Nesprávný integrál
V matematiky je nevlastní integrál (nebo generalizované integrální ) označuje prodloužení obvyklé integrálu , definovanou formou průchodu do limitu v integrálu. Obecně označujeme nesprávné integrály, aniž bychom je odlišovali od skutečných integrálů nebo definitivních integrálů , tedy: je klasický příklad konvergentního nesprávného integrálu, který však není definován ve smyslu obvyklých teorií integrace (ať už l integrace po částech spojitých funkce , Riemannův integrál nebo Lebesgueův ; významnou výjimkou je teorie integrace Kurzweil-Henstock ).
∫0+∞hříchttdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}
V praxi je třeba provést studii konvergence nesprávného integrálu:
- když integrujeme až nekonečnou vazbu;
- když integrujeme až do hranice, ve které funkce nepřipouští konečnou hranici;
- když jeden zahrnuje nedefinovaný bod v intervalu integrace.
V každém případě vyhodnotíme integrál definovaný jako funkce jednoho ze dvou limitů a vezmeme limit získané funkce, když argument směřuje k hodnotě limitu.
Nesprávný integrál sdílí určitý počet elementárních vlastností s určitým integrálem. Neumožňuje psát výsledky integrální limitní a integrální věty o inverzi jednotné konvergence. Na druhou stranu existuje věta o mezní integrální inverzi přizpůsobená nesprávným integrálům: je to dominantní věta o konvergenci .
Definice
Definice konvergence nesprávného integrálu
Nechť (kde a je reálné, ale b může být nekonečné ) spojitá funkce nebo obecněji lokálně integrovatelná , tj. Integrovatelná na libovolném kompaktu z [ a , b [ . Pokud je limitF:[na,b[→R{\ displaystyle f: [a, b [\ to \ mathbb {R}}
limX→b-∫naXF(t)dt{\ displaystyle \ lim _ {x \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}existuje a je konečný, nazýváme to nesprávný integrální limit f na [ a , b [ .
Stejným způsobem, to znamená lokálně integrovatelná funkce. Pokud je limit
F:]na,b]→R{\ displaystyle f: {] a, b]} \ do \ mathbb {R}}
limX→na+∫XbF(t)dt{\ displaystyle \ lim _ {x \ až a ^ {+}} \ int _ {x} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}existuje a je konečný, nazýváme to nesprávný integrální limit f on ] a , b ] .
V obou případech můžeme toto omezení zaznamenat
∫nabF(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}, a lze určit, zda je integrál nevhodný pro svorku
a nebo pro svorku
b .
Pokud limit existuje a je konečný, říkáme, že konverguje; jinak se říká, že se rozcházejí.
∫nabF(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, {\ rm {d}} t}
Poznámky
- Definici můžeme snadno zobecnit na funkce, které jsou definovány pouze na ] a , b [ (a místně integrovatelné). Říkáme to potom∫nabF(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}konverguje, když pro libovolné integrályvs.∈]na,b[{\ displaystyle c \ v {] a, b [}}∫navs.F(t)dt a ∫vs.bF(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {c} f (t) \, \ mathrm {d} t {\ text {et}} \ int _ {c} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}konvergovat. Podle Chaslesova vztahu pro integrály tato definice nezávisí na volbě c .
-
Existuje notace což umožňuje objasnit nesprávný charakter integrálu:limX→b-∫naXF(t)dt{\ displaystyle \ lim _ {x \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}lze psát∫na→bF(t)dt.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ až b} f (t) \, \ mathrm {d} t.}
- Pokud je f ve skutečnosti integrovatelné na segmentu [ a , b ] , získáme těmito definicemi stejnou hodnotu, jako kdybychom vypočítali určitý integrál f .
Definice integrovatelnosti funkce
Nechť I = ( a , b ) je skutečný interval a lokálně integrovatelná funkce. Říkáme, že f je integrovatelné přes I, pokud
F:Já→R{\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}
∫nab|F(t)|dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | f (t) | \, \ mathrm {d} t}konverguje. Potom řekneme, že integrál f na I absolutně konverguje .
Jakýkoli absolutně konvergentní integrál je konvergentní (viz § „Zvýšení“ níže ). Opak je špatně. O integrálu, který konverguje ne zcela, se říká, že je semi-konvergentní.
Techniky stanovení konvergence nesprávného integrálu
Případ pozitivních funkcí
Pokud je f (lokálně integrovatelný na [ a , b [ ) kladný, pak podle věty o monotónní konvergenci jeho integrál (nevhodný v b ) konverguje právě tehdy, když existuje skutečné M takové, že
∀X∈[na,b[∫naXF(t) dt≤M,{\ displaystyle \ forall x \ in [a, b [\ quad \ int _ {a} ^ {x} f (t) ~ \ mathrm {d} t \ leq M,}
a integrál f je pak horní mez všech těchto integrálů.
Výslovný výpočet
Někdy můžeme ukázat, že nesprávný integrál konverguje, to znamená, že limit, který zasahuje do výše uvedené definice, existuje a je konečný, explicitním výpočtem tohoto limitu poté, co byl proveden výpočet primitivu .
Příklad
Integrál konverguje právě tehdy, když je reálné
λ přísně kladné.
∫0+∞E-λtdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- \ lambda t} \, \ mathrm {d} t}
Cauchyho kritérium
Podle Cauchyho kritéria pro funkci je nesprávný integrál v b
∫nabF(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}konverguje právě tehdy, když:∀ε>0∃vs.∈[na,b[∀X,y∈[vs.,b[|∫XyF(t)dt|≤ε.{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ existuje c \ in [a, b [\ quad \ forall x, y \ in [c, b [\ quad \ left | \ int _ {x} ^ {y} f (t) \, \ mathrm {d} t \ doprava | \ leq \ varepsilon.}
Přirážka
Podle výše uvedeného Cauchyho kritéria tak, že jde o nesprávný integrál
∫nabF(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}konverguje, stačí, že existuje funkce g ≥ | f | včetně integrálu
∫nabG(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (t) \, \ mathrm {d} t}konverguje.
Uvažujeme dva nesprávné integrály v b ,
∫nabF(t)dt a ∫nabG(t)dt.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t {\ text {et}} \ int _ {a} ^ {b} g (t) \, \ mathrm {d} t.}Pokud, když t → b , (zejména pokud ) ag má konstantní znaménko , pak: je-li integrál
F(t)=Ó(G(t)){\ displaystyle f (t) = O (g (t))}F(t)=Ó(G(t)){\ displaystyle f (t) = o (g (t))}
∫nabG(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (t) \, \ mathrm {d} t}je konvergentní, integrální
∫nabF(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t}je také (podle § „Zvýšení“ ).
Poznámka
Podmínka „stálého znaménka“ je zásadní. Například :
∫0+∞hříchttdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin t} {\ sqrt {t}}} \, \ mathrm {d} t}
konverguje , ale
∫0+∞|hřícht|tdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {| \ sin t |} {t}} \, \ mathrm {d} t}
odchyluje se , i když v
+ ∞ ,
|hřícht|t=Ó(hříchtt).{\ displaystyle {\ frac {| \ sin t |} {t}} = o \ left ({\ frac {\ sin t} {\ sqrt {t}}} \ right).}
Rovnocennost
Se stejnými zápisy jako v předchozím odstavci, jsou-li f a g ekvivalentní bodu b a konstantního znaménka , pak mají jejich integrály stejnou povahu, protože f = O ( g ) a g = O ( f ) .
Příklad
Vzhledem k tomu,
sin ( S ) - y je
ekvivalentní 0 + na
- s 3 /6 <0 ,
∫1+∞tλ(hřích(1t)-1t)dt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} t ^ {\ lambda} \ left (\ sin \ left ({\ tfrac {1} {t}} \ right) - {\ tfrac {1} { t}} \ vpravo) \, \ mathrm {d} t}konverguje právě tehdy, když
λ <2 .
Poznámka
Podmínka „konstantního znaménka“ je opět zásadní (jako v
analogickém kritériu pro řadu ). Například,
hříchtt+|hřícht|t a hříchtt{\ displaystyle {\ frac {\ sin t} {\ sqrt {t}}} + {\ frac {| \ sin t |} {t}} {\ text {et}} {\ frac {\ sin t} { \ sqrt {t}}}}
jsou ekvivalentní v
+ ∞, ale jejich integrály nejsou stejné povahy, podle poznámky předchozího §.
Ábelova vláda
Důsledkem výše uvedeného Cauchyho kritéria je následující věta (pro g lokálně integrovatelná na [ a , b [ ):
Pokud f je klesající a nulové limitu v b a v případě, že funkce je omezená , pak integrál FG na [ dobu , b [ konverguje.X↦∫naXG{\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} g}
Příklad:
Pro jakoukoli skutečnou
λ> 0 integrál konverguje.
∫1+∞exp(it)tλ dt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {t ^ {\ lambda}}} ~ \ mathrm {d} t}
Další vlastnosti
Integrace po částech
Per partes je technika, mimo jiné, pro výpočet určitého integrálu. U nesprávných integrálů lze tuto techniku také použít. Musíte však být opatrní při definici „získaných objektů“. Ano
∫nabF(t)G′(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) g '(t) \, \ mathrm {d} t}existuje, nemusí tomu tak být
[F(t)G(t)]nab{\ displaystyle \ left [f (t) g (t) \ right] _ {a} ^ {b}} nebo pro
∫nabF′(t)G(t)dt.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f '(t) g (t) \, \ mathrm {d} t.}
Pokud se tedy pokusíme vypočítat například integrál
∫nabF(t)G′(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) g '(t) \, \ mathrm {d} t}nevhodné v b , můžeme napsat:
∫naXF(t)G′(t)dt=[F(t)G(t)]naX-∫naXF′(t)G(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {x} f (t) g '(t) \, \ mathrm {d} t = \ left [f (t) g (t) \ right] _ {a} ^ {x} - \ int _ {a} ^ {x} f '(t) g (t) \, \ mathrm {d} t}s ≤ x < b pak uděláme přechod na hranici tím, že dělá x → b . Pak jsme pozorovali, že pokud podmínky
[F(t)G(t)]na→b{\ displaystyle \ left [f (t) g (t) \ right] _ {a} ^ {\ to b}} a
∫na→bF′(t)G(t)dt{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ až b} f '(t) g (t) \, \ mathrm {d} t}
jsou definovány, integrace po částech je možná.
Příklad
Pro jakýkoli
komplex λ s přísně pozitivní
skutečnou částí je integrál
∫1+∞exp(it)tλ dt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {t ^ {\ lambda}}} ~ \ mathrm {d} t}
Se rovná
[exp(it)itλ]1+∞+λ∫1+∞exp(it)itλ+1 dt=0-exp(i)i+λ∫1+∞exp(it)itλ+1 dt{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {\ mathrm {i} t ^ {\ lambda}}} \ right] _ {1} ^ {+ \ infty} + \ lambda \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {\ mathrm {i} t ^ {\ lambda +1}}} ~ \ mathrm {d} t = 0 - {\ frac {\ exp (\ mathrm {i})} {\ mathrm {i}}} + \ lambda \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ exp (\ mathrm {i} t)} {\ mathrm {i} t ^ {\ lambda +1}}} ~ \ mathrm {d} t},
což dokazuje, že konverguje.
Linearita
Linearity nevlastních integrálů je možné, ale vyžaduje, aby stejné podmínky jako pro integraci per partes: dále jen „získané objekty“, musí být definovány. Takže můžeme psát
∫1+∞(1t2-E-t)dt=∫1+∞1t2dt-∫1+∞E-tdt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} \ vlevo ({\ frac {1} {t ^ {2}}} - {\ rm {e}} ^ {- t} \ vpravo) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t- \ int _ {1} ^ { + \ infty} {\ rm {e}} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}protože integrály
∫1+∞1t2dt a ∫1+∞E-tdt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t {\ text {and}} \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}jsou konvergentní.
Ale na druhou stranu integrální
∫1+∞(hřích(1t)-1t)dt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} \ left (\ sin \ left ({\ tfrac {1} {t}} \ right) - {\ tfrac {1} {t}} \ right) \, \ mathrm {d} t}( konvergentní ) nelze rozdělit, protože integrály
∫1+∞hřích(1t)dt a ∫1+∞1tdt{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} \ sin \ left ({\ frac {1} {t}} \ right) \, \ mathrm {d} t {\ text {et}} \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t}} \, \ mathrm {d} t}se liší.
Klasické příklady
Riemannovy příklady
Pro všechna x > 0 je integrál
∫X+∞1tnadt{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t ^ {a}}} \, \ mathrm {d} t}konverguje tehdy a jen tehdy, pokud > 1 . V tomto případě: .
∫X+∞1tnadt=X1-nana-1{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t ^ {a}}} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {x ^ {1-a}} {a-1}}}
Pro x > 0 je integrál
∫0X1svs.ds{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {s ^ {c}}} \, \ mathrm {d} s}(nesprávné při 0, pokud c > 0 ) konverguje právě tehdy, když c <1 . V tomto případě: .
∫0X1svs.ds=X1-vs.1-vs.{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {s ^ {c}}} \, \ mathrm {d} s = {\ frac {x ^ {1-c}} {1 -vs}}}
Bertrandovy integrály
Obecněji :
- integrál∫E+∞1tαlnβtdt{\ displaystyle \ int _ {\ rm {e}} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {t ^ {\ alpha} \ ln ^ {\ beta} t}} \, \ mathrm {d} t }konverguje právě tehdy, když α> 1 nebo (α = 1 a β> 1);
- integrál∫01/E1sy|ln(s)|βds{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1 / {\ rm {e}}} {\ frac {1} {s ^ {\ gamma} | \ ln (s) | ^ {\ beta}}}}, \ mathrm {d} s}konverguje právě tehdy, když γ <1 nebo (γ = 1 a β> 1).
Dirichletův integrál
Integrál
∫0+∞hříchttdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}je semi-konvergentní a stojí za to .
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
Poznámky a odkazy
-
Viz první příklad kapitoly „Zobecněné integrály “ na Wikiversity .
-
Můžeme tak ospravedlnit konvergenci integrálu, který definuje funkci gama : viz například začátek opraveného přiřazení „Funkce gama a Stirlingův vzorec“ na Wikiversity .
-
Viz část „Abel Rule“ na Wikiversity .
-
Dalším klasickým příkladem je funkční rovnice funkce gama, ukázaná na začátku opraveného přiřazení „Funkce gama a Stirlingův vzorec“ na Wikiversity .Γ(X+1)=XΓ(X){\ Displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \, \ Gamma (x)}
-
Viz část „Riemannův příklad“ na Wikiversity .
-
Viz příklad „Bertrandovy integrály “ na Wikiversity .
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">