V matematice , je primární ideál teorém garantuje existenci určitých typů podskupin vede k algebře . Typickým příkladem je primární ideál teorém v Booleovy algebry , který říká, že každý ideál z Booleovy algebry je obsažena v primárního ideálu . Varianta tohoto tvrzení pro filtry na sadách je známá jako ultrafilterová věta . Další věty jsou získány zvážením různých matematických struktur s příslušnými představami ideálu, například prstenů a jejich hlavních ideálů (v teorii prstenů) nebo distribučních mřížek a jejich maximálních ideálů (v teorii pořadí ). Tento článek se zaměřuje na teorém primární idey v teorii řádu .
Ačkoli se různé věty o ideálních ideálech mohou zdát jednoduché a intuitivní, nelze je obecně odvodit z axiomů Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu volby (zkráceně ZF). Místo toho se některá tvrzení ukazují jako ekvivalentní k axiomu výběru (AC), zatímco jiná - například hlavní ideální věta v booleovské algebře - představuje přísně slabší vlastnost než AC. Díky tomuto přechodnému stavu mezi ZF a ZF + AC (ZFC) je hlavní ideální věta v booleovské algebře často brána jako axiom teorie množin. Zkratky BPI nebo PIT (pro booleovské algebry) se někdy používají k označení tohoto dalšího axiomu.
Ideální z uspořádaná množina je nařízeno (neprázdný) část filtrování stabilní spodní hranicí . V případě, v částečně uspořádané soustavě jakýkoli pár { x , y } má supremem x ∨ y , stejně jako částečně uspořádaných množin v tomto dokumentu, pak se vyznačuje tím, stejně jako nonempty I stabilní od dolní mez , ale i binární supremu (tj. x , y v I znamená x ∨ y v I ). Ideál I je prvočíslo, pokud je jeho doplňkem ve smyslu teorie množin v částečně uspořádané množině filtr . Ideál se říká, že je správný, pokud se nerovná množině částečně uspořádané množiny.
Historicky, první zmínka o tom, co by se stalo Prime Ideal Theorems, ve skutečnosti odkazovala na filtry - podmnožiny, které jsou ideály opačného řádu . Věta o ultrafiltru uvádí, že každý filtr v sadě je obsažen v určitém maximálním (čistém) filtru - ultrafiltru . Měli byste vědět, že filtry v sadě jsou správnými filtry booleovské algebry jejích částí . V tomto konkrétním případě se maximální filtry (tj. Filtry, které nejsou přísnými podmnožinami správného filtru) shodují s hlavními filtry (tj. Filtry, které vždy, když obsahují spojení dvou podmnožin X a Y , také obsahují X nebo Y ). Dvojník tohoto tvrzení tak zajišťuje, že jakýkoli ideál množiny částí množiny je obsažen v primárním ideálu.
Výše uvedené tvrzení vedlo k různým zobecněným primárním ideálním větám, z nichž každá existuje buď ve slabé formě, nebo ve silné formě. Mezi slabé první věty ideálních uvádí, že všechny algebry netriviální určité třídy mají alespoň jedno prvočíslo. Na druhou stranu, silné věty primárního ideálního stavu, že jakýkoli disjunktní ideál daného filtru lze rozšířit na primární ideál, který je od tohoto filtru vždy disjunktní. V případě algeber, které nejsou částečně uspořádanými množinami, používáme místo filtrů různé podstruktury. Mnoho forem těchto vět je skutečně rozpoznáno jako ekvivalentní, takže tvrzení, že „PIT“ je pravdivé, se obecně považuje za tvrzení, že odpovídající výrok pro booleovské algebry (BPI) je platný.
Další variace podobných vět je získána tím, že nahradí každý výskyt nultý ideálu o maximální ideální . Tyto věty maximálního ideálu (MIT) korespondenti jsou často - ale ne vždy - silnější než jejich ekvivalenty PIT propuštění.
Prime Ideal Theorem v booleovské algebře je silná verze Prime Ideal Theorem pro booleovské algebry. Formální prohlášení tedy zní:
Nechť B je booleovská algebra, nechť jsem ideál a nechť F je filtr B , takže já a F jsou disjunktní . Tak jsem je obsažen v prestižní ideálu B je disjoint od F .Slabá verze věty o ideální první větě pro booleovské algebry jednoduše říká:
Každá booleovská algebra obsahuje prvotřídní ideál.Říkáme jim forwardový BPI silný a nízký BPI . Obě jsou ekvivalentní, protože silný BPI jasně znamená slabý BPI a reciproční implikaci lze získat použitím slabého BPI k nalezení prvotřídního ideálu ve správné kvocientové algebře.
Prohlášení BPI lze vyjádřit různými způsoby. Za tímto účelem si připomínáme následující větu:
Pro jakýkoli ideální I booleovské algebry B jsou následující tvrzení ekvivalentní:
Tato věta je dobře známým faktem pro booleovské algebry. Jeho duální vytváří ekvivalenci mezi primárními filtry a ultrafiltry. Všimněte si, že poslední vlastnost je ve skutečnosti sebe-duální - pouze předpoklad, že jsem ideál, dává úplnou charakteristiku. Všechny důsledky v rámci této věty lze demonstrovat v ZF.
Tedy (silná) Maximum Ideal Theorem (MIT) pro booleovské algebry je ekvivalentní s BPI:
Nechť B je booleovská algebra, nechť jsem ideál a nechť F je filtr B , takže já a F jsou disjunktní. Tak jsem je obsažen v maximální ideálu B je disjoint od F .Všimněte si, že je zapotřebí maximality „globální“, a to nejen maximality vzhledem k disjunkci přes F . Tato variace však generuje další ekvivalentní charakterizaci BPI:
Nechť B je booleovská algebra, nechť jsem ideál a nechť F je filtr B , takže já a F jsou disjunktní. Tak jsem je obsažena v ideálu B je maximální pro všechny nesouvislý ideály F .Skutečnost, že toto tvrzení je ekvivalentní BPI, lze snadno zjistit poznamenáním následující věty: Pro jakoukoli distribuční mřížku L , je-li ideál I maximální mezi všemi disjunktními ideály L pro daný filtr F , pak jsem ideálním ideálem . Důkaz tohoto tvrzení (který lze dosud realizovat v teorii množin ZF) je uveden v článku o ideálech . Protože jakákoli booleovská algebra je distribuční mřížka, ukazuje to požadovanou implikaci.
Všechna výše uvedená tvrzení jsou nyní snadno považována za ekvivalentní. Jdeme-li ještě dále, můžeme využít skutečnosti, že duální řády booleovských algeber jsou přesně booleovské algebry samy. V důsledku toho, když vezmeme dvojí ekvivalent všech předchozích tvrzení, skončíme s určitým počtem vět, které platí také pro booleovské algebry, ale kde je každý výskyt ideálu nahrazen filtrem . Je zajímavé si všimnout, že v konkrétním případě, kdy studovanou booleovskou algebrou je množina částí množiny s pořadovým zařazením , se „věta o maximálním filtru“ nazývá teorém ultrafiltru .
Stručně řečeno, pro booleovské algebry jsou slabé a silné MITs, slabé a silné PITs a ty výroky s filtry místo ideálů, všechny ekvivalentní. Víme, že všechna tato tvrzení jsou důsledky axiomu volby , označeného AC (což lze snadno dokázat pomocí Zornova lematu ), ale nelze je dokázat v ZF (teorie množin Zermelo-Fraenkel bez AC ), pokud je ZF konzistentní . BPI je však striktně slabší než axiom výběru, což je důkaz této věty, protože JD Halpern a Azriel Lévy však nejsou triviální .
Prototypové vlastnosti, které byly diskutovány pro booleovské algebry ve výše uvedené části, lze snadno upravit tak, aby zahrnovaly obecnější svazy , jako jsou distribuční svazy nebo Heytingovy algebry . V těchto případech se však maximální ideály liší od hlavních ideálů a vztah mezi PIT a MIT není zřejmý.
Ve skutečnosti se ukazuje, že MIT pro distribuční mřížky a dokonce i pro Heytingovy algebry jsou ekvivalentní axiomu volby. Na druhou stranu je známo, že silný PIT pro distribuční mřížky je ekvivalentní BPI (tj. MIT a PIT pro booleovské algebry). Proto je skutečnost, že toto tvrzení je přísně slabší než axiom výběru. Kromě toho pozorujeme, že Heytingovy algebry nejsou sebe-duální, a proto použití filtrů místo ideálů dává v tomto rámci různé věty. Možná překvapivě není MIT pro duály Heytingových algeber silnější než BPI, což kontrastuje s MIT výše pro Heytingovy algebry.
Konečně, primární věty o ideálu existují také pro jiné abstraktní algebry (ne v teorii pořadí). Například MIT pro prsteny zahrnuje axiom výběru. Tato situace vyžaduje nahrazení termínu „filtr“ (patřícího do teorie řádu) jinými koncepty - pro prsteny je vhodná „multiplikativně uzavřená podmnožina“.
Filtr na scéně X je neprázdný sbírka neprázdných podmnožin X, která je stabilní konečnými křižovatkách a supersetů. Ultrafilter je maximální filtr. Věta Ultrafiltr stanoví, že každý filtr na scéně X je podmnožinou ultrafiltru na X . Toto lemma se nejčastěji používá v topologické práci . Ultrafiltr, který neobsahuje konečné sady, se říká, že není hlavní . Věta o ultrafiltru, a zejména existence ne-hlavních ultrafiltrů (uvažujme filtr všech společně dokončených částí ), snadno vyplývá ze Zornova lemmatu .
Věta ultrafiltru je ekvivalentní teorému primární ideály v booleovské algebře. Tato ekvivalence je prokazatelná v teorii množin ZF bez axiomu volby. Myšlenka za důkazem je, že podmnožiny libovolné množiny tvoří částečně zahrnutou objednanou booleovskou algebru a celá booleovská algebra je reprezentovatelná jako řadová algebra podle Stoneovy věty o reprezentaci .
Intuitivně hlavní věta o ideálu v booleovské algebře říká, že v booleovské algebře je „dost“ prime ideálů v tom smyslu, že každý ideál lze rozšířit na maximální ideál. Jedná se o praktický význam, aby prokázal reprezentační teorém kamenem pro booleovské algebry , zvláštní případ Stona duality, ve kterém jsme Darovat množinu všech primárních ideálů s určitou topologii a lze skutečně najít původní booleovské algebry (s výjimkou pro izomorfismus ) z těchto údajů. Kromě toho se ukazuje, že si člověk může svobodně zvolit práci s prvočísly nebo s primárními filtry, protože každý ideál určuje pouze jeden filtr: množinu všech booleovských algeber doplňujících její prvky. Oba přístupy lze nalézt v literatuře.
Mnoho dalších obecných topologických teorémů, které jsou často označovány jako založené na axiomu výběru, jsou ve skutečnosti ekvivalentní BPI. Například věta, která říká, že produkt kompaktních Hausdorffových prostorů je kompaktní, je ekvivalentní. Ponecháme-li stranou „Hausdorff“, najdeme větu ekvivalentní s celým axiomem volby.
Málo známou aplikací věty o ideálním ideálu v booleovské algebře je existence non -Lebesgueově měřitelné množiny (obecně uváděný příklad je množina Vitali , která vyžaduje axiom volby). Z toho a ze skutečnosti, že BPI je přísně slabší než axiom volby, vyplývá, že existence neměřitelných množin je přísně slabší než axiom volby.
V lineární algebře lze použít ideální teorém v booleovské algebře k prokázání, že základy stejného vektorového prostoru mají stejnou mohutnost .
Seznam témat souvisejících s booleovskou algebrou