Greenova věta
V matematiky , Greenova věta , nebo Green-Riemann věta , udává vztah mezi křivočarého integrálu podél uzavřené jednoduché křivky orientované C 1 piecewise a dvojitý základní přes oblasti roviny ohraničené této křivky.
Tato věta , pojmenovaná po Georgovi Greenovi a Bernhardovi Riemannovi , je zvláštním případem Stokesovy věty .
Státy
Nechť C je jednoduchá, kladně orientované rovinné křivky a C 1 po částech , D kompaktní roviny vymezené C a P d x + Q d y 1- rozdíl forma na . Pokud P a Q mají spojité parciální derivace přes otevřenou oblast včetně D , pak:
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
∫VSPdX+Qdy=∬D(∂Q∂X-∂P∂y)dXdy.{\ displaystyle \ int _ {C} P \, \ mathrm {d} x + Q \, \ mathrm {d} y = \ iint _ {D} \ vlevo ({\ frac {\ částečné Q} {\ částečné x }} - {\ frac {\ částečné P} {\ částečné y}} \ vpravo) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y.}
Alternativní notace
Viděn jako speciální případ Stokesovy věty , je věta napsána v následujícím tvaru, označujícím ∂ D křivku C a ω diferenciální formu. Potom se vnější derivát z W je psáno:
dω=(∂Q∂X-∂P∂y)dX∧dy{\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = \ left ({\ frac {\ částečné Q} {\ částečné x}} - {\ frac {\ částečné P} {\ částečné y}} \ vpravo) \ mathrm {d } x \ klín \ mathrm {d} y}
a Greenovu větu shrnuje:
∮∂Dω=∬Ddω.{\ displaystyle \ anoint _ {\ částečné D} \ omega = \ iint _ {D} \ mathrm {d} \ omega.}
Kružnice na integrálu určuje, že hrana ∂ D je uzavřená křivka (orientovaná). Změna orientace křivky změní znaménko křivočarého integrálu. Orientace hrany ∂ D se provádí intuitivně tak, že bod, který ji prochází, musí mít pole D neustále nalevo.
Může být také interpretován jako oběhu z vektorového pole definované na otevřený prostor, který obsahuje D .
∮∂Dω{\ displaystyle \ anoint _ {\ částečné D} \ omega} Pjá→+Qȷ→{\ displaystyle P \, {\ vec {\ imath}} + Q \, {\ vec {\ jmath}}}
Demonstrace ve zjednodušeném případě
Ukažme, že za předpokladu, že doménu D lze popsat:
∬D-∂P∂y(X,y)dXdy=∫∂DPdX{\ displaystyle \ iint _ {D} - {\ frac {\ částečné P} {\ částečné y}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {\ částečné D} P \, \ mathrm {d} x}
D={(X,y)∈R2 ; na⩽X⩽b a F(X)⩽y⩽G(X)}{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ v \ mathbb {R} ^ {2} \; \ a \ leqslant x \ leqslant b \ {\ text {a}} \ f (x) \ leqslant y \ leqslant g (x) \}}
kde f a g jsou funkce třídy C 1 na [ a , b ], které se shodují v a a b .
Fubiniova věta dává:
∬D-∂P∂y(X,y)dXdy=∫nab(∫F(X)G(X)-∂P∂y(X,y)dy)dX{\ displaystyle \ iint _ {D} - {\ frac {\ částečné P} {\ částečné y}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {a} ^ {b} \ left (\ int _ {f (x)} ^ {g (x)} - {\ frac {\ částečné P} {\ částečné y}} (x, y) \, \ mathrm {d} y \ right) \ mathrm {d} x}
Nyní , aby:
∫F(X)G(X)-∂P∂y(X,y)dy=P(X,F(X))-P(X,G(X)){\ displaystyle \ int _ {f (x)} ^ {g (x)} - {\ frac {\ částečné P} {\ částečné y}} (x, y) \, \ mathrm {d} y = P ( x, f (x)) - P (x, g (x))}
∬D-∂P∂y(X,y)dXdy=∫nabP(X,F(X))-P(X,G(X))dX.{\ displaystyle \ iint _ {D} - {\ frac {\ částečné P} {\ částečné y}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {a} ^ {b} P (x, f (x)) - P (x, g (x)) \, \ mathrm {d} x.}Orientovaný oblouk však lze rozdělit na dva dílčí oblouky:
∂D{\ displaystyle \ částečný D}
t⟼(t,F(t)){\ displaystyle t \ longmapsto (t, f (t))}kde t se zvyšuje z
a na
b
a
kde t klesá z b na a .
t⟼(t,G(t)){\ displaystyle t \ longmapsto (t, g (t))}
Křivočarý integrál je tedy:
∫∂DPdX{\ displaystyle \ int _ {\ částečné D} P \, \ mathrm {d} x}
∫nabP(t,F(t))dt+∫bnaP(t,G(t))dt=∫nabP(t,F(t))-P(t,G(t))dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} P (t, f (t)) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {b} ^ {a} P (t, g (t)) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {a} ^ {b} P (t, f (t)) - P (t, g (t)) \, \ mathrm {d} t} což je výraz získaný výše.
Ukážeme také, že za předpokladu, že doménu D lze popsat jako:
∬D∂Q∂X(X,y)dXdy=∫∂DQdy{\ displaystyle \ iint _ {D} {\ frac {\ částečné Q} {\ částečné x}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {\ částečné D } Q \, \ mathrm {d} y}
D={(X,y)∈R2 ; vs.⩽y⩽d a ϕ(y)⩽X⩽ψ(y)}{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ v \ mathbb {R} ^ {2} \; \ c \ leqslant y \ leqslant d \ {\ text {et}} \ \ phi (y) \ leqslant x \ leqslant \ psi (y) \}}
kde ϕ a ψ jsou funkce třídy C 1 na [ c , d ], které se shodují v c a d :
∬D∂Q∂X(X,y)dXdy=∫vs.d∫ϕ(y)ψ(y)∂Q∂X(X,y)dXdy=∫vs.dQ(ψ(y),y)-Q(ϕ(y),y)dy=∫∂DQdy.{\ displaystyle \ iint _ {D} {\ frac {\ částečné Q} {\ částečné x}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {c} ^ {d} \ int _ {\ phi (y)} ^ {\ psi (y)} {\ frac {\ částečné Q} {\ částečné x}} (x, y) \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {c} ^ {d} Q (\ psi (y), y) -Q (\ phi (y), y) \, \ mathrm {d} y = \ int _ {\ částečný D} Q \, \ mathrm {d} y.}Použití
Greenova věta umožňuje zejména dokázat Poincarého nerovnost i Cauchyho integrální větu pro holomorfní funkce.
Výpočty plochy
Použití Greenovy věty umožňuje vypočítat plochu ohraničenou uzavřenou parametrizovanou křivkou . Tato metoda je konkrétně použita v planimetrech .
Nechť D plochu mapy, ke kterému se zelená věta platí a je C = ∂ D její hranice, pozitivně orientován s ohledem na vývoj . My máme :
NA(D)=∬DdXdy=∫VS-ydX=∫VSXdy=12∫VS-ydX+Xdy{\ displaystyle {\ mathcal {A}} (D) = \ iint _ {D} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ int _ {C} -y \ mathrm {d} x = \ int _ {C} x \ mathrm {d} y = {\ frac {1} {2}} \ int _ {C} -y \ mathrm {d} x + x \ mathrm {d} y}
tím, že v tomto pořadí rovná , nebo , nebo konečně , každý z těchto tří případů, který by splňoval(P(X,y),Q(X,y)){\ displaystyle \ left (P (x, y), Q (x, y) \ right)}(-y,0){\ displaystyle (-y, 0)}(0,X){\ displaystyle (0, x)}(-y/2,X/2){\ displaystyle (-y / 2, x / 2)}∂Q∂X-∂P∂y=1.{\ displaystyle {\ frac {\ částečné Q} {\ částečné x}} - {\ frac {\ částečné P} {\ částečné y}} = 1.}
Oblast astroidu
Zde zacházíme s příkladem astroidu , jehož hrana C je parametrizována:
t↦(cos3t,hřích3t),{\ displaystyle t \ mapsto (\ cos ^ {3} t, \ sin ^ {3} t),}
t kolísající od 0 do 2 π . Tím, že a , dostaneme:
P(X,y)dX=-y2dX=32hřích4tcos2tdt{\ displaystyle P (x, y) \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {y} {2}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {3} {2}} \ sin ^ {4} t \ cos ^ {2} t \, \ mathrm {d} t}Q(X,y)dy=X2dy=32cos4thřích2tdt{\ displaystyle Q (x, y) \, \ mathrm {d} y = {\ frac {x} {2}} \, \ mathrm {d} y = {\ frac {3} {2}} \ cos ^ {4} t \ sin ^ {2} t \, \ mathrm {d} t}
NA(D)=12∫VS-ydX+Xdy=32∫02πcos2thřích2tdt.{\ displaystyle {\ mathcal {A}} (D) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathcal {C}} - y \ mathrm {d} x + x \ mathrm {d} y = {\ frac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos ^ {2} t \ sin ^ {2} t \, \ mathrm {d} t.}
Po linearizaci odvodíme, že plocha astroidu je stejná3π/8.
Plocha mnohoúhelníku
Pro jednoduchý polygon s n vrcholy P 0 , P 1 ,…, P n = P 0 očíslované v kladném trigonometrickém směru , s P i = ( x i , y i ) , získáme
NA=12∑i=1ne(Xi+Xi-1)(yi-yi-1)=-12∑i=1ne(Xi-Xi-1)(yi+yi-1){\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {1} {2}} \ součet _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} + x_ {i-1}) \, (y_ {i} -y_ {i-1}) = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) \, (y_ {i} + y_ {i-1})}nebo
NA=12∑i=1neXi-1yi-Xiyi-1,{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {1} {2}} \ součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i-1} \, y_ {i} -x_ {i} \, y_ {i-1},}výraz, který lze interpretovat jako součet ploch trojúhelníků OP i –1 P i .
Poznámka: v prvním vztahu pozorujeme, že překlad nemění oblast.