Generovaný afinní podprostor

V geometrii v afinního prostoru je afinní obal o část není prázdný , označovaný také jako obálky afinní k , je nejmenší afinní podprostor z obsahující . E{\ displaystyle E} NA{\ displaystyle A}NA{\ displaystyle A} E{\ displaystyle E}NA{\ displaystyle A}

Definice

V afinním prostoru je průsečík (neprázdné) rodiny afinních podprostorů buď prázdná množina, nebo afinní podprostor a samotný prostor je podprostor, což ospravedlňuje následující definici:

Nechť je afinní prostor. Pro jakékoliv neprázdné části města , existuje nejmenší afinní obsahující subprostor  : průsečík celého affine obsahující podprostory . E{\ displaystyle E}NA{\ displaystyle A}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}NA{\ displaystyle A}E{\ displaystyle E}NA{\ displaystyle A}

Říkáme tomu afinní podprostor generovaný a často jej označujeme nebo nebo znovu .NA{\ displaystyle A}Aff⁡(NA){\ displaystyle \ operatorname {Aff} (A)}aff⁡(NA){\ displaystyle \ operatorname {aff} (A)}aff⁡NA{\ displaystyle \ operatorname {aff} A}

Vlastnosti

Dovolit a být afinní mezery a , dvě neprázdné části a neprázdná část . E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E{\ displaystyle E}VS{\ displaystyle C}F{\ displaystyle F}

• aff⁡(NA){\ displaystyle \ operatorname {aff} (A)}se rovná množině barycenter bodů .NA{\ displaystyle A}
• Pokud je afinní mapa poté .F:E→F{\ displaystyle f: E \ až F}F(aff⁡(NA))=aff⁡(F(NA)){\ displaystyle f (\ operatorname {aff} (A)) = \ operatorname {aff} (f (A))}
• aff⁡(B)×aff⁡(VS)=aff⁡(B×VS){\ displaystyle \ operatorname {aff} (B) \ krát \ operatorname {aff} (C) = \ operatorname {aff} (B \ krát C)}(v afinním prostoru produktu ).E×F{\ displaystyle E \ times F}
• NA{\ displaystyle A}a jeho konvexní obálka generuje stejný afinní podprostor.
• Pro každý bod z je směr z je vektor podprostor generovaný (ve vektorovém prostoru spojeného s ) o .P{\ displaystyle P}NA{\ displaystyle A}aff⁡(NA){\ displaystyle \ operatorname {aff} (A)}E{\ displaystyle E}{PQ→∣Q∈NA}{\ displaystyle \ {{\ overrightarrow {PQ}} \ mid Q \ v A \}}
• aff{\ displaystyle \ operatorname {aff}}je uzavření provozovatelem  : , a .NA⊂aff⁡(NA){\ displaystyle A \ podmnožina \ operatorname {aff} (A)}NA⊂B⇒aff⁡(NA)⊂aff⁡(B){\ displaystyle A \ podmnožina B \ Rightarrow \ operatorname {aff} (A) \ podmnožina \ operatorname {aff} (B)}aff⁡(aff⁡(NA))=aff⁡(NA){\ displaystyle \ operatorname {aff} (\ operatorname {aff} (A)) = \ operatorname {aff} (A)}

Poznámky a odkazy

1. Dany-Jack Mercier, kurz Geometrie: příprava na CAPES a agregace , Publibook University,2005( číst online ) , s.  33.
2. Daniel Guinin a Bernard Joppin, Algebra a geometrie PCSI , Bréal ,2003( číst online ) , s.  256.
3. (in) R. Tyrrell Rockafellar , Convex Analysis , Princeton, NJ, Princeton University Press , kol.  "Princeton Mathematical Series" ( n o  28),1970( číst online ) , s.  6(omezeno na případ ).E=Rne{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}
4. Mercier 2005 , str.  37.
5. Mercier 2005 , str.  49.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">