Reciproční polární transformace

V matematiky , a přesněji v geometrii je transformace vzájemnou Poláry je transformace přiřazení ke křivce další křivky zkonstruované pomocí přímek tečná k první. Křivka obrazu se nazývá dvojitá křivka počáteční křivky.

Definice

$Uvažujeme$ rovinnou křivku $Γ$ $0$ . Polární křivka v bodě $M 0 ( x 0 ( t ), y 0 ( t ))$ z $y 0$ vzhledem ke kružnici ( C ) (nebo směrovacím kružnice ( C )) je obálka póly body $Γ 0$ vzhledem k ( C ); je to tedy množina pólů tečen na $Γ 0$ ve srovnání s ( C ).

Rovnice

Polární vzhledem ke kružnici se středem O a poloměrem $r$ a bodem $M 0 ( x 0 , y 0 )$ je přímka bodů $M ( x , y )$ taková, že $x 0 x + y 0 y = r 2$ .

Pokud $M 0 ( x 0 ( t ), y 0 ( t ))$ je aktuální bod křivky $Γ 0$ , je definován aktuální bod $M ( x ( t ), y ( t ))$ poláru $Γ 0$ , v kartézských souřadnicích, podle

{\ displaystyle {\ begin {cases} x (t) = {\ dfrac {r ^ {2}} {x_ {0} (t) y_ {0} '(t) -y_ {0} (t) x_ { 0} '(t)}} y_ {0}' (t) \\ y (t) = - {\ dfrac {r ^ {2}} {x_ {0} (t) y_ {0} '(t) -y_ {0} (t) x_ {0} '(t)}} x_ {0}' (t) \ end {cases}}}

buď ve složitých souřadnicích:

{\ displaystyle z (t) = 2r ^ {2} {\ frac {z_ {0} '(t)} {z_ {0}' (t) {\ overline {z_ {0} (t)}} - z_ {0} (t) {\ overline {z_ {0} '(t)}}}}.}

„Polarizace“ si proto vyměňuje představy o bodu křivky a tečně ke křivce.

Polární kuželosečka

Polár kuželosečky vzhledem ke kružnici se středem v ohniskovém bodě kuželosečky je kružnice se středem u pólu directrix.

Demonstrace

Počátek přijímaný v ohnisku definujeme kuželosečku polární rovnicí . Půl tečny je umístěna na kolmo k ní procházející ohniskem (počátek). Má tedy polární úhel, kde označuje úhel mezi a tečnou. $\ rho = {\ frac p {1-e \ cos \ theta}}$ $\ theta + V + {\ frac \ pi 2}$ $PROTI$ $(OM)$

Nyní víme, že pól je v harmonickém dělení s projekcí zaměření na tečnu a průsečík s kružnicí.

Vzdálenost od ohniska k dotyčnici stojí za to, že hledaný pól je tedy ve vzdálenosti $d = \ rho \ cos (V + {\ frac \ pi 2}) = - \ rho \ sin V$ ${\ frac {R ^ {2}} d}$

Souřadnice pólu jsou tedy ${\ displaystyle x = {\ frac {R ^ {2}} {d}} \ cos (\ theta + V + {\ frac {\ pi} {2}}) = {\ frac {R ^ {2}} {\ rho}} \ left [{\ frac {\ sin \ theta} {\ tan V}} + \ cos \ theta \ right]}$

a ${\ displaystyle y = {\ frac {R ^ {2}} {d}} \ sin (\ theta + V + {\ frac {\ pi} {2}}) = {\ frac {R ^ {2}} {\ rho}} \ left [{\ frac {\ sin \ theta} {\ tan V}} + \ cos \ theta \ right]}$

Ale $\ \ tan V = {\ frac \ rho {\ rho '}} = - {\ frac {1-e \ cos \ theta} {e \ sin \ theta}}$

odkud ${\ displaystyle x = {\ frac {R ^ {2}} {p}} (1-e \ cos \ theta) \ left [{\ frac {e \ sin ^ {2} \ theta} {1-e \ cos \ theta}} + \ cos \ theta \ right] = {\ frac {R ^ {2}} {p}} (\ cos \ theta -e)}$

a ${\ displaystyle y = - {\ frac {R ^ {2}} {p}} (1-e \ cos \ theta) \ left [- {\ frac {e \ sin \ theta \ cos \ theta} {1- e \ cos \ theta}} - \ sin \ theta \ right] = - {\ frac {R ^ {2}} {p}} \ sin \ theta}$

z čehož to bez problémů vyplývá: ${\ displaystyle \ left (x + {\ frac {eR ^ {2}} {p}} \ right) ^ {2} + y ^ {2} = {\ frac {R ^ {4}} {p ^ { 2}}}.}$

Získali jsme tedy středový kruh, který je pólem přímkové rovnice , tj. Directrix. ${\ displaystyle \ left ({\ frac {eR ^ {2}} {p}}, O \ right)}$ ${\ displaystyle X = - {\ frac {p} {e}}}$

Vlastnosti

Transformace pomocí recipročních polárních je involuce: polární polární vzhledem ke stejné kružnici se rovná počáteční křivce.
Polár nesmí být zaměňován s reverzní křivkou . Navíc inverzní k polárnímu vzhledem ke stejné kružnici je nožní křivka .
Polár algebraické křivky je algebraická křivka, jejíž stupeň se rovná třídě výchozí křivky (tj. Stupeň tangenciální rovnice).

Příklady

Počáteční křivka	Poloha středu směrové kružnice ve vztahu k počáteční křivce	Poloha středu směrové kružnice vzhledem k poláru	Polární
Přímka (polární bodu)	Vpravo	Liší se od bodu	Bod (pól čáry)
Kuželovitý			Kuželovitý
	Zaměření kužele		Kruh
	Uvnitř kuželosečky (tj. V oblasti obsahující fokus)		Elipsa
	Mimo kuželovitý tvar		Hyperbola
	Na kužele		Podobenství
Kardioidní	Hrot	Zaměřit se na 8/9 th úsečky spojující dvojité bod v horní části	Kubický z Tschirnhausenu
Kardioidní	Střed konchoidního kruhu	Krb	Maclaurinova Trisectrix
Deltoidní	Centrum	vrchol hory	Kubický duplikátor
Astroid	Centrum	Centrum	Křížový
Střed cykloidní	Centrum	Centrum	Ucho
Sinusová spirála s parametrem $α$	Centrum	Centrum	Sinusová spirála parametru $- α / α +1$

Rozšíření na trojrozměrné povrchy

Koncept vzájemného poláru lze rozšířit na povrchy v prostoru; transformovaný povrch se pak stane dalším povrchem.

Podívejte se také

Reference

Jacques Lenthéric, " Obecná teorie vzájemné polární rovině ", Annals of matematiky News , 1 st série, vol. 8,1849, str. 252-266
L. Quantin z ROERE " rozvinutelné vytvořena s normálními quadric " Annals of matematiky News , 5 th série, vol. 1,1922, str. 153-159 ( číst online )
Pierre Papillon, " o vzájemném polární povrchy conoids ", Annals of PřF Toulouse , 3 rd série, vol. 25,1933, str. 239-256 ( číst online )

Jean-Denis Eiden, klasická analytická geometrie , Calvage & Mounet,2009( ISBN 978-2-91-635208-4 ) ;
Bruno Ingrao, projektivní, afinní a metrické kuželosečky, Calvage & Mounet,2011( ISBN 978-2916352121 ).