Tietzeova věta o prodloužení

V matematice je věta o rozšíření Tietze také nazývaná Tietze-Urysohn je výsledkem topologie . Tato věta znamená, že spojitá funkce se reálné hodnoty definovaná na uzavřeném jedné části normálního topologického prostoru prochází kontinuálně na všech prostor. Věta proto platí zejména pro metrické nebo kompaktní prostory . Tento výsledek zobecňuje Urysohnovo lemma .

Tato věta má mnoho využití v algebraické topologii . Umožňuje například dokázat Jordanovu větu , což naznačuje, že prostá krajka rozděluje prostor na dvě spojené komponenty .

První verze věty je dílem matematika Heinricha Tietzeho ( 1880 - 1964 ) pro metrické prostory a zobecnil jej Pavel Urysohn ( 1898 - 1924 ) do normálních prostorů.

Prohlášení

Věta - Nechť X je samostatný topologický prostor , následující tři výroky jsou ekvivalentní:

(i) X je normální prostor; (ii) pro každou uzavřenou A z X a jakékoli kontinuální satelitní f části A v prostoru ℝ reálných čísel , existuje kontinuální mapa z X, na který se rozprostírá ℝ f , to znamená jehož omezení na A je rovna f ; (iii) pro každou uzavřenou A z X a jakékoli kontinuální satelitní f části A v reálném segmentu [- M , M ], existuje spojité mapu z X v [- M , M ], která se rozprostírá f .

V bodě (ii) může být prostor ℝ zřejmě nahrazen jakýmkoli homeomorfním prostorem , jako je otevřený neprázdný interval ] - M , M [. Podobně v bodě (iii) lze [- M , M ] nahradit jakýmkoli skutečným segmentem, jako je segment [0, 1].

V průběhu dokazování uvidíme, že hypotéza oddělení je ve skutečnosti k ničemu. Prostor se říká, že normální, jestliže to je jak T 4 a odděleny, ale podle do Urysohn lemma , vesmírné X (oddělené nebo ne) splňuje T 4 tehdy a jen tehdy, pokud pro každou uzavřenou disjunktních F a G z X , je spojitou funkcí X v [0, 1], která je jedním z F a 0 z G . Dedukujeme ekvivalence: (ii) ⇔ (iii) ⇔ T 4 .

Demonstrace

(iii) ⇒ T 4 : stačí použít (iii) je funkce f o A = F ⋃ G [0, 1], která je jedním z F a 0 z G .
(iii) ⇒ (ii) následuje: pokud f z A do] - M , M [má spojité pokračování g z X do [- M , M ], má také jedno z X do] - M , M [, o zvýšení g spojitou funkcí X v [0,1], které je 1 až a který je nulový v místech, kde g je H nebo - M .
Konverzace (ii) ⇒ (iii) je okamžitá: má-li f z A v [- M , M ] spojité prodloužení g z X v ℝ, má také jedno z X v [- M , M ], získané „ Hoblování „ g , tj. Nahrazením M (resp. - M ) všech g ( x )> M (resp. <- M ).

Zbývá dokázat, že T 4 ⇒ (iii). K tomu používáme lema:

Pokud X je prostor, T 4 a pak, pro všechny průběžné satelitní $f$ u uzavřeného A z X, a s hodnotami v [- M , M ], existuje spojité funkce g 1 o X v [- M / 3, M / 3] jako např ${\ displaystyle \ forall x \ v A \ quad | f (x) -g_ {1} (x) | \ leq {\ frac {2M} {3}}.}$ Ve skutečnosti, ať A - a A + je vzájemná snímky podle f o [- M , - M / 3] a [ M / 3, M ]: podle Urysohn lemma, existuje spojité mapa g 1 o X v [- M / 3, M / 3], která se rovná - M / 3 na A - a M / 3 na A + , proto splňuje požadované podmínky.
T 4 ⇒ (iii):
Ve skutečnosti odvodíme z lemmatu existenci posloupnosti spojitých zobrazení g k na X tak, že: $(1) \ quad \ forall x \ in A \ quad \ left | f (x) - \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} g_ {k} (x) \ right | \ leq \ left ( {\ frac 23} \ vpravo) ^ {n} M,$ ${\ displaystyle (2) \ quad \ forall x \ in X \ quad \ left | g_ {k} (x) \ right | \ leq \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ {k } M / 2.}$ Podle přírůstku (2) je řada g k normálně konvergentní, a proto rovnoměrně konvergentní . Jeho součet g je tedy spojitá mapa na X, protože jeho obecný termín je. Kromě toho | g | ≤ M . Podle horní meze (1) se omezení z g na A shoduje s $f$ .

Poznámky a odkazy

Důkaz využívající tento výsledek se navrhuje: H. Lerebours Pigeonnière Jordanova věta, topologicky Katedra matematiky Orsay
(de) B. v. Querenburg, Mengentheoretische Topologie , sv. 3, Springer,2001( ISBN 3540677909 )
(in) Mr Mandelkern, „ Krátký důkaz věty o rozšíření Tietze-Urysohn “ , Archiv der Mathematik , sv. 60, n O 4,1993, str. 364-366 ( číst online ) zmiňuje toto filiace, ale poskytuje přímý důkaz o Tietzeho extenzní větě.
(in) Eric W. Weisstein , „ Tietze's Extension Theorem “ na MathWorld

Podívejte se také

Související články

Funguje

Jean Dieudonné , Analytické prvky , t. I: Základy moderní analýzy [ detail vydání ]
Claude Tisseron, Notions de topologie , Hermann (1996) ( ISBN 2705660194 )