

Příklady

• Reprezentace abelian algebry lži je lineární mapování hodnoty v podprostoru prostoru komutativní endomorphism vektorového prostoru V . Například pokud má V konečnou dimenzi, lze ji reprezentovat pomocí diagonálních matic (které mezi nimi dojíždějí).G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Triviální reprezentace z ve vektorovém prostoru V, je reprezentace je definován .G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}∀X∈G, π(X)=0{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = 0}
• Pokud definujeme přirozenou reprezentaci v tak reprezentace je definován . Obecněji, přírodní znázornění lži podalgebry části je definována jako zahrnutí v . Je tedy s hodnotami v .G=Gl(ne,K.){\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {gl}} (n, K)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π, K.ne){\ displaystyle (\ pi, \ K ^ {n})}∀X∈G, π(X)=X{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = x}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Gl(ne,K.){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Gl(ne,K.){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}K.ne{\ displaystyle K ^ {n}}
• Asociativní reprezentace  (en) Lieovy algebry je reprezentace definovaná symbolem .G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(nad,G){\ displaystyle (reklama, {\ mathfrak {g}})}∀X∈G, nad(X): y∈G↦[X,y]∈G{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ ad (x): \ y \ in {\ mathfrak {g}} \ mapsto [x, y] \ in {\ mathfrak {g}}}
• Dovolit být abelianova Lieova algebra dimenze 1, definovaná na . Zvažte prostor . Definujeme reprezentaci v V podle vzorce , kde .G=R{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K.=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}PROTI=L2(R){\ displaystyle V = L ^ {2} (\ mathbb {R})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}∀X∈R, π(X)(F)=F∘τX {\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) (f) = f \ circ \ tau _ {x} \}τX: y∈R↦y-X∈R{\ displaystyle \ tau _ {x}: \ y \ in \ mathbb {R} \ mapsto yx \ in \ mathbb {R}}

Konstrukce reprezentací

• Přímý součet  : let a dvě reprezentace . Přímá reprezentace součtu ve vektorovém prostoru definujeme pomocí vzorce . V tomto případě a jsou dílčí reprezentace .(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,PROTI′){\ displaystyle (\ pi ', V')}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π⊕π′{\ displaystyle \ pi \ oplus \ pi '}PROTI⊕PROTI′{\ displaystyle V \ oplus V '}∀X∈G, ∀proti∈PROTI, ∀proti′∈PROTI′, (π⊕π′)(X)(proti,proti′)=(π(X)(proti),π′(X)(proti′)){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ \ forall v '\ in V', \ (\ pi \ oplus \ pi ') (x) (v, v ') = (\ pi (x) (v), \ pi' (x) (v '))}PROTI⊕{0}{\ displaystyle V \ oplus \ {0 \}}{0}⊕PROTI′{\ displaystyle \ {0 \} \ oplus V '}(π⊕π′,PROTI⊕PROTI′){\ displaystyle (\ pi \ oplus \ pi ', V \ oplus V')}
• Produkt Tensor  : let a dvě reprezentace . Reprezentaci tenzorového produktu ve vektorovém prostoru definujeme vzorcem .(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,PROTI′){\ displaystyle (\ pi ', V')}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π⊗π′{\ displaystyle \ pi \ otimes \ pi '}PROTI⊗PROTI′{\ displaystyle V \ otimes V '}∀X∈G, ∀proti∈PROTI, ∀proti′∈PROTI′, (π⊗π′)(X)(proti⊗proti′)=π(X)(proti)⊗proti′+proti⊗π′(X)(proti′){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ \ forall v '\ in V', \ (\ pi \ otimes \ pi ') (x) (v \ otimes v ') = \ pi (x) (v) \ otimes v' + v \ otimes \ pi '(x) (v')}
• Složka  : buď reprezentace . Definici kontrastní složky v duálním vektorovém prostoru definujeme vzorcem .(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} π∗{\ displaystyle \ pi ^ {*}}PROTI∗{\ displaystyle V ^ {*}}∀X∈G, ∀proti∗∈PROTI∗, π∗(X)(proti∗)=-proti∗∘π(X){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v ^ {*} \ ve V ^ {*}, \ \ pi ^ {*} (x) (v ^ {*}) = -v ^ {*} \ circ \ pi (x)}
• Prostor morfismů  : let a dvě reprezentace . Viděli jsme, jak definovat vektorový prostor morfimů z V in . Definujeme reprezentaci, která je na tomto prostoru stále označena vzorcem .(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}(π′,PROTI′){\ displaystyle (\ pi ', V')}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}HÓmG(PROTI,PROTI′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}PROTI′{\ displaystyle V '}π{\ displaystyle \ pi}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀X∈G, ∀φ∈HÓmG(PROTI,PROTI′), π(X)(φ)=-φ∘π(X){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall \ varphi \ v Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V '), \ \ pi (x) (\ varphi) = - \ varphi \ circ \ pi (x)}
• Omezení na Lieovu subalgebru  : dovolte být reprezentací . Nechť je Lieova subalgebra . Pak je reprezentace , nazývaná omezení to . Někdy je to zaznamenáno zneužíváním hodnocení.(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π|h,PROTI){\ displaystyle (\ pi _ {| {\ mathfrak {h}}}, V)}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}PROTI|h{\ displaystyle V_ {| {\ mathfrak {h}}}}

Reprezentace je nerozložitelná, pokud není izomorfní s přímým součtem dvou správných dílčích reprezentací. Zejména jakékoli neredukovatelné zastoupení je nerozložitelné, ale obrácení je nepravdivé. Reprezentace je semi-jednoduchá (nebo zcela redukovatelná ), pokud je izomorfní s přímým součtem neredukovatelných subreprezentací (možná v nekonečném počtu). Nerozložitelná a polojednoduchá reprezentace je nutně neredukovatelná. G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Příklady

• Nechť je abeliánská Lieova algebra dimenze 1 nad polem . Definujeme zastoupení ve v vzorcem . Toto vyjádření není neredukovatelné. Například čára generovaná vektorem je stabilní, stejně jako čára generovaná vektorem . Jde tedy o otázku dvou dílčích reprezentací , neredukovatelných kvůli dimenzi 1. Nyní máme . Reprezentace je tedy částečně jednoduchá.G=R{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K.=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}π{\ displaystyle \ pi}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π(X)=(X00-X)∈Gl(2,R){\ displaystyle \ pi (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} x & 0 \\ 0 & -x \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ mathbb {R})}D1{\ displaystyle D_ {1}}(10){\ displaystyle \ left ({\ begin {pole} {c} 1 \\ 0 \ konec {pole}} \ doprava)}D2{\ displaystyle D_ {2}}(01){\ displaystyle \ left ({\ begin {pole} {c} 0 \\ 1 \ konec {pole}} \ doprava)}π{\ displaystyle \ pi}D1⊕D2=R2{\ displaystyle D_ {1} \ oplus D_ {2} = \ mathbb {R} ^ {2}}π{\ displaystyle \ pi}
• S zápisy z předchozího příkladu, lze také zvážit zastoupení v definované vzorcem . Linka je opět stabilním podprostorem. Reprezentace tedy není neredukovatelná. Obecněji můžeme ověřit, že jde o jedinou stabilní linii, a tedy o jediné nedostatečné zastoupení . Je tedy nerozložitelný.π′{\ displaystyle \ pi '}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π′(X)=(1X01)∈Gl(2,R){\ displaystyle \ pi '(x) = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & x \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ mathbb {R})}D1{\ displaystyle D_ {1}}π′{\ displaystyle \ pi '}D1{\ displaystyle D_ {1}}π′{\ displaystyle \ pi '}π′{\ displaystyle \ pi '}
• Udržujme vždy stejné notace. Definujeme zastoupení ve v vzorcem . Můžeme ověřit, že reprezentace neobsahuje žádné stabilní čáry . Jinými slovy, je neredukovatelný.π„{\ displaystyle \ pi ''}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π„(X)=(cos⁡X-hřích⁡Xhřích⁡Xcos⁡X)∈Gl(2,R){\ displaystyle \ pi '' (x) = \ left ({\ begin {pole} {cc} \ cos x & - \ sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {pole}} \ vpravo) \ v {\ mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})}π„{\ displaystyle \ pi ''}π„{\ displaystyle \ pi ''}

Tyto tři příklady odrážejí skutečnost, že skutečná matice může být buď diagonalizovatelná , nebo trigonalizovatelná, ale nikoli diagonalizovatelná, nebo nemá skutečná vlastní čísla . Vidíme tedy, že pojem reprezentace Lieovy algebry zevšeobecňuje klasický pojem redukce endomorfismů .

Spojení s reprezentacemi obklopující algebry

Zahalující algebra ležské algebry

Nechť A je asociativní algebra s jednotkou. Pak existuje na A struktura Lieovy algebry, pro kterou je Lieova závorka dána vzorcem . Někdy označujeme tuto ležovou algebru. Libovolná asociativní algebra tedy poskytuje Lieovu algebru. Viděli jsme, že toto je příklad této konstrukce. Můžeme dát inverzi k tomuto výsledku? Můžeme sestavit asociativní algebru z lže algebry. Tato myšlenka vede k představě obklopující algebry Lieovy algebry. ∀na,b∈NA, [na,b]=nab-bna{\ displaystyle \ forall a, b \ v A, \ [a, b] = ab-ba}NAL{\ displaystyle A_ {L}}Gl(PROTI){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

Je lež algebra nad K. . Nechť je tenzorová algebra . Nechť J je oboustranný ideál generované tenzorů pro všechny x a y o . Obalující algebra je unitární asociativní algebra definovaná jako kvocient . Bereme to na vědomí . Kompozice se nazývá kanonické uplatnění ve v jeho obalové algebry. Jako algebra je generována 1 a obrazem . Kromě toho je morphism z algeber z oblasti . Zahalující algebra lže algebry splňuje následující univerzální vlastnost: G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(G){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(G){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}X⊗y-y⊗X-[X,y]∈T(G){\ displaystyle x \ otimes yy \ otimes x- [x, y] \ v T ({\ mathfrak {g}})}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(G)/J{\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}}) / J}U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι:G↪T(G)→U(G){\ displaystyle \ iota: {\ mathfrak {g}} \ hookrightarrow T ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι(G){\ displaystyle \ iota ({\ mathfrak {g}})}ι{\ displaystyle \ iota}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(G)L{\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) _ {L}}

Univerzální vlastnost obklopující algebry  -  Nechť A je asociativní algebra s jednou jednotkou. Pojďme být morfismem Lieových algeber v . Pak existuje jedinečný morphism z asociativních algeber z oblasti taková, že a . φ{\ displaystyle \ varphi}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}NAL{\ displaystyle A_ {L}}Φ{\ displaystyle \ Phi}U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}Φ(1)=1{\ displaystyle \ Phi (1) = 1}Φ∘ι=φ{\ displaystyle \ Phi \ circ \ iota = \ varphi}

Příklad

• Pokud je abelianská Lieova algebra, pak je její obalová algebra identifikována symetrickou algebrou , která sama identifikuje (po výběru základny) algebru polynomů. Zejména je izomorfní s algebrou polynomů s neurčitým .G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}S(G){\ displaystyle {\ mathcal {S}} ({\ mathfrak {g}})}U(K.){\ displaystyle {\ mathcal {U}} (K)}K.[X]{\ displaystyle K [X]}

Reprezentace Lieovy algebry vs Reprezentace její obklopující algebry

Nechť je reprezentace . Vzhledem k tomu, že jde o asociativní algebru s jednotkou, univerzální vlastnost znamená, že existuje jedinečný morfismus algebry takový . Tato operace proto umožňuje přepnout z reprezentace Lieovy algebry na morfismus asociativních algeber. Naopak jakýkoli morfismus asociativních algeber dává omezením morfismu Lieových algeber, tj. Reprezentaci . Tento princip je interpretován jako rovnocennost kategorií mezi kategorií reprezentací dané Lieovy algebry a kategorií reprezentací její obklopující algebry. (π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Gl(PROTI){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π~:U(G)→Gl(PROTI){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}∀X∈G, π~(X)=π(X){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ {\ tilde {\ pi}} (x) = \ pi (x)}π~:U(G)→Gl(PROTI){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Tento nový úhel pohledu je důležitý, protože umožňuje uvažovat o nových základních objektech. První z nich je zrušovač představení. Nechť je reprezentace . Znovu si poznamenejme písmeno, ze kterého je odvozeno. Pak zrušitel ze V je množina . Je to oboustranný ideál, protože jde o morfismus algeber. Jakýkoli ideál, který je nullifikátorem neredukovatelné reprezentace, se nazývá primitivní ideál . (π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}NAnene(PROTI): ={u∈U(G), π(u)=0}{\ displaystyle Ann (V): = \ {u \ in {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}), \ \ pi (u) = 0 \}}U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π{\ displaystyle \ pi}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Nechť je reprezentace . Znovu si poznamenejme písmeno, ze kterého je odvozeno. Pro všechny V v V , sada definuje nenulovou pod zastoupení V . Když je V neredukovatelné, máme to . Obecněji, reprezentace V se říká, že je cyklická , pokud existuje taková, že . Vektor v se nazývá cyklický vektor . Reprezentace V je neredukovatelná právě tehdy, pokud je jakýkoli nenulový vektor V cyklický. Reprezentace V se říká, že z konečného typu v případě, že existuje konečný počet vektorů z V , takže by . Neredukovatelné vyjádření je tedy konečného typu. Nechť V je cyklická reprezentace a nechť v je cyklický vektor. Poté definujeme aplikaci podle vzorce . Jádro je zrušitel o objem , označený . To je ideální nalevo od . Jak V je cyklická, obraz se rovná všem V . Z toho tedy usuzujeme . Jakákoli cyklická reprezentace (a zejména jakákoli neredukovatelná reprezentace) se tedy jeví jako kvocient obklopující algebry . Navíc, když je V neredukovatelné, ideál je maximální. Klasifikace neredukovatelných reprezentací je tedy ekvivalentní klasifikaci maximálních levých ideálů její obklopující algebry.(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π(U(G))(proti){\ displaystyle \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}PROTI=π(U(G))(proti){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}proti∈PROTI{\ displaystyle v \ ve V}PROTI=π(U(G))(proti){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}proti1,...,protine{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}PROTI=∑k=1ne π(U(G))(protik){\ displaystyle V = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v_ {k})}φ:U(G)→PROTI{\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow V}φ(u)=π(u)(proti){\ displaystyle \ varphi (u) = \ pi (u) (v)}φ{\ displaystyle \ varphi}NAnene(proti){\ displaystyle Ann (v)}U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}φ{\ displaystyle \ varphi}PROTI≅U(G)/NAnene(proti){\ displaystyle V \ cong {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) / Ann (v)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}NAnene(proti){\ displaystyle Ann (v)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Příklad Zvažte komutativní Lieovu algebru . Identifikujte jeho obklopující algebru s prstencem polynomů . Tento kruh je hlavní, a proto jsou jeho ideály generovány jediným polynomem. Navíc, pokud se polynom P (X) může rozložit ve formě , pak je ideál generovaný P obsažen v ideálu generovaném . D'Alembert, Gaussova věta pak znamená, že maximální ideály jsou ideály formy , pro o popisující všechno . Odpovídající kvocient je pak isomorfní k a akce je dána a . Nyní se podívejme na kvocient kde . Pokud je kvocientem polojednoduchá reprezentace, přímý součet dvou neredukovatelných reprezentací a . Situace je zásadně odlišná, když . V tomto případě je kvocient vektorový prostor dimenze 2, na kterém operátor daný násobením je nilpotent indexu 2. Z hlediska reprezentace Lieovy algebry tento kvocient odpovídá reprezentaci dané vzorcem , který je nerozložitelné, ale ne neredukovatelné. VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}P(X)=Q(X)(X-na){\ displaystyle P (X) = Q (X) (Xa)}(P){\ displaystyle (P)}(X-na){\ displaystyle (Xa)}X-na{\ displaystyle Xa}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}(X-na){\ displaystyle (Xa)}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]/(X-na){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xa)}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}1⋅1¯=1¯{\ displaystyle 1 \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {1}}}X⋅1¯=na¯{\ displaystyle X \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {a}}}VS[X]/(P){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (P)}P(X)=(X-na)(X-b){\ displaystyle P (X) = (Xa) (Xb)}na≠b{\ displaystyle a \ not = b}VS[X]/(X-na){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xa)}VS[X]/(X-b){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xb)}na=b{\ displaystyle a = b}X-na{\ displaystyle Xa}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}π(z)=(naz0na){\ displaystyle \ pi (z) = \ left ({\ begin {pole} {cc} a & z \\ 0 & a \ end {pole}} \ doprava)}

Indukce

Nechť je Lieova algebra. Nechť je Lieova subalgebra . Nechť je reprezentace . Viděli jsme, že můžeme získat vyjádření omezením. Pojem obklopující algebry poskytne jednoduchý způsob uvažování o vzájemném problému. Dovolme tedy být reprezentací , kterou vidíme jako reprezentaci její obklopující algebry . Důsledkem Poincaré-Birkhoff-Wittovy věty je to, že se jeví jako subalgebra . Na druhou stranu poskytuje reprezentaci tím, že se jedná o násobení vlevo na tenzorech. Poté sestrojíme reprezentaci . To je nazýváno znázornění indukovaného z k o . G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π,PROTI){\ displaystyle (\ pi, V)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}(π′,PROTI′){\ displaystyle (\ pi ', V')}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}U(h){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {h}})}U(h){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {h}})}U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}JánedhG(PROTI′): =U(G)⊗U(h)PROTI′{\ displaystyle Ind _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} (V '): = {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ otimes _ {{\ mathcal { U}} ({\ mathfrak {h}})} V '}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π′,PROTI′){\ displaystyle (\ pi ', V')}

Spojení s reprezentacemi Lieových skupin

V této části je těleso K je (nebo ). Lie skupina G je skutečný (nebo komplex) rozdíl potrubí obdařen dvou mapách a hladké (nebo holomorphic) tak, že je skupina . Samotné pole K je komutativní Lieova skupina. Dalším příkladem Lieových skupin je skupina invertibilních matic velikosti n . Morfismus skupiny Lie je morfismus diferencovatelné (nebo holomorfní) skupiny. Konečná rozměrná reprezentace Lieovy skupiny G je morphsime G v . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}} μ: G×G→G{\ displaystyle \ mu: \ G \ krát G \ pravá šipka G}i: G→G{\ displaystyle i: \ G \ rightarrow G}(G, μ, i){\ displaystyle (G, \ \ mu, \ i)}GL(ne,K.){\ displaystyle GL (n, K)}GL(ne,K.){\ displaystyle GL (n, K)}

Ležové skupiny jsou příbuzné s Lieovými algebrami. Ve skutečnosti je tečným prostorem k Lieově skupině G v identitě Lieova algebra konečné dimenze, nazývaná Lieova algebra skupiny G a uvedená . Například Lieova algebra K je K sama; Lieova algebra je . Vzhledem k tomu, algebra lži lži skupina G je tečný prostor v identitě, ve skutečnosti záleží jen na připojeném zařízení totožnosti. Například skupina reálných matic s přísně pozitivním determinantem má tedy stejnou Lieovu algebru jako . Na druhou stranu až do izomorfismu existuje jedinečná spojená a jednoduše spojená Lieova skupina, která má danou Lieovu algebru (konečné dimenze). G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}GL(ne,K.){\ displaystyle GL (n, K)}Gl(ne,K.){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}GL+(ne,R){\ displaystyle GL ^ {+} (n, \ mathbb {R})}GL(ne,R){\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}

Protože jakýkoli morfismus mezi Lieovými skupinami je podle hypotézy diferencovatelný, indukuje mapování mezi podkladovými Lieovými algebrami . Tato mapa je ve skutečnosti morfismem Lieových algeber. Zejména pro každé znázornění Lieovy skupiny G vede ke konečné dimenzionální reprezentaci její Lieovy algebry . Naopak, jakákoli konečná dimenzionální reprezentace Lieovy algebry pochází z reprezentace jedinečné jednoduše spojené Lieovy skupiny, která má Lieovou algebru jako svou Lieovou algebru . φ: G→H{\ displaystyle \ varphi: \ G \ rightarrow H}dφ: G→h{\ displaystyle d \ varphi: \ {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}dφ{\ displaystyle d \ varphi}H=GL(ne,K.){\ displaystyle H = GL (n, K)}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Poznámka Existují silnější představy o reprezentacích Lieových skupin, které umožňují rozšířit teorii na nekonečnou dimenzi při zachování analogie tohoto posledního výsledku. Jedná se například o přípustná reprezentace a pojem -modulů. (G,K.){\ displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}

Kategorie modulu

Nechť je Lieova algebra. Sada všech modulů (nebo ekvivalentně všech reprezentací ) tvoří kategorii označenou . Tato kategorie je abelianská . Zejména lze zvážit přesné sekvence modulů. Přesné pořadí v je uveden tři moduli M , N , P, a ze dvou injektivních a surjective morphisms. Zaznamenáváme takovou posloupnost. Modul P je projektivní pokud existuje přesná sekvence je dělená, to znamená, že v případě, že existuje morfizmus tak, že . Ekvivalentní definice je následující: modul P je projektivní, pokud pro jakýkoli surjektivní morfismus a jakýkoli morfismus existuje jedinečný morfismus takový . Ve dvojím způsobem, modul I je injective pokud existuje přesný sled je rozdělena. Ekvivalentní definice je následující: modul I je injektivní, pokud pro jakýkoli injektivní morfismus a jakýkoli morfismus existuje jedinečný morfismus takový .G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}G{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}MÓd(G){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}MÓd(G){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}i:NE→M{\ displaystyle i: N \ rightarrow M}p:M→P{\ displaystyle p: M \ rightarrow P}0→NE→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow N \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}0→NE→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow N \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}s:P→M{\ displaystyle s: P \ rightarrow M}p∘s=id{\ displaystyle p \ circ s = id}F:NE→M{\ displaystyle f: N \ rightarrow M}h:P→M{\ displaystyle h: P \ rightarrow M}h′:P→NE{\ displaystyle h ': P \ rightarrow N}F∘h′=h{\ displaystyle f \ circ h '= h}0→Já→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow I \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}F:NE→M{\ displaystyle f: N \ rightarrow M}h:NE→Já{\ displaystyle h: N \ rightarrow I}h′:M→Já{\ displaystyle h ': M \ rightarrow I}h′∘F=h{\ displaystyle h '\ circ f = h}

Jelikož jakýkoli modul je také modulem na prstenci , můžeme použít obecné pojmy modulů na prstenci . Modul M má konečnou délku, pokud existuje konečná řada submodulů , takže následující kvocienty jsou neredukovatelné moduly. Takové sekvence se nazývá Jordán držák z M . Pro konečné délky modulu se isomorphisms třída podíl závisí pouze modul M . Zejména je celé číslo n závisí pouze na modulu M a je nazýván délky z modulu M . Například jakýkoli neredukovatelný modul má délku 1, jakýkoli přímý součet dvou neredukovatelných modulů má délku 2.U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯⊂Mne=M{\ displaystyle \ {0 \} \ podmnožina M_ {1} \ podmnožina M_ {2} \ podmnožina \ cdots \ podmnožina M_ {n} = M}Mi+1/Mi{\ displaystyle M_ {i + 1} / M_ {i}}

Modul M je artinian, pokud je nějaká klesající sekvence submodulů stacionární. Například jakýkoli konečný dimenzionální modul je artinian. Modul M je noetherian, pokud je nějaká rostoucí sekvence submodulů stacionární. Vzhledem k tomu, že obalová algebra je noetherovský kruh , je modul M netherianský právě tehdy, je-li konečného typu. Modul má konečnou délku právě tehdy, pokud je to noetherian a artinian.M⊃M1⊃M2⊃⋯{\ displaystyle M \ supset M_ {1} \ supset M_ {2} \ supset \ cdots}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯{\ displaystyle \ {0 \} \ podmnožina M_ {1} \ podmnožina M_ {2} \ podmnožina \ cdots}U(G){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}

Příklad Konečný dimenzionální modul je vždy Noetherian a Artinian, a proto má vždy konečnou délku. To již neplatí v nekonečné dimenzi, dokonce ani pro abelianskou Lieovu algebru. Předpokládejme například, že . Uvažujme o modulu, kde je akce dána vynásobením skalárem z . Působení je tedy dáno levým násobením. Takže každý levém ideálu je sub-modul L . Poznámka: (P) ideální generované polynomu P . Dovolit být nekonečná řada komplexních čísel. Pak máme následující klesající sekvenci: . Jedná se o nestacionární řadu submodulů, jejichž po sobě jdoucí kvocienty jsou neredukovatelné moduly (kvůli dimenzi 1). Tak L není artinian a není konečné délky. Všimněte si, že L je noetherian, protože jde o modul konečného typu (ve skutečnosti cyklický, generovaný konstantní polynomem 1 ).G=VS{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {C}}L=VS[X]{\ displaystyle L = \ mathbb {C} [X]}z∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}U(VS)=VS[X]{\ displaystyle {\ mathcal {U}} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} [X]}na1,na2,...{\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}⋯⊂(X-na1)⋯(X-nane)⊂⋯⊂(X-na1)(X-na2)⊂(X-na1)⊂L{\ displaystyle \ cdots \ podmnožina (X-a_ {1}) \ cdots (X-a_ {n}) \ podmnožina \ cdots \ podmnožina (X-a_ {1}) (X-a_ {2}) \ podmnožina ( X-a_ {1}) \ podmnožina L}

Podkategorie full of je Artinian (respektive noetherovských), jestliže všechny její objekty jsou Artinian (v tomto pořadí) Noetherovské moduly. V podkategorii plné artinianů a noetherianů má jakýkoli objekt konečnou délku. Podskupiny plný má dostatek projektivní pokud z nějakého objektu M v podkategorii je projektivní modul P v podkategorii a surjektivní morfismus P na M . Má dostatek injektivních pokud z nějakého objektu M v subkategorii existuje injektivní modul I v sub-kategorie a injective morphism M v I. . MÓd(G){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}MÓd(G){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}MÓd(G){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}

Reference

• N. Bourbaki , Elementy matematiky , Skupiny a Lieovy algebry, Kapitola 1, Springer, 2007 ( ISBN  978-3-540-35335-5 )
• Jacques Dixmier , Povlaková Algebras Jacques Gabay, 1996 ( ISBN  2-87647-014-4 )
• Brian Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations , Springer, 2003 ( ISBN  978-0-387-40122-5 )
• James Humphreys, Úvod do Lie Algebry a teorie reprezentace , druhý tisk, revidováno. Postgraduální texty z matematiky, 9. Springer, 1978 ( ISBN  0-387-90053-5 )
• Nathan Jacobson , Lie algebras , Republication of the 1962 original, Dover, 1979 ( ISBN  0-486-63832-4 )

Související články

• Teorie reprezentace
• Skupinové zastoupení
• Zastoupení skupiny Lie
• Zastoupení konečné skupiny

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">