Pojem skupina s operátory lze považovat za zobecnění matematické představy o skupině . Umožňuje dát silnější formu určitým klasickým větám, jako je Jordan-Hölderova věta .
Skupinu operátorů tvoří tři matematické objekty:
takový, že pro jakýkoli prvek ω z Ω a všechny prvky g , h z G
Skupina operátorů se neomezuje pouze na svou základní skupinu, ale často jde o zneužití jazyka jejich identifikace.
Skupina s operátory, jejichž doménou operátorů je Ω, se nazývá skupina s operátory v Ω nebo Ω-skupině.
Případ běžné skupiny: Běžnou skupinu lze přirovnat ke skupině s operátory v prázdné sadě Ø . Můžeme tedy uvažovat, že určité věty týkající se skupin jsou speciální případy vět vztahujících se ke skupinám s operátory.
Pro každý prvek w o w, transformace g ↦ g ω je endomorphism ze základní skupiny G. Takové endomorphism se někdy nazývá stejnolehlost z Ω-skupiny G. jestliže G je skupina a Ω sada, data d ' a Ω-skupinová struktura na G je ekvivalentní s daty rodiny endomorfismů skupiny G indexovaných pomocí Ω, nebo s daty aplikace Ω v sadě endomorfismů skupiny G.
Skupina s operátory je považována za komutativní nebo dokonce abelianskou , pokud je její podkladová skupina komutativní .
Modul M na kruhu A je zvláštní případ skupiny s abelian subjekty, abelian skupina je aditivní skupiny M , sadu provozovatelé jsou A a působení A na M je vnější právo modulu. Skutečnost, že M je tedy skupina s operátory v A, závisí na distributivitě vnějšího zákona modulu s ohledem na přidání vektorů. Skupiny s abelianskými operátory samozřejmě nejsou všechny moduly, ale jejich studium můžeme omezit na studium modulů.
O podskupině H skupiny Ω (nebo přesněji podkladové skupiny) se říká, že je stabilní, pokud pro jakýkoli prvek ω z Ω a jakýkoli prvek h z H patří h ω k H. Poté můžeme definovat akci
a tato akce dělá H skupinu Ω. Stabilní podskupina Ω-skupiny G se také nazývá Ω-podskupina G.
Případ běžné skupiny: Pokud G je běžná skupina považovaná za skupinu s operátory v prázdné sadě, stabilní podskupiny této skupiny s operátory jsou potom podskupinami G. I zde tedy lze představu týkající se skupin považováno za zvláštní případ pojmu týkajícího se skupin s operátory.
Pokud G je skupina Ω, triviální podskupina G (tj. Její podskupina redukovaná na neutrální prvek ) a G samotné jsou Ω-podskupiny G.
Nechť G je Ω-skupina a H a Ω-podskupina G. Říkáme, že H je normální Ω- podskupina , nebo dokonce odlišená , G, pokud se jedná o normální podskupinu základní skupiny G. V tomto v případě, že ω je prvek Ω, jsou-li g 1 a g 2 prvky G kongruentního modulo H (tj. patřící do stejné třídy modulo H ), pak g 1 ω a g 2 ω jsou také kongruentní modulo H, tedy g 1 ω H = g 2 ω H. Můžeme tedy definovat akci Ω × G / H → G / H Ω na kvocientové skupině G / H, která pro jakýkoli prvek ω z Ω a jakýkoli prvek g z G platí ( ω, gH) až g ω H. Tato akce způsobí, že G / H bude Ω-skupina, nazývaná kvocientem Ω-skupiny G podle H.
Nechť G a H jsou dvě skupiny Ω. (Sada operátorů je tedy pro obě skupiny stejná.) Říkáme homomorfismus skupin s operátory od G do H, nebo Ω- homomorfismus od G do H, homomorfismus f skupin od G do H takový, že pro jakýkoli prvek ω z Ω a jakýkoli prvek x z G, máme f (x ω ) = f (x) ω . Pokud K je normální Ω-podskupina G, kanonický homomorfismus skupin G na G / K je Ω-homomorfismus Ω-skupiny G na Ω-skupině G / K, kterou jsme definovali výše.
Pokud f je Ω-homomorphism z omega-skupiny G do Ω-skupina H je jádro ze skupiny homomorfismu f je normální Ω-podskupina G. obraz z f je Ω- podskupina G.
Pokud je Ω-homomorfismus izomorfismus skupin (což znamená, že je bijektivní ), řekneme, že jde o Ω-izomorfismus. Reciproční skupina izomorfismus je pak také Ω-izomorfismus. Pokud G a H jsou dvě Ω-skupiny a existuje Ω-izomorfismus jedné nad druhou, řekneme, že G a H jsou Ω-izomorfní.
O skupině s operátory se říká, že je jednoduchá, pokud není redukována na neutrální prvek a nemá jinou normální stabilní podskupinu než sama a její podskupina je redukována na neutrální prvek. Abychom trvali na tom, že skupina Ω má být jednoduchá jako skupina Ω a ne nutně jako skupina , snadno řekneme, že je to Ω-jednoduchá. Pokud je Ω-skupina jednoduchá jako skupina, je to Ω-jednoduchá, ale obrácení není pravdivé.
Tyto pojmy umožňují zjevným způsobem rozšířit věty o izomorfismu na skupiny s operátory.
Jordan-Hölder věta se vztahuje na skupiny s operátory. Takto rozšířený umožňuje například dokázat, že dvě konečné báze stejného vektorového prostoru mají vždy stejný počet prvků .
Nazveme skladebnou sekvenci Ω-skupiny G jakoukoli konečnou sekvenci ( G 0 , G 1 ,…, G r ) Ω-podskupin G takovou, že
a že pro všechna i ∈ {0, 1,…, r - 1} je G i + 1 normální podskupina (a tedy Ω-normální podskupina) G i . Pojďme tedy nazvat r délku této posloupnosti. Definujeme délku Ω-skupiny G jako horní hranici (mezi kardinály, konečnými nebo nekonečnými) přirozených čísel n tak, že G připouští posloupnost přísně se snižujícího složení délky n .
Délka G je konečná právě tehdy, když G připouští sekvenci Jordan-Hölder , v takovém případě se délka G rovná délce jeho sekvence Jordan-Hölder. Jinak se délka G rovná nejmenšímu nekonečnému kardinálovi (kardinálovi množiny přirozených čísel). Jestliže G je Ω-skupinu a H Ω normální podskupina G , délka G je součet délek co-skupiny H a G / H .
Podle sdělení Garrett Birkhoffové vyvinula pojem skupina operátorů Emmy Noether a její spolupracovníci.
V publikaci z roku 1925 W. Krull definuje skupiny s operátory, ale omezuje se na skupiny s abelianskými operátory. Říká jim „zobecněné abelianské skupiny“.