Jordan-Hölderova věta

Jordán držitel věta je věta ze skupiny teorie , která je součástí obecné algebry . Umožňuje zejména velmi obecnou demonstraci Jordanovy redukce čtvercových matic.

Definice

Nechť G je skupina a e její neutrální prvek .

Připomeňme, že složení řady z G některého konečného počtu ( G 0 , G 1 , ..., G r ) z podskupiny z G tak, že ${\ displaystyle G = G_ {0} \ supseteq G_ {1} \ supseteq \ ldots \ supseteq G_ {r} = \ {e \}}$ a tím, že pro všechny I e {0, 1, ..., r - 1}, G i 1 je normální podskupina z G i .
Kvocienty G i / G i +1 se nazývají kvocienty v pořadí.
Nechť Σ 1 = ( G 0 , G 1 , ..., G r ) a Σ 2 = ( H 0 , H 1 , ..., H y ), dvě sekvence kompozitní G . Pamatujte, že to říkáme
- Σ 2 je upřesnění Σ 1 , nebo opět, že Σ 2 je jemnější než Σ 1 , pokud je Σ 1 extrahováno z Σ 2 , tj. Pokud existují indexy 0 = j (0) < j (1)… < j ( r ) = s takový, že G i = H j ( i ) pro všechna i ∈ {1,…, r - 1}.
- Σ 1 a Σ 2 jsou ekvivalentní, pokud r = s a pokud existuje permutace σ množiny {0, 1,…, r - 1} taková, že pro všechna i v této sadě je podíl G i / G i +1 je izomorfní s kvocientem H σ ( i ) / H σ ( i ) +1 .
Nebo Σ = ( G 0 , G 1 , ..., G r ) kompozici série G . Tři následující podmínky jsou ekvivalentní:
a) Σ se přísně snižuje a nepřipouští jiné přísně se snižující upřesnění než sama;
b) kvocienty Σ jsou všechny jednoduché skupiny ;
c) pro všechna i ∈ [0, r -: 1], G i 1 je maximální vyznačuje podskupina z G i (to jest maximální prvku , vzhledem k začlenění, nastavených vhodných podskupin odlišit od G i ).
Volal po Jordan - Hölder kompoziční sérii mající ekvivalentní vlastnosti a) až c).

Jakákoli konečná skupina připouští alespoň jednu sekvenci Jordan-Hölder. Obecněji skupina G připouští Jordan-Hölderovu sekvenci tehdy a jen tehdy, pokud splňuje podmínky vzestupného a sestupného řetězce pro subnormální podskupiny , tj. Pokud je jakákoli rostoucí sekvence a jakákoli sekvence snižující počet subnormálních podskupin G stacionární . (To opět znamená, že jakákoli neprázdná množina E subnormálních podskupin G má maximální prvek v E pro zahrnutí a minimální prvek v E pro zahrnutí; konečně, že mřížka subsubnormálních skupin G je úplná.) V zejména pokud skupina splňuje podmínky vzestupného a sestupného řetězce pro jakoukoli podskupinu, připouští sekvenci Jordan-Hölder.

Jordan-Hölderova věta

Jordan-Hölderova věta říká, že dvě Jordan-Hölderovy sekvence stejné skupiny jsou vždy ekvivalentní. Tuto větu lze demonstrovat pomocí Schreierovy věty o zdokonalení , kterou lze demonstrovat pomocí Zassenhausova lematu .

Příklad

Pro skupinu čísel modulo 6 máme následující dvě sekvence Jordan-Hölder:

${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 6 \ mathbb {Z} \ supset \ {0,2,4 \} \ supset \ {0 \}}$
${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 6 \ mathbb {Z} \ supset \ {0,3 \} \ supset \ {0 \}}$

jejichž kvocienty jsou (až do izomorfismu) ℤ / 2ℤ, pak ℤ / 3ℤ pro první a ℤ / 3ℤ, pak ℤ / 2ℤ pro druhou.

Zobecnění

Jordanovu větu lze užitečně zobecnit na skupiny s operátory .

Nejprve rozšíříme pojem Jordan-Hölderovy posloupnosti skupiny na skupiny s operátory: Jordan-Hölderovu posloupnost Ω-skupiny G nazýváme jakoukoli konečnou posloupností ( G 0 , G 1 , ..., G r ) Ω-podskupin G tak, že

{\ displaystyle G = G_ {0} \ supseteq G_ {1} \ supseteq \ ldots \ supseteq G_ {r} = \ {e \}}

že pro všechna i ∈ {0, 1,…, r - 1} je G i + 1 normální podskupina (a tedy Ω-normální podskupina) G i a že pro všechna i ∈ {0, 1,…, r - 1}, kvocient Ω-skupiny G i / G i + 1 je Ω-jednoduchý.

Stejně jako v případě běžných skupin, jakákoli konečná skupina operátorů připouští alespoň jednu Jordan-Hölderovu sekvenci a obecněji skupina operátorů G připouští Jordan-Hölderovu sekvenci právě tehdy, pokud splňuje podmínky řetězce vzestupně a sestupně pro subnormální stabilní podskupiny, to znamená, že jakákoli rostoucí sekvence a jakákoli klesající sekvence stabilních subnormálních podskupin G je stacionární. (To opět znamená, že jakákoli neprázdná množina E stabilních podnormálních podskupin G má maximální prvek v E pro zahrnutí a minimální prvek v E pro zahrnutí.)

Nechť G je skupina Ω, jsou Σ 1 = ( G 0 , G 1 , ..., G r ) a Σ 2 = ( H 0 , H 1 , ..., H s ) dvě sekvence Jordan-Hölderovy G . Říkáme, že Σ 1 a Σ 2 jsou ekvivalentní, pokud r = s a pokud existuje permutace σ množiny {0, 1,…, r - 1} taková, že pro všechna i v této množině je kvocient skupiny Ω G i / G i + 1 je Ω-izomorfní vůči kvocientu Ω-skupiny H σ ( i ) / H σ ( i ) + 1 .

Důkaz Jordan-Hölderovy věty se pak okamžitě rozšíří i na skupiny s operátory: dvě Jordan-Hölderovy sekvence stejné skupiny s operátory jsou vždy ekvivalentní.

Příklad použití zobecněného formuláře

Nechť A je kruh a M levý nebo pravý modul A na A. Sčítání vektorů M je zákon skupiny a vnější zákon M je operace

{\ displaystyle \ A \ krát M \ rightarrow M: (\ lambda, v) \ mapsto \ lambda v}

což dělá M skupinu s operátory v A (kvůli distribuci vnějšího práva s ohledem na přidání vektorů).

To vše platí zejména v případě vektorového prostoru vlevo nebo vpravo V na (ne nutně komutativním) poli K (čtenář, který nezná nekomutativní pole a vektorové prostory vlevo a vpravo lze předpokládat, že K je komutativní pole a že V je vektorový prostor na K): přidání vektorů V je skupinový zákon a vnější zákon V je operace

{\ displaystyle \ K \ krát V \ rightarrow V: (\ lambda, v) \ mapsto \ lambda v}

což dělá V skupinu s operátory v K (kvůli distribuci vnějšího zákona s ohledem na přidání vektorů).

Vektorový prostor nalevo nebo napravo na poli K je proto zvláštním případem skupiny s operátory v K. Stabilní podskupiny této skupiny s operátory jsou vektorové podprostory V. Protože skupina s operátory V je komutativní , všechny jeho stabilní podskupiny jsou normální. Pokud W je vektorový podprostor V, je kvocientový vektorový prostor prostoru V prostorem W kvocientová skupina operátorů skupiny operátorů V podle její stabilní podskupiny W. Skupina operátorů V je jednoduchá právě tehdy, když je vektorový prostor V má rozměr 1.

Z výše uvedeného nakreslíme, že dvě konečné báze stejného vektorového prostoru mají vždy stejný počet prvků . Nechť (a 1 ,…, a r ) a (b 1 ,…, b s ) jsou dvě báze stejného vektorového prostoru V. Musíme dokázat, že r = s. Pro každou i (0 ≤ i ≤ r), Označme V i vektor podprostor V vytvořeného u objektu j s j ≤ i (proto mít V 0 = 0 ). Podobně pro každé k (0 ≤ k ≤ s) označme W k vektorový podprostor V generovaný b l s l ≤ k. Pak (V r ,…, V 0 ) a (W s ,…, W 0 ) jsou dvě Jordan-Hölderovy sekvence skupiny operátorů V. Podle Jordan-Hölderovy věty rozšířené na skupiny operátorů jsou tyto dvě sady ekvivalentní . Zejména mají stejnou délku, takže r = s, jak je uvedeno.

Poznámka. Předchozí důkaz ukazuje, že vektorový prostor má konečnou dimenzi právě tehdy, pokud má konečnou délku jako skupina s operátory a že jeho délka se potom rovná jeho dimenzi. Na druhou stranu, pokud V je nekonečné dimenze, délka V (která je pak také nekonečná) se nemusí nutně rovnat dimenzi V, protože délka V, stejně jako délka jakékoli skupiny s operátory délky nekonečné , se potom rovná nejmenšímu nekonečnému kardinálovi, což nemusí nutně platit pro rozměr V.

Dějiny

C. Jordan uvedl v roce 1869 a v roce 1870 prokázal, že ve dvou Jordan-Hölderových posloupnostech stejné konečné skupiny je posloupnost řádů (počet prvků) kvocientů stejná, s jednou permutací. V roce 1889 O. Hölder posílil tento výsledek prokázáním věty, která se od té doby nazývá Jordan-Hölderova věta.

Poznámky a odkazy

Definice odpovídá N. Bourbaki , Algebra I: prvky matematiky , Paříž,1970, ch. I, § 4, č. 7, def. 9, s. 39.
Definice v souladu s Bourbaki 1970 , kap. I, § 4, č. 7, def. 9, s. 39-40.
Denominace podle J. Calais , Elements of group theory , Paris,1984, str. 226.
označení v souladu s Bourbaki 1970 , str. I.40.
(in) DJS Robinson (de) , Kurz v teorii skupin , Springer,1996, 2 nd ed. ( číst online ) , s. 64, nazývané „ izomorfní “ .
Nezaměňujte s pojmem maximální podskupiny skupiny .
Definice v souladu s Bourbaki 1970 , kap. I, § 4, č. 7, def. 10, s. 41.
Robinson 1996 , str. 67.
Důkaz Jordan-Hölderovy věty viz např. Bourbaki 1970 , str. I.41 nebo Calais 1984 , s. 231-232, nebo dokonce Serge Lang , Algèbre [ detail vydání ], 3 th revidované vydání, Paříž, 2004, s. 24 .
Definice odpovídá Bourbaki 1970 , kap. 1, s. I.41.
Viz například Bourbaki 1970 , kap. 1, s. I.41.
Je to tak, že ekvipotenci konečných bází stejného vektorového prostoru demonstruje Bourbaki 1970 , kap. 2, s. II.96.
C. Jordan, „Komentář k Galoisovi“, Mathematische Annalen , sv. 1, 1869, str. 152-153; citoval H. Wussing , Genesis konceptu abstraktní skupiny , trad. Angličtina, 1984, repr. Dover, 2007, str. 141 a 308.
C. Jordan, Pojednání o substitucích a algebraických rovnicích , Paříž, 1870, str. 42-48; citoval H. Wussing , Genesis konceptu abstraktní skupiny , trad. Angličtina, 1984, repr. Dover, 2007, str. 142 a 308.
(De) O. Hölder , " Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen (Zur Redukce der algebraischen Gleichungen) " , Mathematische Annalen ,1889, str. 37–38 ( číst online ). (Odkaz poskytl (en) W. Burnside , Theory of Groups of Finite Order , Dover ,1911( Repr. 2004), 2 th ed. , str. 65.)

Podívejte se také

Polycyklická skupina (en)