V komutativní algebře a algebraické geometrii se teorie eliminace zabývá algoritmickým přístupem k eliminaci proměnných mezi polynomy . Lineární případ je nyní běžně léčen Gaussovou eliminací , účinnější než Cramerova metoda . Podobně jsou eliminační algoritmy založeny na Gröbnerových základních výpočtech , zatímco existují staré publikace o různých typech „eliminátorů“, jako je výslednice k nalezení společných kořenů dvou polynomů, diskriminační atd. Diskriminační se objevuje zejména v teorii invariants a je často konstruován jako invariant algebraické křivky nebo homogenního polynomu . Zatímco diskriminátor je zvláštním případem výslednice, jeho konstrukce a význam se mohou lišit. Gelfand a jeho spoluautoři vyvinuli moderní a systematickou verzi diskriminační teorie . Některé systematické metody mají homologický obsah, který lze učinit explicitní, jako v Hilbertově větě o syzygiích . Tato doména je přinejmenším stejně stará jako Bézoutova věta .
Historický vývoj komutativní algebry, který se původně nazýval teorií ideálů , je úzce spjat s pojmy teorie eliminace: z myšlenek Kroneckera , který o tomto tématu napsal hlavní článek, byly adaptovány Hilbertem a „linearizovány“, ale zpočátku se ztrátou explicitního konstruktivního obsahu. Proces trval několik desetiletí: práce Macaulaye , po kterém byly pojmenovány prsteny Cohen-Macaulay , byla motivována eliminací.
Teorie eliminace má také logický obsah , který se objevuje v SAT problému , což vyvolává otázky algoritmické složitosti . Eliminace existenčních kvantifikátorů je možné v určitých případech, jako je například to algebraicky uzavřených polí . Geometrický Důsledkem je, že pokud X je algebraický potrubí přes algebraicky uzavřené pole K a Y Zariski uzavřený z produktu X o projektivní prostoru nad k , potom výstupek X 0 z Y do X je uzavřený jeden a obecněji , pro jakékoli celé číslo e je množina X e bodů X, nad kterými je vlákno v Y dimenze větší nebo rovné e, uzavřená. Zdá se, že historie ukazuje, že tato skutečnost ovlivnila Hilbertovo myšlení o perspektivách v teorii důkazů .