Zpracování digitálních signálů

Zpracování digitálního signálu studiem technik zpracování ( filtrování , komprese atd.), Analýzou a interpretací digitalizovaných signálů. Na rozdíl od analogového zpracování signálu, které se provádí pomocí analogových elektronických zařízení, se digitální zpracování signálu provádí pomocí digitálních strojů ( počítačů nebo vyhrazených obvodů).

Tyto digitální stroje poskytují přístup k výkonným algoritmům, jako je výpočet Fourierovy transformace . Protože přirozené signály obecně nejsou digitální, musí být digitalizovány analogově-digitálním převodníkem .

Výhody digitálního zpracování

Ve srovnání se zpracováním analogového signálu má digitální zpracování řadu výhod:

Částečná odolnost proti hluku digitálně kódovaný signál není hlučný, pokud nejsou prováděny žádné výpočty nebo pokud jsou prováděny s libovolně vysokou přesností. Proto lze kaskádovat velké množství operací. Chyby vzorkování a zaokrouhlování po výpočtech jsou nicméně způsobilé vyvolat šum vzorkování . Flexibilita digitální zpracování je snadno nastavitelné nebo konfigurovatelné během provozu. Zpracování se může dokonce přizpůsobit situaci (změna vstupního signálu v čase). Schopnost digitálních strojů propojit sekvence operací také usnadňuje realizaci složitých algoritmů zpracování. Důležitým příkladem je Fourierova transformace . Memorace snadné ukládání signálu umožňuje snadné provádění zpoždění, a proto širokou škálu filtrů nebo korelačních operací . Tímto způsobem máme také přístup k iteračnímu zpracování, které probíhá postupnými zdokonaleními, což značně otevírá možnosti.

Tyto výhody jsou zmírněny několika omezeními:

Samotná digitalizace může degradovat signál v důsledku nedostatečné kvantizace nebo vzorkování . Kromě toho číselné výpočty neobsahují chyby kvůli zaokrouhlování. Výpočty pevných bodů jsou vůči těmto problémům obzvláště citlivé.
Digitální zpracování je nutně pomalejší, náročnější a náročnější na hardware než analogový přístup. Pokroky v mikroelektronice však stále více snižují dopad těchto defektů a umožňují použití digitálního zpracování signálu během jeho přenosu v široké škále aplikací, které se provádějí až na frekvence vyšší než 500 MHz.

Analytické zvláštnosti digitálního zpracování

Zatímco analogový signál může být matematicky reprezentován spojitou funkcí spojité proměnné (například modelování elektrického napětí, které se mění v čase ), digitální signál je řada čísel. Abyste je zvládli, potřebujete různé matematické nástroje. Citujme:

Z transformace - diskrétní ekvivalent nepřetržité doméně Laplaceovy transformace . Specifickým případem je Fourierova transformace diskrétního signálu;
diskrétní Fourierova transformace (DFT) - má mnohé žádosti v spektrální analýzy a filtrování, vzhledem k existenci rychlých výpočetních algoritmů seskupených pod pojmem rychlá Fourierova transformace .

Analogově-digitální převod

Vzhledem k tomu, že přirozené signály jsou téměř všechny spojité signály a digitální obvody zpracovávají pouze diskrétní data, musí být tyto signály před digitálním zpracováním nejprve transformovány . Tato transformace se nazývá digitalizace (někdy nesprávně nazývaná digitalizace) ; provádí se analogově-digitálním převodníkem . Tato operace zahrnuje dvě akce:

vzorek , který přeměňuje stejnosměrný nosný signál do diskrétní nosný signál (posloupnost hodnot);
kvantifikace , která nahrazuje spojité hodnot diskrétních hodnot .

Shannon-Nyquistova věta

Vzorkování transformuje spojitý signál $S ( t )$ do diskrétní signál $S i$ , který se skládá z několika měření spojitého signálu, přijatých na po sobě následujících okamžicích oddělených konstantním časovém kroku. Tedy: $S i = S ( i • T e ),$ kde $T e$ je perioda vzorkování . $F e = 1 / T e$ je vzorkovací frekvence.

Podle Nyquist-Shannonovy vzorkovací věty je signál, jehož frekvenční složky jsou menší než $F e / 2,$ vzorkován reverzibilně: je možné rekonstruovat spojitý signál z diskrétních hodnot. Interpolační funkcí používanou pro tento účel je kardinální sinus (známý $sin$ ):

${\ displaystyle S (t) = \ součet _ {i} S_ {i} \ cdot \ operatorname {sinc} \ left (\ pi \ left ({\ frac {t} {T_ {e}}} - i \ right ) \ že jo)}$

Aby se zabránilo artefaktům „aliasingu spektra“, je nutné eliminovat frekvenční složky nad $F e / 2$ . To se provádí pomocí (analogového) filtru , který se nazývá filtr proti aliasu , který má obvykle strmý (vyšší řád) mezní hodnotu.

Lineární filtrování

Filtr vypočítá diskrétní signál $y ( n )$ z diskrétního signálu $x ( n )$ . Každý vzorek $y ( n )$ je lineární kombinací vzorků $x ( n )$ .

Filtr je považován za kauzální, pokud vzorek $y ( n )$ závisí výhradně na hodnotách $x ( i )$ pro $i < n$ , tj. Na předchozích hodnotách. To je případ všech skutečných systémů, které nemohou předvídat budoucí hodnoty. Díky zapamatování signálů, které umožňuje digitalizace, je však možné dosáhnout impulzních odpovědí, které se zdají být nekauzální.

Lineární a invariantní filtr se vyznačuje svou impulsní odezvou, tj . odpověď na záznam s pouze jednou nenulovou hodnotou. Povaha této odezvy charakterizuje filtr, který může být konečné impulsní odezvy (FIR) nebo nekonečné (RII). Výstupem filtru je konvoluce vstupu impulzní odezvou. Tato konvoluce poskytuje algoritmus pro výpočet FIR filtru. Tuto konvoluci lze také vypočítat rychlou Fourierovou transformací . K dosažení filtrů typu RII se používají rekurzivní techniky (výstup filtru závisí na předchozích výstupních vzorcích).

Z transformace impulsní odezvy je přenosová funkce filtru. Jeho faktorizace umožňuje popsat filtrování pomocí diskrétní diferenční rovnice. Fourierova transformace - to znamená Z transformace pro $z = e j2π λ$ - impulzní odezvy je „ frekvenční odezvou “ filtru: umožňuje průchod do spektrální oblasti. $λ$ je snížená frekvence: $λ = F / F e$ .

Výpočet koeficientů filtru k dosažení stanovené frekvenční odezvy se nazývá „syntéza filtru“. "

Jednostranné spektrum

Libovolný periodický signál s periodou $T 0 = 1 / F 0 se$ rozpadá na Fourierovu řadu :

{\ displaystyle S (t) = A_ {0} + \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ cos (2 \ pi \ cdot n \ cdot F_ {0} \ cdot t) + i \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {n} \ sin (2 \ pi \ cdot n \ cdot F_ {0} \ cdot t),}

což umožňuje přímo získat diskrétní spektrum signálu.

Spektrální analýza

Diskrétní Fourierova transformace (DFT) se používá pro numericky výpočet spektra signálu, to znamená jeho frekvenční reprezentaci. Použití tohoto DFT však vyžaduje určitá opatření. Na jedné straně proto, že je použitelný pouze na signál s omezenou dobou trvání: signál musí být proto často zkrácen, což vede ke vzniku parazitních vln ve spektru - mohou být oslabeny technikami apodizace . Na druhou stranu proto, že se získá i získané spektrum, což ztěžuje jeho interpretaci. Interpolace tohoto spektra může být žádoucí.

V praxi používá k provedení diskrétní Fourierovy transformace algoritmus známý jako rychlá Fourierova transformace (FFT for Fast Fourier Transform in English ). Skládá se z chytrého řazení výpočtů, aby se snížil celkový počet požadovaných násobení. Složitost algoritmu pak přechází z $N 2$ na $N log 2 ( N )$ , přičemž $N$ je počet akvizičních bodů tvořících tabulku hodnot.

Implementace

Zpracování již digitalizovaných signálů lze provádět na počítačích pro všeobecné použití. V aplikacích pro zpracování v reálném čase se používají specializované mikroprocesory ( DSP ). Pro vyšší rychlost jsou specifické funkce prováděny přímo ve formě integrovaných obvodů ( ASIC ) nebo implantovány na součásti v programovatelné logice ( FPGA ).

Příčinný signál

Kauzální signál je do určité doby nulový, často nastavený na 0:

{\ displaystyle s (t) = 0 ~ {\ textrm {for}} \ t <0}

Signál je považován za kauzální, pokud je tento signál nulový, když t <0.

Naproti tomu je nekauzální signál definován na množině realů: signál existuje i pro t <0.

Poznámky a odkazy

Dodatky

Bibliografie

[Bergounioux 2014] Maïtine Bergounioux, Matematika pro zpracování signálu: Kurz a opravená cvičení , Paris, Dunod , kol. "Vyšší vědy",2014, 2 nd ed. , 319 s. ( ISBN 978-2-10-071042-3 , OCLC 881425547 , upozornění BnF n o FRBNF43825667 , online prezentace ).
[Bellanger 2006] Maurice Bellanger ( pref. Pierre Aigrain), Digitální zpracování signálu: teorie a praxe , Paříž, Dunod , kol. "Vyšší vědy",2006, 8 th ed. , 447 s. ( ISBN 978-2-10-050162-5 , OCLC 288969734 , vývěsní BNF n o FRBNF40234659 ).
[Kunt 1991] Murat Kunt , Moderní techniky zpracování digitálního signálu , Lausanne, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes ,1991( ISBN 2-88074-207-2 ).
[Van Den Enden a Verhoeckx 2003] AWM Van Den Enden a NAM Verhoeckx ( překlad z angličtiny B. Fridel), Digital Signal Processing: An Introduction , Paris, Dunod , coll. "Vyšší vědy",2003, 3 e ed. , 382 s. ( ISBN 978-2-10-007375-7 , OCLC 60172935 ).
[Boite and Leich 1990] René Boite a Henri Leich ( pref. Maurice Bellanger), Digitální filtry: analýza a syntéza jednorozměrných filtrů , Barcelona, Masson , kol. " CNET - ENST ",1990, 3 e ed. , 431 str. ( ISBN 978-2-225-81884-4 , OCLC 21455532 , vývěsní BNF n o FRBNF35073793 ).
[Martin 2005] Jean-Noël Martin, Počátek digitálního zpracování signálu: aplikace pro filtrování a zpracování zvuku , Ellipses edice , kol. " TechnoSup ",2005.

Související články

externí odkazy

[Torrésani 2010] B. Torrésani, „ Matematické metody pro zpracování signálu “ , magisterský kurz na University of Provence [PDF] ,2010(zpřístupněno 10. září 2016 ) .