Eulerova věta (zakřivení povrchů)

V diferenciální geometrii , Eulerova věta týkající se poloměry zakřivení z křivky nakreslené na dvakrát diferencovatelné povrchu S poskytuje hodnotu zakřivení křivek tohoto povrchu procházejícím stejného bodu M, ve formě:

{\ displaystyle \ kappa _ {X} = \ kappa _ {1} \ cos ^ {2} (\ theta) + \ kappa _ {2} \ sin ^ {2} (\ theta)}

nebo:

${\ displaystyle \ kappa _ {X}}$ je normální zakřivení křivky nakreslené na ploše S a připouštějící X jako tečný vektor v bodě M. Je to také zakřivení křivky získané jako průsečík plochy S s rovinou kolmou k tečné rovině v M V S a obsahující vektor X;
${\ displaystyle \ kappa _ {1}}$ a jsou hlavní zakřivení povrchu v uvažovaném bodě; $\ kappa_2$
$\ theta$ je úhel mezi hlavním směrem zakřivení a vektorem X. ${\ displaystyle \ kappa _ {1}}$

Normální zakřivení křivek procházejících bodem M povrchu tedy představuje dva konkrétní směry (získané ve výše uvedeném zápisu pro a ). Tyto dva směry se nazývají hlavní směry zakřivení . Jsou navzájem kolmé (viz obrázek). ${\ displaystyle \ theta = 0}$ ${\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}$

Jinými slovy, pokud předpokládáme, že normální rovina rotuje kolem vektoru kolmého k povrchu v uvažovaném bodě, zakřivení křivek, jejichž část je takto definována, prochází maximem a minimem. Roviny odpovídající tomuto maximu a tomuto minimu jsou kolmé. Znalost zakřivení odpovídajících sekcí umožňuje velmi snadno vypočítat zakřivení kterékoli sekce díky Eulerově teorému.

Když jsou dvě hlavní zakřivení nenulová a mají stejné znaménko, říká se, že bod povrchu je eliptický .
Když jsou nenulové a mají protilehlé příslušné znaky, říká se, že bod je hyperbolický .
Když je pouze jedna ze zakřivení nulová, říká se, že bod je parabolický .
Když jsou oba nulové, říká se, že bod je plochý .
Pokud jsou obě zakřivení nenulová a stejná (zejména se stejným znaménkem), uvažovaný bod se nazývá umbilicus . Všechny směry jsou pak hlavní.

Tato věta a specifická vlastnost povrchů, které popisuje, byla prokázána Eulerem v roce 1760.

Poznámky a odkazy

Poloviční součet hlavních zakřivení se nazývá střední zakřivení . Produkt hlavních zakřivení se nazývá Gaussovo zakřivení . ${\ displaystyle (\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}) / 2}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {1} \ kappa _ {2}}$
Hlavní směry se obecně mění s bodem povrchu. Když je povrch dostatečně pravidelný, jsou těmito hlavními směry obálky dvou sérií křivek, které se nazývají linie zakřivení povrchu. Tyto dvě řady čar jsou navzájem kolmé ve všech pravidelných bodech, s výjimkou pupku (body Darboux).

(en) Euler - Výzkum zakřivení povrchů - Paměti Berlínské akademie věd (1767)

Související články