Cauchyova integrální věta

V komplexní analýzy je integrální věta Cauchy , nebo Cauchy - Goursat , je důležitý výsledek týkající se křivočaré integrály z holomorfních funkcí v komplexní rovině . Podle této věty, pokud dvě různé cesty spojují stejné dva body a pokud je funkce holomorfní „mezi“ dvěma cestami, pak jsou dva integrály této funkce podél těchto cest stejné.

Státy

Věta je obvykle formulována pro přepnutí (tj. Cesty, jejichž počáteční bod se shoduje s koncovým bodem) následujícím způsobem.

Jsou:

U otevřený jednoduše připojí na ℂ;
$f$ : U → ℂ spojitá funkce na U a mající komplexní derivaci, s výjimkou možného konečného počtu bodů;
$γ$ vybočení opravitelný v U .

Tak :

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 0}

Jednoduchý stav připojení

Podmínka, že U je jednoduše připojeno, znamená, že U nemá žádnou „díru“; například jakýkoli otevřený disk splňuje tuto podmínku. $U = \ {z, \ mid z-z_ {0} \ mid <r \} \,$

Podmínka je zásadní; například pokud $γ$ je jednotková kružnice, pak integrál na této krajce funkce $f ( z ) = 1 / z$ není nula; Cauchyho integrální věta zde neplatí, protože $f$ nelze rozšířit kontinuitou v 0.

Demonstrace

Tím, argumenty stejnoměrné z $f$ o kompaktní s-čtvrtích obrazu $y$ v U , integrál z $f$ o $y$ je hranice integrálů $f$ o polygonálních smyček. Závěrem tedy stačí vyvolat Goursatovo lemma .

Můžeme také v případě, že $f$ je holomorfní v kterémkoli bodě $U$ , uvažovat rodinu smyček s . $\ gamma _ {{\ alpha}} (t) = z_ {0} + (1- \ alpha) (\ gamma (t) -z_ {0})$ $\ alpha \ in [0,1]$

Důsledky

Podle předpokladů věty, $f$ má v U je primitivní komplexní $F$ . Dokonce i když to znamená nahrazení U jednou z jeho připojených komponent , můžeme předpokládat, že U je připojeno. Tím, kterým se pak libovolný bod $Z 0$ z U a nastavením ${\ displaystyle F (z) = \ int _ {P (z)} f (\ xi) ~ \ mathrm {d} \ xi}$ ,kde $P ( z )$ je libovolná usměrnitelná cesta v U od $z 0$ do $z$ (podle věty hodnota $F ( z )$ nezávisí na volbě $P ( z )$ ) a přizpůsobením proměnné důkaz o první základní teorém analýzy je složitý , pak odvodíme, že F je na U holomorfní a že $F '= f$ .
Pro takovéto primitivní funkce máme okamžitě: pro jakoukoli spojitou po částech diferencovatelnou cestu $γ$ z $a$ do $b$ v U : ${\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z = F (b) -F (a)}$ .
Těch několik předpokladů požadovaných na $f$ je velmi zajímavé, protože pak můžeme dokázat Cauchyho integrální vzorec pro tyto funkce a odvodit, že jsou ve skutečnosti neomezeně diferencovatelné.
Cauchyova integrální věta je značně zobecněna věrou o zbytcích .
Cauchyova integrální věta je platná v mírně silnější formě, než je uvedeno výše. Předpokládejme, že U je jednoduše spojená otevřená množina ℂ, jejíž hranice je jednoduchá napravitelná smyčka $γ$ . Pokud $f$ je funkce holomorphic na U a spojitá na adhezi z U , potom integrál z $f$ o $y$ je nula.

Příklad

Pro jakékoliv složité $alfa$ , funkce , kde jsme zvolili hlavní určení z funkce energie , je holomorphic na komplexní rovině zbaven poloviční linie . Jeho integrál v každém zatočení této domény je tedy nulový. To umožňuje ukázat, že semi-konvergentní integrály ${\ displaystyle f (z): = {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {\ mathrm {i} z}} {z ^ {\ alpha}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {-}}$

{\ displaystyle J_ {c} (\ alpha): = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t \ quad {\ text {et}} \ quad J_ {s} (\ alpha): = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t ^ {\ alpha}}}}, \ mathrm {d} t \ quad {\ text {pour}} \ quad \ mathrm {Re} (\ alpha) \ in \ left] 0,1 \ right [}

(kde $Re$ označuje skutečnou část ) se rovnají

{\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) = \ cos \ left ((1- \ alpha) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ gama (1- \ alpha) \ quad {\ text {et}} \ quad J_ {s} (\ alpha) = \ sin \ left ((1- \ alpha) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ Gamma (1- \ alpha)}

kde $Γ$ označuje gama funkci a $cos, sin$ jsou kosinové a sinusové funkce komplexní proměnné .

Podrobnosti výpočtu

Označme $a = a + i b$ s $a \in] 0, 1 [$ i . Integrujeme $f$ (integrál je nula) na smyčce tvořené reálným segmentem $[ε,$ $R$ $]$ a čistým imaginárním segmentem $i [$ $R$ $, ε]$ , spojeným čtvrtkruhy $R$ $e$ $[0, i π / 2]$ a $εe$ $[$ $iπ$ $/ 2, 0]$ , pak uděláme $R$ tendenci k $+ \infty$ a $ε$ k $0$ $+$ . ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$

Integrály na dvou čtvrtletních kruzích mají sklon k $0,$ protože

{\ displaystyle \ left | \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {\ mathrm {i} R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}}} {R ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ alpha \ theta}}} \ mathrm {i} R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \ right | \ leq R ^ {1-a} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ mathrm {e}} ^ {- R \ sin \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \ leq R ^ {1-a} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ mathrm {e}} ^ {- 2R \ theta / \ pi} \, \ mathrm {d} \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} R ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- R})}

{\ displaystyle \ lim _ {R \ až + \ infty} R ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- R}) = \ lim _ {\ varepsilon \ až 0 ^ {+}} \ varepsilon ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- \ varepsilon}) = 0.}

Integrál přes imaginární segment se rovná

{\ displaystyle \ int _ {R} ^ {\ varepsilon} {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {- y}} {y ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ alpha \ mathrm { i} \ pi / 2}}} \ mathrm {i} \, \ mathrm {d} y = - \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ int _ {\ varepsilon} ^ {R} y ^ {- \ alpha} \ mathrm {e} ^ {- y} \, \ mathrm {d} y \ to - \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha)}

Integrál nad reálným segmentem má sklon , což je tedy rovno . ${\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) + \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha)}$

Stejným způsobem (nahrazením $b$ o $- b$ ), tedy (tím, že se konjugáty ze dvou členů) . ${\ displaystyle J_ {c} ({\ overline {\ alpha}}) + \ mathrm {i} J_ {s} ({\ overline {\ alpha}}) = \ mathrm {e} ^ {(1 - {\ overline {\ alpha}}) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1 - {\ overline {\ alpha}})}$ ${\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) - \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1 \ alfa)}$

Takže máme

{\ displaystyle 2J_ {c} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ gama (1- \ alpha) + \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha) = 2 \ cos ((1- \ alpha) \ pi / 2) \ Gamma (1- \ alpha) }

{\ displaystyle 2 \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ gama (1- \ alpha) - \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha) = 2 \ mathrm {i} \ sin ((1- \ alpha) \ pi / 2) \ Gamma (1 \ alfa)}

Například ( Fresnelův integrál ). To si také můžeme všimnout ( Dirichletův integrál ). ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} J_ {c} (1/2) = {\ frac {1} {2}} J_ {s} (1/2) = {\ frac {1} { 2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ mathrm {Re} (\ alpha) <1, \ alpha \ až 1} J_ {s} (\ alpha) = {\ frac {\ pi} {2}} = \ int _ { 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}$

Riemannovy povrchy

Cauchyova integrální věta je zevšeobecněna v rámci geometrie Riemannův povrchů .

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Cauchyova integrální věta “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Liang-shin Hahn a Bernard Epstein , Classical Complex Analysis , Jones & Bartlett,1996, 411 s. ( ISBN 978-0-86720-494-0 , číst online ) , s. 111.
(in) I-Hsiung Lin Klasická komplexní analýza: Geometrický přístup , sv. 1, World Scientific,2011( číst online ) , s. 396 a 420.

Podívejte se také

Bibliografie

Walter Rudin , Reálná a komplexní analýza [ detail vydání ]
Henri Cartan , Elementární teorie analytických funkcí jedné nebo více komplexních proměnných [ detail vydání ]
(en) Kunihiko Kodaira ( překlad z japonštiny), Complex Analysis , Cambridge, CUP , coll. "Cambridge Stud." Adv. Matematika. „( N O 107),2007, 406 s. ( ISBN 978-0-521-80937-5 )

Související články

Morerova věta