Gaussovo zakřivení

Gaussian zakřivení , někdy nazývaný také celkové zakřivení , z parametrizované povrchu $X$ v $X ( P )$ je produkt z hlavních zakřivení . Ekvivalentně, Gaussian zakřivení je determinant z endomorfismů Weingarten .

V mechanice jsou povrchy materiálů, jejichž gaussovské zakřivení je nenulové, pevnější než povrchy, jejichž gaussovské zakřivení je nulové, přičemž všechny ostatní věci jsou stejné. Obecně řečeno, skořápky jsou tužší než desky . Ve skutečnosti deformace skořápky znamená modifikaci její metriky , což neplatí ( v prvním pořadí ) pro desku nebo obecněji pro povrch bez Gaussova zakřivení.

Klasifikace

Jeden klasifikuje body povrchu podle Gaussova zakřivení povrchu v tomto bodě.

O bodu, kde je Gaussovo zakřivení přísně kladné, se říká, že je eliptický . Jedná se o body elipsoidu , dvouvrstvého hyperboloidu nebo eliptického paraboloidu . Dvě hlavní zakřivení jsou stejného znaménka. Pokud jsou navíc stejné, jedná se o pupek . Jsou to body koule nebo dva vrcholy rotačního elipsoidu.
Bod, kde je Gaussovo zakřivení nulové, se říká, že je parabolický . Alespoň jedno z hlavních zakřivení je tam nulové. To je případ bodů válce nebo kužele , protože zakřivení podél rovnice válce procházejícího bodem je nulové. To platí také pro jakýkoli rozvinutelný povrch . Pokud jsou dvě hlavní zakřivení nula, bod je plochý . V rovině jsou všechny body ploché.
O bodě, kde je Gaussovo zakřivení přísně záporné, se říká, že je hyperbolický . V takovém bodě jsou dvě hlavní zakřivení opačného znaménka. To je případ všech bodů hyperboloidu jednoho listu nebo hyperbolického paraboloidu .

Výpočet Gaussovy křivosti

Výpočet Gaussova zakřivení může být obtížný. Zjednodušuje se to podle použité metody.

Pomocí nastavení

Předpokládejme, že oblast je dána rovnicí $z = f ( x , y )$ , kde $f$ je funkce třídy . Označme indexem proměnné, ve vztahu ke kterým se deriváty počítají. Poté má Gaussovo zakřivení v bodě parametru $($ $x$ $,$ $y$ $)$ hodnotu: ${\ mathcal {C}} ^ {2}$

{\ displaystyle K = {\ frac {f_ {xx} '' f_ {yy} '' - f_ {xy} '' ^ {2}} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y } '^ {2}) ^ {2}}}}

Demonstrace

Nebo parametrizace povrchu, považovaná za pravidelnou. Základna tečné roviny je dána dvěma vektory a . Vektor kolmý k povrchu je dán jednotkovým vektorem kolineárním s , jmenovitě: ${\ displaystyle (x, y) \ až M (x, y, z) = {\ začátek {pmatrix} x \\ y \\ f (x, y) \ konec {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné M} {\ částečné x}} = {\ začátek {pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_ {x} '\ konec {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné M} {\ částečné y}} = {\ začátek {pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_ {y} '\ konec {pmatrix}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné M} {\ částečné x}} \ klín {\ frac {\ částečné M} {\ částečné y}}}$

{\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}}}} {\ begin {pmatrix } -f_ {x} '\\ - f_ {y}' \\ 1 \ konec {pmatrix}}}

K výpočtu zakřivení použijeme skutečnost, že se rovná determinantu Weingartenova endomorfismu a že tento endomorfismus je ten, který vysílá dál a dál . Poté zkontrolujeme, zda: ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné M} {\ částečné x}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ částečné {\ vec {n}}} {\ částečné x}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné M} {\ částečné y}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ částečné {\ vec {n}}} {\ částečné y}}}$

{\ displaystyle - {\ frac {\ částečné {\ vec {n}}} {\ částečné x}} = {\ frac {1} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}) ^ {3/2}}} \ left ((f_ {xx} '' + f_ {y} '^ {2} f_ {xx}' '- f_ {x}' f_ {y} ' f_ {xy} '') {\ frac {\ částečné M} {\ částečné x}} + (f_ {xy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {xy}' '- f_ {x} 'f_ {y}' f_ {xx} '') {\ frac {\ částečné M} {\ částečné y}} \ vpravo)}

Srovnatelný výsledek získáme permutací indexů $x$ a $y$ . ${\ displaystyle - {\ frac {\ částečné {\ vec {n}}} {\ částečné y}}}$

Weingartenův endomorfismus má tedy jako matici v základně : ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ částečné M} {\ částečné x}}, - {\ frac {\ částečné M} {\ částečné y}} \ vpravo)}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}) ^ {3/2}}} {\ begin {pmatrix} f_ {xx } '' + f_ {y} '^ {2} f_ {xx}' '- f_ {x}' f_ {y} 'f_ {xy}' '& f_ {xy}' '+ f_ {y}' ^ {2} f_ {xy} '' - f_ {y} 'f_ {x}' f_ {yy} '' \\ f_ {xy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {xy}' ' - f_ {x} 'f_ {y}' f_ {xx} '& f_ {yy}' '+ f_ {x}' ^ {2} f_ {yy} '' - f_ {x} 'f_ {y} 'f_ {xy}' '\ end {pmatrix}}}

Determinant této matice po zjednodušení dává oznámený vzorec.

Použití základních tvarů

Nechť je povrch parametrizovaný pomocí dvou parametrů $u$ a $v$ a nechť $I = E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2$ je první základní forma , $II = L d u 2 + 2 M d u d V + N d V 2$ druhá základní forma . Pak má Gaussovo zakřivení hodnotu:

{\ displaystyle K = {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}

Demonstrace

To znamená parametrizaci povrchu, která má být pravidelná. Základ tečné roviny je dán pomocí a . Dovolit a být dvěma vektory tečné roviny v bodě povrchu a nechat X a Y být složkami těchto dvou vektorů v předchozí základně. První základní forma dává v této bázi výraz skalárního součinu dvou vektorů: ${\ displaystyle (u, v) \ na M (u, v)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné M} {du}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné M} {dv}}}$ $\ vec {x}$ ${\ vec {y}}$

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, {\ vec {y}} \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

Druhou základní formou je kvadratická forma spojená se symetrickým endomorfismem Weingartena $W$ , jehož dvě vlastní čísla jsou hlavními zakřiveními povrchu v uvažovaném bodě.

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, W ({\ vec {y}}) \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y }

V důsledku toho, pokud je vlastní vektor Weingartenova endomorfismu s vlastní hodnotou $λ$ , máme pro všechny : ${\ vec {y}}$ $\ vec {x}$

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, W ({\ vec {y}}) \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y = \ lambda \ langle {\ vec {x}}, {\ vec {y}} \ rangle = \ lambda {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

Tento vztah platí pro všechno , proto máme: $\ vec {x}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y = \ lambda {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

a proto je matice nevratná, protože připouští nenulový sloupec $Y$ jako prvek svého jádra. Jeho determinant dává rovnici ověřenou hlavními křivkami, jmenovitě: ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} - \ lambda {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} L- \ lambda E&M - \ lambda F \\ M- \ lambda F & N- \ lambda G \ end {pmatrix}}}$

{\ displaystyle (EG-F ^ {2}) \ lambda ^ {2} - (EN + GL-2MF) \ lambda + LN-M ^ {2} = 0}

Dostaneme součin dvou kořenů, což není nic jiného než požadované Gaussovo zakřivení. ${\ displaystyle {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}$

Výpočet vnitřní křivosti

Předchozí vzorce používají skutečnost, že povrch je zahrnut v prostoru dimenze 3. Gaussovo zakřivení je však vnitřní vlastností povrchu a závisí pouze na lokální metrice povrchu (jinými slovy na první základní formě) ). Tento výsledek je známý pod názvem Theorema egregium a je například ilustrován vzorcem Gauss-Bonnet . Je proto možné určit zakřivení pouze z místní metriky, čímž se otevírá cesta k obecnějšímu výpočtu zakřivení na Riemannovských varietách .

Riemannovy normální souřadnice

Používáme kartézské souřadnice tam, kde jsme na Zemi. Jinde musíme použít souřadnice, které byly otočeny jako funkce zeměpisné šířky a délky. Proto se Riemannovy kontaktní údaje označují jako místní. Riemannovy souřadnice jsou prakticky karteziánské souřadnice v rovině tečné k Zemi a obecněji k zakřivenému povrchu nebo prostoru.

V Gaussových souřadnicích (jsou tradičně používány $μ$ a $ν$ místo $x$ a $y$ ) je metrika zapsána:

{\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{xx}} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2g _ {{xy}} \, {\ mathrm d} x {\ mathrm d } y + g _ {{yy}} {\ mathrm d} y ^ {2}

Chcete-li přepnout na Riemannovy souřadnice, musíme diagonalizovat reprezentativní matici metriky a poté změnit měřítka souřadnicových os, abychom získali euklidovskou metriku:

{\ mathrm d} s ^ {2} = {\ mathrm d} x ^ {2} + {\ mathrm d} y ^ {2} \,

Gaussovo zakřivení, které je součinem hlavních zakřivení $k x$ a $k y$ a zakřivení rovinné křivky je druhou derivací souřadnice $z$ vzhledem k úsečce $x$ nebo $y$ , máme:

K = k _ {{x}} k _ {{y}} = {\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné x ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} z } {\ částečné y ^ {2}}}

Gaussovo zakřivení v Riemannových souřadnicích

Uvažujme povrch v bodě $O$ , počátku souřadnic, a tečnou rovinu na povrchu $O$ . Osy se volí tak, aby $Oz$ byl kolmý k tečné rovině a osy $Ox$ a $Oy$ v tečné rovině se shodovaly s hlavními směry povrchu. V sousedství $O$ jsou souřadnice $x$ a $y$ v tečné rovině velmi blízké Gaussovým souřadnicím $u$ a $v$ na zakřivené ploše, takže použijeme pouze kartézské souřadnice $x$ a $y$ v tečné rovině a $z$ , porovnání rozměrů k tečné rovině. Uvažujme zakřivenou plochu s rovnicí $z = z ( x , y )$ a předpokládejme, že je zapsána místní metrika:

{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = g_ {xx} \, \ mathrm {d} x ^ {2} + g_ {yy} \ mathrm {d} y ^ {2}}

Potom je Gaussova křivka vyjádřena jako funkce druhé derivace koeficientů této metriky ve tvaru:

{\ displaystyle K = - {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné ^ {2} g_ {xx}} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} g_ {yy}} {\ částečné x ^ {2}}} \ pravé) = - {\ frac {1} {2}} \ levé (g_ {xx, yy} + g_ {yy, xx } \ že jo)}

kde čárka označuje částečnou derivaci, která umožňuje lepší čitelnost rovnic. Gaussovo zakřivení, které má pro dimenzi inverzní mocninu délky, se v normálních Riemannových souřadnicích stává velmi jednoduché aproximací povrchu paraboloidem, jehož osy symetrie se shodují s hlavními směry metriky. To se potom rovná Riemannovu tenzoru $R xyxy$ povrchu.

Demonstrace

Diferenciál funkce $z$ je:

{\ displaystyle dz = {\ frac {\ částečné z} {\ částečné x}} dx + {\ frac {\ částečné z} {\ částečné y}} dy}

Metrika trojrozměrného euklidovského prostoru je

{\ mathrm d} s ^ {2} = {\ mathrm d} x ^ {2} + {\ mathrm d} y ^ {2} \ + {\ mathrm d} z ^ {2} \,

Nahrazením $d z$ jeho výrazem výše se metrika stane

{\ mathrm d} s ^ {2} = \ vlevo [1+ \ vlevo ({\ frac {\ částečné z} {\ částečné x}} \ vpravo) ^ {2} \ vpravo] \, {\ mathrm d} x ^ {2} +2 {\ frac {\ částečný z} {\ částečný x}} {\ frac {\ částečný z} {\ částečný y}} {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + \ left [1+ \ left ({\ frac {\ partial z} {\ částečné y}} \ right) ^ {2} \ right] \, {\ mathrm d} y ^ {2}

Obecný vzorec pro metriku plochy je:

{\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{xx}} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2g _ {{xy}} \, {\ mathrm d} x {\ mathrm d } y + g _ {{yy}} {\ mathrm d} y ^ {2}

kde koeficienty $g ij$ metriky jsou bezrozměrná čísla. Navíc v tomto případě $g xy = 0$ . Vypočítáme druhé derivace $g xx$ a $g yy$ , respektive vzhledem k $y$ a $x$ :

{\ frac 12} {\ frac {\ částečné ^ {2} g _ {{xx}}} {\ částečné y ^ {2}}} = {\ frac 12} {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné y ^ {2}}} \ levé ({\ frac {\ částečné z} {\ částečné x}} \ pravé) ^ {2} = \ levé ({\ frac {\ částečné ^ {2} z}) {\ částečné x \ částečné y}} \ pravé) ^ {2} + {\ frac {\ částečné z} {\ částečné x}} {\ frac {\ částečné ^ {3} z} {\ částečné x \ částečné y ^ {2}}}

{\ frac 12} {\ frac {\ částečné ^ {2} g _ {{yy}}} {\ částečné x ^ {2}}} = {\ frac 12} {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné x ^ {2}}} \ levé ({\ frac {\ částečné z} {\ částečné y}} \ pravé) ^ {2} = \ levé ({\ frac {\ částečné ^ {2} z}) {\ částečné x \ částečné y}} \ pravé) ^ {2} + {\ frac {\ částečné z} {\ částečné y}} {\ frac {\ částečné ^ {3} z} {\ částečné y \ částečné x ^ {2}}}

Přidejme tyto dvě rovnice:

{\ frac 12} {\ frac {\ částečné ^ {2} g _ {{xx}}} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac 12} {\ frac {\ částečné ^ {2} g_ {{yy}}} {\ částečné x ^ {2}}} = \ vlevo ({\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné x \ částečné y}} \ vpravo) ^ {2} + \ vlevo [{\ frac {\ částečné z} {\ částečné x}} {\ frac {\ částečné ^ {3} z} {\ částečné x \ částečné y ^ {2}}} + \ vlevo ({\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné x \ částečné y}} \ pravé) ^ {2} + {\ frac {\ částečné z} {\ částečné y}} {\ frac {\ částečné ^ {3} z} {\ částečné y \ částečné x ^ {2}}} \ vpravo]

Nyní pojďme rozlišit $g xy = 0$ , protože metrika je diagonální podle předpokladu:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ částečné ^ {2} g_ {xy}} {\ částečné x \ částečné y}} = {\ frac {\ částečné ^ {2}} { \ částečné x \ částečné y}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné z} {\ částečné x}} {\ frac {\ částečné z} {\ částečné y}} \ pravé) = {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \ levé ({\ frac {\ částečné z} {\ částečné x}} {\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné x \ částečné y}} \ pravé) + {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné x ^ {2}}} {\ frac {\ částečné z} {\ částečné y}} \ right) = 0}

což dává rovnici:

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné x ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné y ^ {2}}} = - \ vlevo [\ vlevo ({\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné x \ částečné y}} \ pravé) ^ {2} + {\ frac {\ částečné z} {\ částečné x}} {\ frac {\ částečné ^ {3} z} {\ částečné y ^ {2} \ částečné x}} + {\ frac {\ částečné z} {\ částečné y}} {\ frac {\ částečné ^ {3} z} {\ částečné x ^ {2} \ částečné y}} \ pravé]}

Pravou stranu tohoto výrazu v závorkách, shodnou s předchozím výrazem v závorkách, lze proto nahradit. Odkud

{\ frac 12} {\ frac {\ částečné ^ {2} g _ {{xx}}} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac 12} {\ frac {\ částečné ^ {2} g_ {{yy}}} {\ částečné x ^ {2}}} = \ vlevo ({\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné x \ částečné y}} \ vpravo) ^ {2} - { \ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné x ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné y ^ {2}}}

V tomto vzorci existují pouze druhé derivace koeficientů metriky a $z$ vzhledem k $x$ a $y$ , v souladu s předpokladem Riemannových souřadnic. Přibližme si v uvažovaném bodě povrch paraboloidem hlavních křivek $k x$ a $k y,$ jehož hlavní roviny se shodují s hlavami zakřivené plochy:

z = {\ frac 12} \ left (k _ {{x}} x ^ {2} + k _ {{y}} y ^ {2} \ right)

Protože v tomto výrazu není žádný obdélníkový výraz, máme

{\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné x \ částečné y}} = 0

Koeficienty $k x$ a $k y$ jsou druhé derivace $z$ vzhledem k $x$ a $y,$ a tedy zakřivení paraboly, průsečíky paraboloidu s jeho hlavními rovinami. Protože součin $K = k x k {ind$

hlavních zakřivení je podle definice Gaussova zakřivení, můžeme napsat:

{\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné x ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} z} {\ částečné y ^ {2}}} = k_ {x} k_ {y} = K.

Použitím dvou předchozích vztahů získá jeden zakřivení Gauss v souřadnicích Riemanna:

K = - {\ frac 12} \ vlevo ({\ frac {\ částečné ^ {2} g _ {{xx}}} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} g_ {{yy}}} {\ částečné x ^ {2}}} \ pravé) = - {\ frac 12} \ levé (g _ {{xx, yy}} + g _ {{yy, xx}} \ že jo)

Gaussovo zakřivení v Gaussových souřadnicích

Složitý výpočet si vystačíme s uvedením několika praktických vzorců. První odpovídá diagonální metrice : ${\ displaystyle g_ {uu} \, \ mathrm {d} u ^ {2} + g_ {vv} \ mathrm {d} v ^ {2}}$

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {g_ {uu} g_ {vv}}} \ left [- {\ frac {1} {2}} \ left (g_ {uu, vv} + g_ {vv, uu} \ right) + {\ frac {g_ {uu, v} ^ {2}} {4g_ {uu}}} + {\ frac {g_ {vv, u} ^ {2}} {4g_ {vv}} } + {\ frac {g_ {uu, u} g_ {vv, u}} {4g_ {uu}}} + {\ frac {g_ {vv, v} g_ {uu, v}} {4g_ {vv}} } \ že jo]}

Leibnizova notace je nahrazena čárkami označujícími částečnou derivaci. Rozeznáváme první dva pojmy identické s výrazy v Riemannových souřadnicích, s výjimkou násobícího koeficientu $g uu g vv$ , odlišného od 1 v Gaussových souřadnicích.

$U$ a $v$ jsou Gaussovy souřadnice, což odpovídá například v případě koule ke kulové poloha $θ$ a $φ$ .

Brioschi vzorec dává zakřivení a Riemann tenzor $R uvuv$ v maticové formě pro diagonální metriky:

K = {\ frac {R _ {{uvuv}}} {g _ {{uu}} g _ {{vv}}}} = {\ frac {1} {g _ {{uu}} g _ {{ vv}}}} {\ begin {vmatrix} - {\ frac {g _ {{uu, vv}} + g _ {{vv, uu}}} {2}} + {\ frac {g _ {{uu , v}} ^ {2}} {4g _ {{uu}}}} + {\ frac {g _ {{vv, u}} ^ {2}} {4g _ {{vv}}}} & { \ frac {g _ {{uu, u}}} {2g _ {{uu}}}} & - {\ frac {g _ {{uu, v}}} {2g _ {{vv}}}}} \\ - {\ frac 12} g _ {{vv, u}} & 1 & \\ {\ frac 12} g _ {{vv, v}} && 1 \ end {vmatrix}}

nebo ne diagonální:

K = {\ frac 1 {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}} \ left [{\ begin {vmatrix} - {\ frac 12} E _ {{vv}} + F _ {{uv }} - {\ frac 12} G _ {{uu}} a {\ frac 12} E_ {u} & F_ {u} - {\ frac 12} E_ {v} \\ F_ {v} - {\ frac 12} G_ {u} & E & F \\ {\ frac 12} G_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} - {\ begin {vmatrix} 0 & {\ frac 12} E_ {v} & {\ frac 12} G_ {u} \\ {\ frac 12} E_ {v} & E & F \\ {\ frac 12} G_ {u} & F & G \ end {vmatrix}} \ right]

kde $E = g uu , G = g vv , F = g uv$ (Gaussova notace). Indexy představují jednoduchou nebo dvojitou parciální derivaci s ohledem na Gaussovy souřadnice $u$ a $v$ , odpovídající předchozím $x$ a $y$ .

Aplikace na sféru

Gaussovo zakřivení koule v Riemannových souřadnicích

Rovnice koule o poloměru $R$ v kartézských souřadnicích v trojrozměrném euklidovském prostoru je

x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}

Aby byla konkávnost kladná, musíme vzít záporný kořen pro $z$ :

z (x, y) = - {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}}}

Rozvíjejme to v sérii na jižním pólu, v sousedství $x = y = 0$ , tedy v Riemannově souřadnicích:

z (x, y) = - R + {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2R}}

Proto diferenciací:

{\ mathrm d} z ^ {2} = \ left ({\ frac {x \, {\ mathrm d} x + y \, {\ mathrm d} y} {R}} \ right) ^ {2} = {\ frac {x ^ {2} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2xy \, {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + y ^ {2} \, {\ mathrm d} y ^ {2}} {R ^ {2}}}

Metrika trojrozměrného euklidovského prostoru

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \, {\ mathrm d} x ^ {2} + \, {\ mathrm d} y ^ {2} \ + \, {\ mathrm d} z ^ { 2}

se stává paraboloidem revoluce přibližujícím sféru:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \ vlevo (1 + {\ frac {x ^ {2}} {R ^ {2}}} \ vpravo) \, {\ mathrm d} x ^ {2 } +2 {\ frac {xy} {R ^ {2}}} \, {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + \ left (1 + {\ frac {y ^ {2}} { R ^ {2}}} \ vpravo) \, {\ mathrm d} y ^ {2}

Blíže k jižnímu pólu, kde $x \approx y \approx 0$ , je metrika euklidovská odstraněním podmínek druhého řádu. Abychom to dostali na Riemannovy souřadnice, je nutné ji diagonalizovat. Je jednodušší použít sférické souřadnice, které poskytují úhlopříčnou metriku. Abychom byli v Riemannovych souřadnicích, diagonalizujeme metriku, která se stane:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \, {\ mathrm d} x ^ {2} + \ left [1 - {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {R ^ {2}}} \ vpravo] \, {\ mathrm d} y ^ {2}

kde $K = k x k y$ je Gaussovo zakřivení. Euklidovskou metriku najdeme v $O,$ kde $x$ a $y$ jsou nula. V tomto výrazu máme $g xx = 1, g xy = 0$ a

g _ {{yy}} = 1 - {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {R ^ {2}}}

K = - {\ frac 12} \ vlevo ({\ frac {\ částečné ^ {2} g _ {{xx}}} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} g_ {{yy}}} {\ částečné x ^ {2}}} \ pravé) = - {\ frac 12} \ levé (0 - {\ frac {2} {R ^ {2}}} \ pravé) = {\ frac {1} {R ^ {2}}}

Najdeme Gaussovo zakřivení koule, které se rovná Riemannovu tenzoru $R uvuv,$ ale pouze v Riemannových souřadnicích.

Gaussovo zakřivení koule v Gaussových souřadnicích

Vezměme si malou základní obdélník v oblasti o poloměru $R$ . Nechť $θ$ je colatitude a $ϕ$ zeměpisná délka. Jeho úhlopříčka ds je, na základě Pythagorovy věty:

{\ mathrm d} s ^ {2} = R ^ {2} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + R ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ mathrm d} \ phi ^ {2}

Metrika koule je diagonální, bez obdélníkového výrazu:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{\ theta \ theta}} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + g _ {{\ phi \ phi}} \, { \ mathrm d} \ phi ^ {2} = R ^ {2} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + R ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ mathrm d} \ phi ^ {2}

Obecný vzorec Gaussova zakřivení v Gaussových souřadnicích pro diagonální metriku:

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {g _ {\ theta \ theta} g _ {\ phi \ phi}}} \ left [- {\ frac {1} {2}} \ left (g _ { \ theta \ theta, \ phi \ phi} + g _ {\ phi \ phi, \ theta \ theta} \ right) + {\ frac {g _ {\ theta \ theta, \ phi} ^ {2}} {4g _ {\ theta \ theta}}} + {\ frac {g _ {\ phi \ phi, \ theta} ^ {2}} {4g _ {\ phi \ phi}}} + {\ frac {g _ {\ theta \ theta, \ theta} g_ {\ phi \ phi, \ theta}} {4g _ {\ theta \ theta}}} + {\ frac {g _ {\ phi \ phi, \ phi} g _ {\ theta \ theta, \ phi}} {4g _ {\ phi \ phi}}} \ vpravo]}

je zjednodušeno na kouli odstraněním nulových podmínek:

K = {\ frac {1} {g _ {{\ theta \ theta}} g _ {{\ phi \ phi}}}} \ left [- {\ frac 12} \ left (0 + g _ {{\ phi \ phi, \ theta \ theta}} \ right) +0 + {\ frac {g _ {{\ phi \ phi _ {,} \ theta}} ^ {2}} {4g _ {{\ phi \ phi }}}} + 0 + 0 \ vpravo]

poté vysvětlením koeficientů metriky:

K = {\ frac {1} {R ^ {4} \ sin ^ {2} \ theta}} \ left [- {\ frac 12} \ krát 2R ^ {2} (\ sin \ theta \ cos \ theta) _ {{, \ theta}} + {\ frac {4R ^ {4} \ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ theta} {4R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} } \ že jo]

a nakonec v:

K = {\ frac {1} {R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ left [- \ left (\ cos ^ {2} \ theta - \ sin ^ {2} \ theta \ right ) + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ theta} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right] = {\ frac {1} {R ^ {2} }}

Riemannův tenzor koule je

{\ displaystyle R _ {\ theta \ phi \ theta \ phi} = R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}

Reference

J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, kurz matematiky, t. 3, geometrie a kinematika , 2 nd ed., Dunod University (1977), str. 493, 509
(in) DJ Struik, Přednášky o klasické diferenciální geometrii , Dover, 1988.
Bernard Schaeffer, Relativities and quanta objasněn , Publibook, 2007.
J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, kurz matematiky, t. 3, geometrie a kinematika , 2 nd ed., Dunod University (1977), str. 511 .
J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, matematiky samozřejmě T.3, geometrie a kinematika , 2 nd ed., Dunod University (1977), str. 509.
(in) Kevin Brown, Úvahy o relativitě , § 5.7: Riemannova geometrie .
(in) Erwin Kreyszig , diferenciální geometrie , Dover, 1991.
Michèle Audin , Geometry , EDP Sciences ,2006, 3 e ed. , 428 s. ( ISBN 978-2-7598-0180-0 , číst online ).

Podívejte se také