Složení soupravy

Pojem posloupnosti složení je pojmem teorie grup . Umožňuje, v určitém smyslu, určit skupinu jako „složenou“ z některých jejích podskupin .

Definice

Nechť G je skupina a e její neutrální prvek . Called složení řady z G některého konečného počtu ( G 0 , G 1 , ..., G r ) podskupin G tak, že

{\ displaystyle G = G_ {0} \ supseteq G_ {1} \ supseteq \ ldots \ supseteq G_ {r} = \ {e \}}

a tím, že pro všechny I e {0, 1, ..., r - 1}, G i 1 je normální podskupina z G i .
Kvocienty G i / G i +1 se nazývají kvocienty v pořadí.

Nechť Σ 1 = ( G 0 , G 1 , ..., G r ) a Σ 2 = ( H 0 , H 1 , ..., H y ), dvě sekvence kompozitní G . Říkáme to
- Σ 2 je upřesnění Σ 1 , nebo opět, že Σ 2 je jemnější než Σ 1 , pokud je Σ 1 extrahováno z Σ 2 , tj. Pokud existují indexy 0 = j (0) < j (1)… < j ( r ) = s takový, že G i = H j ( i ) pro všechna i ∈ {1,…, r - 1}.
- Σ 1 a Σ 2 jsou ekvivalentní, pokud r = s a pokud existuje permutace σ množiny {0, 1,…, r - 1} taková, že pro všechna i v této množině bude podíl G i / G i +1 je izomorfní s kvocientem H σ ( i ) / H σ ( i ) +1 .
Nebo Σ = ( G 0 , G 1 , ..., G r ) kompozici série G . Tři následující podmínky jsou rovnocenné:
a) Σ se přísně snižuje a nepřipouští jiné přísně se snižující upřesnění než sama;
b) kvocienty Σ jsou všechny jednoduché skupiny ;
c) pro všechna i ∈ [0, r -: 1], G i 1 je maximální vyznačuje podskupina z G i (to znamená maximální prvku , vzhledem k začlenění, nastavených vhodných podskupin odlišit od G i ).
Volal po Jordan - Hölder kompoziční sérii mající ekvivalentní vlastnosti a) až c).

Poznámka: Autoři v angličtině nazývají „ sérii skladeb “, což se zde nazývá sada Jordan-Hölder.

Některá fakta

Pro jakoukoli skupinu G je sekvence ( G , { e }) složená sekvence. Jde o sekvenci Jordan-Hölder, právě když je G jednoduché.
S 3 ⊃ A 3 ⊃ { e } je Jordan-Hölderova sekvence.
Schreierova věta o zdokonalení : pro dvě kompoziční sekvence stejné skupiny vždy existuje zdokonalení první a zdokonalení druhé, které jsou ekvivalentní.
Dedukujeme, že pokud skupina připouští Jordan-Hölderovu sekvenci, jakákoli sekvence přísně se snižujícího složení této skupiny připouští vylepšení, které je Jordan-Hölderovou sekvencí.
Pokud řešitelná skupina G připouští Jordan-Hölderovu sekvenci, každá kvocientová skupina této sekvence je jak jednoduchá, tak řešitelná, proto je cyklická prvního řádu a G je tedy konečná. Zejména nekonečná komutativní skupina nepřipouští sekvenci Jordan-Hölder.
Jakákoli konečná skupina připouští sekvenci Jordan-Hölder.
Jordan-Hölderova věta : dvě Jordan-Hölderovy sekvence stejné skupiny jsou vždy ekvivalentní.

Zobecnění na skupiny s operátory

Nechť G je skupina s operátory a e její neutrální prvek. Called složení řady z G některého konečného počtu ( G 0 , G 1 , ..., G r ) z podskupiny stabilní z G tak, že

{\ displaystyle G = G_ {0} \ supseteq G_ {1} \ supseteq \ ldots \ supseteq G_ {r} = \ {e \}}

a že pro všechna i ∈ {0, 1,…, r - 1} je G i +1 normální podskupinou G i .
Kvocienty G i / G i +1 se nazývají kvocienty v pořadí.

Hlavní sekvenční skupiny lze považovat za Jordan držitele sekvence určité skupiny obsluhy.

Poznámky a odkazy

Definice odpovídá N. Bourbaki , Algebra I , Paříž, kol. "Matematické prvky",1970, ch. I, § 4, č. 7, def. 9, s. 39, nebo J. Calais , Elements of group theory , Paris,1984, str. 225, Nebo S. Lang, Algebra , 3 th revidované vydání, Paříž, 2004, s. 19.
Definice odpovídá Bourbaki, op. cit. , ch. I, § 4, č. 7, def. 9, s. 39-40.
Nominální hodnota podle Calais 1984 , s. 226.
označení v souladu s Bourbaki, op. cit. , str. I.40.
(in) DJS Robinson (de) , Kurz v teorii skupin , Springer,1996, 2 nd ed. ( číst online ) , s. 64, nazývané „izomorfní“.
Nezaměňujte s pojmem maximální podskupiny skupiny .
Definice odpovídá Bourbaki, op. cit. , ch. I, § 4, č. 7, def. 10, s. 41.
Viz například Robinson 1996 , str. 65.
Viz například Bourbaki, op. cit. , str. I.41-42.
Bourbaki, op. cit. , str. I.42.
Definice odpovídá Bourbaki, op. cit. , ch. I, § 4, č. 7, def. 9, s. 39.

Podívejte se také

Řetězové podskupiny (v)