Svislý a rovný povrch
Svislé a rovné povrchy zvýrazňují rozdíly v úrovni ovlivňující geografické území, když je znázorněno na plánu . Vertikální z bodu na povrchu , je imaginární linie, přes tento bod a směrem dolů, v závislosti na závažnosti . Tyto tvary jsou vyneseny vytvoří na povrchu jejími průsečíky s rovinami kolmý k vertikále a rozmístěny v polohách pravidelně; každá z těchto rovin je lokální aproximací rovného povrchu (rozšířeného na celou Zemi).
Vertikální a gravitační
Vertikální , v místě označené tečkou na zemském povrchu nebo v jeho blízkosti, je definována směru gravitace v a zhmotnilo směru olovnice suspendované v nebo na „svislou“ osu optického úrovně zaostření . Gravitace se získá tak, že se v bodě vezme gradient gravitačního potenciálu , součet gravitačních potenciálů a axifugových potenciálů . V závislosti na tom, zda se podle konvence rozhodneme orientovat vertikálu směrem dovnitř Země nebo směrem ven, je jednotkový vektor poskytující orientaci vertikály místa zajištěn nebo . Symbol (nabla) označuje operátor přechodu , který lze zapsat do kartézských souřadnic , a označuje jednotkový vektor pozitivně orientovaný podél osy .
P{\ displaystyle P} G→(P){\ displaystyle {\ vec {g}} (P)}P{\ displaystyle P}P{\ displaystyle P}P{\ displaystyle P}U(P){\ displaystyle U (P)}PROTI(P){\ displaystyle V (P)}Z(P){\ displaystyle Z (P)}P{\ displaystyle P}ne→=G-1∇U(P){\ displaystyle {\ vec {n}} = g ^ {- 1} \ nabla U (P)}ne→=-G-1∇U{\ displaystyle {\ vec {n}} = - g ^ {- 1} \ nabla U}∇{\ displaystyle \ nabla}(X1,X2,X3){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}∇≡∂∂X1E→1+∂∂X2E→2+∂∂X3E→3{\ displaystyle \ nabla \ equiv {\ tfrac {\ částečné} {\ částečné x_ {1}}} {\ vec {e}} _ {1} + {\ tfrac {\ částečné} {\ částečné x_ {2}} } {\ vec {e}} _ {2} + {\ tfrac {\ částečné} {\ částečné x_ {3}}} {\ vec {e}} _ {3}}E→i{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}ÓXi{\ displaystyle Ox_ {i}}
Gradient gravitačního potenciálu a derivace v jednom směru
Gradient skalárního pole je vektorové pole , v tomto případě gravitační pole . Gravitační potenciál je funkcí bodu , jeho okolí lze popsat malým vektorem spojujícím jakýkoli sousední bod . Rychlost růstu funkce se bude obecně lišit v závislosti na směru a směru a můžeme psát následovně rychlost růstu ve směru charakterizovaném jednotkovým vektorem :
U{\ displaystyle U}G→{\ displaystyle {\ vec {g}}}U{\ displaystyle U}P{\ displaystyle P}P{\ displaystyle P}Δr→{\ displaystyle {\ vec {\ Delta r}}}P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}U{\ displaystyle U}Δr→{\ displaystyle {\ vec {\ Delta r}}}U(P){\ displaystyle U (P)}E→{\ displaystyle {\ vec {e}}}
(ΔUΔr)E→=U(ÓP→+ΔrE→)-U(ÓP→)Δr{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ Delta U} {\ Delta r}} \ right) _ {\ vec {e}} = {\ frac {U ({\ overrightarrow {OP}} + \ Delta r { \ vec {e}}) - U ({\ overrightarrow {OP}})} {\ Delta r}}}
a definovat derivaci gravitačního potenciálu ve směru jednotkového vektoru pomocí
U(P){\ displaystyle U (P)} E→{\ displaystyle {\ vec {e}}}
dU(P)dE=limΔr→0(ΔUΔr)E→=limΔr→0U(ÓP→+ΔrE→)-U(ÓP→)Δr{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} U (P)} {\ mathrm {d} e}} = \ lim _ {\ Delta r \ rightarrow 0} \ left ({\ frac {\ Delta U} { \ Delta r}} \ right) _ {\ vec {e}} = \ lim _ {\ Delta r \ rightarrow 0} {\ frac {U ({\ overrightarrow {OP}} + \ Delta r {\ vec {e }}) - U ({\ overrightarrow {OP}})} {\ Delta r}}}.
Když má jednotkový vektor směr a směr osy referenčního trihedronu nebo je orientován podle jednotkového vektoru , umožňuje to definovat dílčí derivaceE→{\ displaystyle {\ vec {e}}}ÓXi{\ displaystyle Ox_ {i}}E→i{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}
∂U(P)∂Xi=limΔr→0(ΔUΔr)Ei→=limΔr→0U(ÓP→+ΔrEi→)-U(ÓP→)Δr{\ displaystyle {\ frac {\ částečné U (P)} {\ částečné x_ {i}}} = \ lim _ {\ Delta r \ pravá šipka 0} \ vlevo ({\ frac {\ Delta U} {\ Delta r }} \ right) _ {\ vec {e_ {i}}} = \ lim _ {\ Delta r \ rightarrow 0} {\ frac {U ({\ overrightarrow {OP}} + \ Delta r {\ vec {e_ {i}}}) - U ({\ overrightarrow {OP}})} {\ Delta r}}}.
Všimněme si však, že tyto parciální derivace nejsou příliš zajímavé, protože zjevně závisí na volbě referenčního systému a nejedná se tedy o skalární veličiny. Na druhou stranu, derivace v jednom směru představují skalární funkce, referenční systém nezasahuje do jejich definice.
Dokazujeme to v matematické analýze , například na základě vzorce konečných přírůstků, že
dUdE=∂U∂X1E1+∂U∂X2E2+∂U∂X3E3{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} e}} = {\ frac {\ částečné U} {\ částečné x_ {1}}} e_ {1} + {\ frac { \ částečné U} {\ částečné x_ {2}}} e_ {2} + {\ frac {\ částečné U} {\ částečné x_ {3}}} e_ {3}},
kde , , jsou složky jednotkového vektoru , nebo to, co je ekvivalentní, směrové kosiny z osy, v jehož směru je odvozen. Tento poslední vzorec naznačuje, že derivace ve směru jednotkového vektoru se získá vytvořením tečkového produktu, konkrétně
E1{\ displaystyle e_ {1}}E2{\ displaystyle e_ {2}}E3{\ displaystyle e_ {3}}E→{\ displaystyle {\ vec {e}}}U{\ displaystyle U}E→{\ displaystyle {\ vec {e}}}
dUdE=E→⋅∇U{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} e}} = {\ vec {e}} \ cdot \ nabla U}.
Rovný povrch
Předchozí vzorec má velmi zajímavé důsledky. Ve skutečnosti, pokud označuje úhel mezi směrem gradientu gravitačního potenciálu (tedy směr vertikály) a směrem , lze derivaci gravitačního potenciálu napsat
φ{\ displaystyle \ varphi}U{\ displaystyle U}E→{\ displaystyle {\ vec {e}}}dUdE{\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} e}}}E→{\ displaystyle {\ vec {e}}}
dUdE=|∇U|cosφ=Gcosφ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} e}} = | \ nabla U | \ cos {\ varphi} = g \ cos {\ varphi}}.
Proto, pokud je rovnoběžná se směrem vertikálu (tj. , Nebo ), je maximální a je stejná , a v případě, je kolmá k vertikální u (tj. A ) ,. Jinými slovy, rychlost variace gravitačního potenciálu je maximální v absolutní hodnotě ve směru vertikály a nula ve směru obsaženém v rovině kolmé na vertikálu v . Tato rovina je proto tečná k povrchu
E→{\ displaystyle {\ vec {e}}}P{\ displaystyle P}φ=0{\ displaystyle \ varphi = 0}φ=180∘{\ displaystyle \ varphi = 180 ^ {\ circ}}|dUdE|{\ displaystyle \ left | {\ tfrac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} e}} \ doprava |}G{\ displaystyle g}E→{\ displaystyle {\ vec {e}}}P{\ displaystyle P}φ=90∘{\ displaystyle \ varphi = 90 ^ {\ circ}}φ=270∘{\ displaystyle \ varphi = 270 ^ {\ circ}}dUdE=0{\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} e}} = 0}P{\ displaystyle P}P{\ displaystyle P}
U(P)=vs.ÓnestnanetE{\ displaystyle U (P) = \ mathrm {konstantní}}
nazývá se rovný povrch . Pro libovolný bod je tedy gravitace , jinými slovy gradient gravitačního potenciálu , normální k hladině procházející tímto bodem. Jelikož gravitační potenciál zůstává na rovném povrchu konstantní, mluvíme také o ekvipotenciálním povrchu gravitačního pole.
G→{\ displaystyle {\ vec {g}}}U{\ displaystyle U}
Podívejte se také
Interní odkazy
externí odkazy
Poznámky
-
Bod patří do bodového prostoru; jeho analog v přidruženém vektorovém prostoru je , přičemž bod je libovolný bod v přesném prostoru považovaný za počátek bodu.P{\ displaystyle P}ÓP→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}Ó{\ displaystyle O}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">