Sériově integrální věta o inverzi

V analýze , různé sériově integrální inverze věty poskytnout dostatečné podmínky pro termín-to-termín integrace v součtu jednoho řad funkcí .

Plná verze Lebesgue

Věta - Nechť $( X , ?, μ ) je$ kompletní měřený prostor (například interval z ℝ , obdařen kmene Lebesgue a opatření Lebesgue ), E Eukleidovský prostor (například ℝ nebo ℂ ) a A sekvence funkce integrovatelné z $X$ v E . Předpokládá se, že digitální řada konverguje. $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ sum _ {n} \ left (\ int \ | f_ {n} \ | ~ {\ mathrm d} \ mu \ right)$

Pak řada funkcí konverguje téměř všude na $X$ k integrovatelné funkci a $\ součet f_ {n}$

\ int \ left (\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} f_ {n} \ right) ~ {\ mathrm d} \ mu = \ sum _ {{n = 0}} ^ { {\ infty}} \ left (\ int f_ {n} ~ {\ mathrm d} \ mu \ right).

Poznámky

Tato věta je odvozena z vět monotónní a dominující konvergence . Integrovatelnost řady a inverze a přetrvávání pod mnohem slabší hypotézou: stačí, že řada konverguje téměř všude a že existuje integrovatelná funkce taková pro všechny . $\ součet$ $\ int$ $\ součet f_ {n}$ $G$ ${\ displaystyle N, \ left | \ sum _ {n \ leq N} f_ {n} \ right | \ leq g}$
Toto je konkrétní případ Fubiniho vět, kde jeden z integrálů je proveden s ohledem na míru počítání na ℕ .
Ve zvláštním případě, kdy je měřený prostor je ℕ opatřen diskrétní kmene a opatření počítání , najdeme inverze věta pro dvojité řady s hodnotami v E , pod summability předpokladu .

Věta - Nechte $I$ segmentů ℝ a posloupnost funkcí spojitých o $I$ v E . $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

Předpokládá se, že řada funkcí konverguje stejnoměrně na $I$ k funkci $S$ . $\ součet f_ {n}$

\ int _ {I} S (x) ~ {\ mathrm d} x = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ left (\ int _ {I} f_ {n} (x ) ~ {\ mathrm d} x \ vpravo).

N. Bourbaki , integrace, kapitoly 1 až 4 , Springer ,2007( číst online ) , kap. IV, § 4, s. 1 144, důsledek 2.