Normální prostor

V matematiky , je normální prostor je topologický prostor uspokojit silnější separační axiom , než je obvyklé podmínky, že je oddělený prostor . Tato definice je základem výsledků, jako je Urysohnovo lemma nebo Tietzeho věta o rozšíření . Jakýkoli měřitelný prostor je normální.

Definice

Nechť X je topologický prostor. Říkáme, že X je normální v případě, že se oddělí a v případě, že bude vyhovovat separační axiom T 4 :

pro všechny uzavřené disjunktních F a G , jsou tam dva otevřené disjunktní U a V tak, že F je zahrnuta do U a G v V .

Příklady

Jakýkoli měřitelný topologický prostor je normální.
Je to proto, že je to naprosto normální, což znamená, že je to normální a dokonce úplně normální .
Například: ℝ n s obvyklou topologií je normální.
Jakákoli zcela uspořádaná množina , opatřená topologií řádu , je (zcela) normální, protože (dědičně) kolektivně normální a dokonce monotónně normální .
Jakýkoli kompaktní prostor je normální . Obecněji řečeno, jakýkoli paracompaktní prostor je kolektivně normální.
Příkladem kompaktního prostoru, který není zcela normální, je deska Tychonoff . Tupá deska Tychonoff ve skutečnosti není normální (i když místně kompaktní ).

Vlastnosti

Základní vlastnosti

Pokud jsou dva topologické prostory homeomorfní a pokud je jeden z nich normální, je druhý také.Vlastnost být normální je ve skutečnosti, stejně jako všechny axiomy oddělení , formulována tak, aby byla neměnná homeomorfismem.
Cokoliv uzavřené z normálního prostoru je normální (pro indukovanou topologii ).Toto druhé tvrzení je také „okamžité, z poznámky, že uzavřená část uzavřeného podprostoru je také uzavřena v celém prostoru“ .

Nezbytné a dostatečné podmínky

Existuje mnoho charakterizací vlastnosti T 4 (tedy normality, když se dále ukládá prostor, který má být oddělen). Tyto charakterizace jsou původem vlastností, které dávají definici hodnotu. Citujme tři, z nichž první je pouze elementární přeformulování, ale dvě další jsou mnohem odbornější:

Topological prostor X je T 4 tehdy a jen tehdy, pokud pro každou uzavřenou F z X a libovolné otevřené O obsahující F , existuje otevřený U obsahující F tak, že adheze U je součástí O :

F \ podmnožina U \ podmnožina \ overline {U} \ podmnožina O.

Demonstrace

Nechť F uzavřený X . Data z uzavřené G disjunktních z F je ekvivalentní, průchodem komplementární k otevřené O obsahující F .

Pokud U a V jsou dva otevřené disjunktní tak, že F je součástí U a G v V , pak komplementem V je uzavřená, která obsahuje U proto U , a který je součástí O .
Naopak, pokud U je otevřená množina obsahující F , a pokud U je součástí Y , zatímco doplněk U je otevřená množina obsahující G a disjunktní od U .

Urysohn lemma : Topological prostor X je T 4 tehdy, když pro všechny disjunktních uzavřené F a G a X , existuje funkce i nadále , což je 0 na F a 1 G .
Tietzeova věta o rozšíření : Pro topologický prostor X jsou následující tři výroky ekvivalentní:
- X je T 4 ;
- pro jakoukoli uzavřenou F z X a jakoukoli spojitou mapu f z F do ℝ existuje spojitá mapa od X do ℝ, která sahá f ;
- pro každou uzavřenou F z X a jakékoli kontinuální satelitní f části F v reálném segmentu [- M , M ], existuje spojité mapu X v [- M , M ], která se rozprostírá f .
Prostor X je T 4 (je-li a) pouze tehdy, pokud některý otevřený místně konečný povlak z X má rozdělení do podřízené jednotky .

Dostatečná podmínka nenormality

Lemma of Jones (de) - Aby oddělitelný prostor nebyl normální, stačí, že obsahujeuzavřený diskrétní podprostor, který má sílu kontinua .

Demonstrace

Nechť X. oddělitelný prostor, to znamená, že obsahuje dílčího spočetnou hustou D . Jakákoli spojitá mapa od X do ℝ je poté určena omezením na D , takže množina těchto map má mohutnost menší nebo rovnou | ℝ | | D | = (2 ℵ 0 ) ℵ 0 = 2 ℵ 0 .

Nechť F je diskrétní uzavřená mohutnost 2 ℵ 0 . Všechny kontinuální aplikace F v ℝ pak Cardinal 2 (2 ℵ 0 ) > 2 ℵ 0 , takže nejsou všechny trvale rozšiřitelný až X .

Podle věty o rozšíření Tietze tedy X není normální.

Tímto argumentem nejsou Sorgenfreyův plán a Mooreův plán normální.

Nenormálnost Sorgenfreyovy roviny dokazuje , že součin dvou normálních prostorů není vždy normální (viz také: Michaelova linie ).

Dějiny

Tato představa pochází od matematika Heinricha Tietzeho a pochází z roku 1923. Nicolas Bourbaki o ní upřesňuje: „Nedávná práce ukázala, že v tomto druhu otázky ( algebraická topologie ) je pojem normálního prostoru nepraktický, protože nabízí příliš mnoho možnosti „ patologie “; častěji než ne, musíme jej nahradit restriktivnějším pojmem paracompact space , který v roce 1944 zavedl J. Dieudonné . "

Poznámky a odkazy

Serge Lang , Real Analysis , Paříž, InterEditions,1977, 230 s. ( ISBN 978-2-7296-0059-4 ).
Stačí k ověření T 1 a T 4 .
F. Paulin Topologie, analýza a diferenciální počet , École Normale Supérieure (2008-2009), str. 36 .
Lang 1977 , s. 30.
(in) James Dugundji , Topologie , Allyn & Bacon ,1966, 447 s. ( ISBN 978-0-697-06889-7 , číst online ) , s. 145.
Lang 1977 , s. 36.
(in) F. Burton Jones (in) , „ normální a zcela volajte ohledně přírodních prostorů “ , Bull. Hořký. Matematika. Soc. , sv. 43, n o 10,1937, str. 671-677 ( číst online ).
(in) Peter J. Nyikos, „A History of the normal Moore space problem“ v CE Aull a R. Lowen, Handbook of the History of General Topology , sv. 3, Springer ,2001( ISBN 978-0-79236970-7 , Model: GoogleBooks ) , s. 1179-1212 : str. 1183 .
Nicolas Bourbaki , Základy dějin matematiky [ detail vydání ], vyd. 2006, s. 205-206 nebo N. Bourbaki , Prvky matematiky, kniha III: Obecná topologie [ detail vydání ], str. IX.128 .

Podívejte se také

Související články

Space Dowker (en)
Mooreův prostor (topologie)
Conjectures Morita (cs)
Vložení věty Kat ¥ tov Tong (en)
Věta Phragmén-Brouwer (en)

Práce

(en) Michael Henle, A Combinatorial Introduction to Topology , Dover Publications,1994, 310 s. ( ISBN 978-0-486-67966-2 , číst online )

Externí odkaz

(en) PS Aleksandrov , „Normální prostor“ , Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online )