Kompaktní otevřená topologie
V matematiky je kompaktní otevřít topologie je topologie definované na množině spojitých mapování mezi dvěma topologických prostorů . Je to jedna z nejpoužívanějších topologií na takovém funkčním prostoru a používá se v teorii homotopy a ve funkční analýze . To bylo představeno Ralphem Foxem v roce 1945.
Definice
Nechť X a Y jsou dvě topologické prostory a C ( X, Y ) je prostor spojitých zobrazení z X na Y . Pro každou dílčí sadu kompaktní K z X a všechny otevřené U všech Y zahrnují V ( K, U ) množinu všech aplikací fεC ( X , Y ) tak, že f ( K ) ⊂ U . Pak je kompaktně otevřená topologie na C ( X, Y ) ta, která je tam generována množinou všech těchto V ( K, U ), která tak tvoří předbázi .
Vlastnosti
- Pokud * je prostor Singleton , C (*, Y ), (za předpokladu, s kompaktním otevřené topologie) je homeomorphic k Y .
- Jestliže Y je lokálně kompaktní pak složení funkcí C ( Y , Z ) x C ( X , Y ) → C ( X , Z ), ( f , g ) ↦ f ∘ g je kontinuální (tři prostory funkcí poskytována kompaktně otevřené topologie a C ( Y , Z ) × C ( X , Y ) topologie produktu ).
- Pokud je Y lokálně kompaktní, pak je vyhodnocovací mapa C ( Y , Z ) × Y → Z , ( f , x ) ↦ f ( x ) spojitá (je to důsledek dvou předchozích vlastností).
- Pokud je Y lokálně kompaktní a je-li C ( Y , Z ) obdařena kompaktně otevřenou topologií, pak přirozená mapa množiny C ( X × Y , Z ) v množině C ( X , C ( Y , Z ) ) je bijective, takže topologický prostor C ( Y , Z ), představuje na contravariant funktor X ↦ C ( X x Y , Z ).
- Pokud Y je samostatný, regulární nebo Tychonovův prostor T 0 , T 1 , pak také C ( X , Y ).
- Pokud X je oddělena může být ve výše uvedené definici předem základní C ( X , Y ), je omezena na U patřící do chovatele Y .
- Pokud Y je jednotný prostor (například metrický prostor ), pak na C ( X , Y ) je kompaktně otevřená topologie indukována jednotnou strukturou jednotné konvergence na libovolném kompaktu.
- Pokud X je kompaktní a je-li Y je metrizable o vzdálenost d , pak kompaktní otevřít topologii na C ( X , Y ), je to, že rovnoměrné konvergence. Je proto měřitelný vzdáleností e definovanou e ( f , g ) = sup { d ( f ( x ), g ( x )): x ∊ X }.
- Pokud Y je kompaktní se skupina z homeomorphisms z Y v sobě, obdařen kompaktní otevřená topologie, je topologické skupinu (přičemž pokud Y je pouze lokálně kompaktní, mapa f ↦ f -1 nemusí být pokračuje, i když Y je také měřitelný).
Varianta pro aplikace rozlišitelné na Fréchet
Nechť X a Y dva Banachovy prostory na stejném subfield C , U otevřeného X a C m ( U , Y ) je množina všech aplikací neustále m - Fréchet-diferencovatelné z U v Y . Na této množiny, definujeme pro všechny kompaktní K z U polo kód p K o:
Vybaveno všech těchto polotovarů norem, C m ( U , Y ) je lokálně konvexní plocha , jejíž topologie je také nazýván „kompaktní-open topologie“.
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Compact-open topology “ ( viz seznam autorů ), jehož tři reference byly:
- (en) James Dugundji , Topology , Allyn & Bacon,1966, 447 s. ( ISBN 978-0-697-06889-7 , číst online )
- (en) O. Ya. Viro (en) , OA Ivanov, N. Yu. Netsvetaev a VM Kharlamov (de) , Elementární topologie , AMS ,2008( online prezentace ), verze 2007 online
- (en) „ Topologie kompaktního otevření “ , na PlanetMath
- (in) Ralph H. Fox , „ My topologie pro funkční prostory, část I “ , Bull. Hořký. Matematika. Soc. , sv. 51,1945, str. 429-432.
- Viro a kol. 2008 , c. 5 („Topologická algebra“), s. 5 195 a 201, cvičení 28.Xx.1 (např. 27.Xx.1 online verze z roku 2007).
- Michel Zisman, Elementární algebraická topologie , Armand Colin, 1972, str. 34.
- (in) Richard Arens Friederich , „ Topologie pro skupiny homeomorfismu “ , Amer. J. Math. , sv. 68,1946, str. 593-610 ( JSTOR 2371787 ).
- (in) Jan J. Dijkstra, „ We homeomorphism groups and the compact-open topology “ , Amer. Matematika. Měsíčně , sv. 112, n o 10,2005, str. 910-912 ( číst online ).
Související články
- Kompaktní konvergence (v)
- Kompaktně generovaný prostor
- Topologie Whitney (en)