Poincaré-Bertrandova věta

Poincaré-Bertrand věta se týká přeskupení podmínek pro výpočet některých nevlastní integrály . Založili ji Henri Poincaré a Gaston Bertrand a Godfrey Harold Hardy .

Státy

Nechť $Γ$ je uzavřená nebo otevřená křivka v komplexní rovině, ať $f (τ, τ ')$ je funkce definovaná na $Γ$ (obecně komplexní hodnoty) a spojitá ve smyslu Höldera s ohledem na $τ$ a $τ'$ , a nechť $Nebude$ to bod na $Γ$ kromě jednoho konce, pokud je $Γ$ otevřený

{\ displaystyle {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ tau -t}} \; \ times \; {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau, \ tau ')} {\ tau' - \ tau}} \ mathrm {d} \ tau '= - \ pi ^ {2} f (t, t ) + {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} \ mathrm {d} \ tau '\ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau, \ tau')} {(\ tau - t) (\ tau '- \ tau)}} \ mathrm {d} \ tau}

kde $vp$ je hlavní hodnota Cauchy

V konkrétním případě funkce $f (τ) v$ závislosti na jedné proměnné a definované na uzavřené křivce pak

{\ displaystyle {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ tau -t}} \; {\ text {vp}} \ int _ {\ Gamma} {\ frac {f (\ tau ')} {\ tau' - \ tau}} \ mathrm {d} \ tau '= - \ pi ^ {2} f (t)}

Tento výraz je platný pro všechna t, pokud f je spojitá ve smyslu Höldera nebo téměř pro všechna t, pokud $f \in L p , p > 1$

Reference

Henri Poincaré , Lessons in Celestial Mechanics: Theory of Tides , sv. 3, Gauthier-Villars ,1910, 253-256 str. ( číst online )
Gaston Bertrand, „ Fredholmovy základní integrální rovnice ve smyslu Cauchyho “, Proceedings of the Academy of Sciences , vol. 172,1921, str. 1458-1461 ( číst online )
Gaston Bertrand, „ Teorie přílivu a odlivu a integrální rovnice “, Scientific Annals of École normale supérieure , sv. 40,1923, str. 151-258 ( číst online )
(in) G. H. Hardy , „ The theory of Cauchy's main gains “ , Proceedings of the London Mathematical Society , sv. 7, n O 21909, str. 181–208 ( číst online )
(in) Nikolai Ivanovich Muskhelishvili, Singulární integrální rovnice: okrajové problémy funkcí Teorie a jejich aplikace v matematické fyzice , Wolters-Noordhoff ,1972( ISBN 9-0016-0700-4 )