Plošná rychlost
Plošná rychlost
Druhým
z Keplerových zákonů je, že oblastní rychlost planety vzhledem ke
Slunci je konstantní.
Plošná rychlost je veličina, která vyjadřuje hranici poměru nekonečně malého zvětšení oblasti zametené vektorovým paprskem pohybujícího se objektu nad nekonečně malým zvětšením času. Jedná se o první derivaci s ohledem na čas oblasti snímané vektorovým paprskem mobilního telefonu. Je to poměr této oblasti k použitému času. Je definován:
12ρ2dθdt=dNA(t)dt{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} A (t)} {\ mathrm {d} t}}}
kde A je oblast sektoru snímaného vektorovým paprskem ρ , θ je úhel, který prochází, což je úhlová rychlost .
dθdt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}
Hodnocení
Plošná rychlost se běžně zaznamenává , což je symbol odpovídající latinskému písmenu A s tečkou nahoře .
NA˙{\ displaystyle {\ dot {A}}}
Vysvětlení
A je zápis povrchu nebo plochy. Výše uvedený bod se používá k vyjádření, že jde o první derivaci
A s ohledem na čas.
NA˙{\ displaystyle {\ dot {A}}}
Rozměr a jednotka
Rozměr této rychlosti areálu se nachází:
[NA˙]=L2⋅T-1.{\ displaystyle [{\ dot {A}}] = \ mathrm {L ^ {2}} \ cdot {\ mathrm {T} ^ {- 1}}.}Vysvětlení
[NA˙]=[NA][t]=L2T1=L2⋅T-1.{\ displaystyle [{\ dot {A}}] = {\ frac {[A]} {[t]}} = {\ frac {\ mathrm {L ^ {2}}} {\ mathrm {T ^ {1 }}}} = \ mathrm {L ^ {2}} \ cdot {\ mathrm {T} ^ {- 1}}.}
Čtvereční metr za sekundu , je jednotka odvozená od mezinárodního systému (SI) , je její jednotka .
Výrazy
Průměrná rychlost oblasti je vyjádřena:
NA˙=ΔNAΔt.{\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}}.}Okamžitá rychlost oblasti je vyjádřena:
NA˙=limΔt→0ΔNAΔt=dNAdt=12r2dθdt=12r2θ˙.{\ displaystyle {\ dot {A}} = \ lim _ {\ Delta {t} \ rightarrow {0}} {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} {r ^ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d } t}} = {\ frac {1} {2}} {r ^ {2}} {\ dot {\ theta}}.}Konstantní rychlost oblasti je vyjádřena:
NA˙=ΔNAΔt=dNAdt=VS2,{\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {C} {2}},}kde C je plošná konstanta :VS=r2θ˙.{\ displaystyle C = {r ^ {2}} {\ dot {\ theta}}.}
Geometrická demonstrace
Zvažte trajektorii letadla.
V čase t 0 = 0 je mobil v M 0 . V čase t , je mobilní v M .
Říkáme A oblast snímaná vektorovým paprskem od času t 0 do času t .
Po době z t , poloměr vektor smetla sektor WMO ' = d .
Souřadnice bodu M jsou v kartézských souřadnicích, x a y nebo jiný, v polárních souřadnicích, ρ (pro poloměr) a t Vstup (pro úhel ).
Ty z M ' jsou v kartézských souřadnicích x + d x a y + d y , nebo jinak, v polárních souřadnicích, ρ + d ρ a θ + d θ .
Hodnocení polárních souřadnic
Vyhodnocujeme oblast sektoru OMM ' , která splývá s oblastí trojúhelníku OMM' .
ÓMM′=dNA=12⋅ÓM⋅ÓM′⋅hřích(MÓM′^).{\ displaystyle OMM '= \ mathrm {d} A = {\ frac {1} {2}} \ cdot OM \ cdot OM' \ cdot \ sin ({\ widehat {MOM '}}).}to znamená:
dNA=12ρ(ρ+dρ)hřích(dθ){\ displaystyle \ mathrm {d} A = {\ frac {1} {2}} \ rho (\ rho + \ mathrm {d} \ rho) \ sin (\ mathrm {d} \ theta)}.
Můžeme zanedbávat nekonečně malé d ρ před konečnou veličinou ρ a zaměňovat sinus s nekonečně malým úhlem d θ , protože má limit 1.
hřích(dθ)dθ{\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ mathrm {d} \ theta)} {\ mathrm {d} \ theta}}}
Takto získáme plochu nekonečně malého trojúhelníku OMM ' :
dNA=12ρ2dθ{\ displaystyle dA = {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} \ mathrm {d} \ theta}.
Rychlost oblasti v polárních souřadnicích:
dNAdt=12ρ2dθdt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}.
Vyhodnocení v kartézských souřadnicích
Plocha nekonečně malého trojúhelníku OMM ' je dána determinantem :
dNA=12|XX+dX0yy+dy0001|=12(Xdy-ydX){\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ mathrm {d} A & = {\ frac {1} {2}} {\ begin {vmatrix} x & x + \ mathrm {d} x & 0 \\ y & y + \ mathrm {d} y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {vmatrix}} = {\ frac {1} {2}} (x \ mathrm {d} yy \ mathrm {d} x) \ end {zarovnaný}}}Od kterého odvodíme rychlost oblasti v kartézských souřadnicích:
dNAdt=12(Xdydt-ydXdt){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ vlevo (x {\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} t}} - y {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ vpravo)}
Spojení s momentem hybnosti
Podle definice je moment hybnosti dán pro mobil o hmotnosti m :
L→Ó=mÓM→∧proti→{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {O} = m \, {\ vec {OM}} \ klín {\ vec {v}}}s polohou pohybujícího se těla
a je rychlost pohybujícího se těla.
ÓM→=(Xy0){\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {OM}} & = \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ 0 \ end {matrix}} \ right) \ end {aligned}}}
proti→=(dXdtdydt0){\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {v}} & = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \\ { \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \\ 0 \ end {matrix}} \ right) \ end {zarovnáno}}}
Podle vlastností vektorového součinu ∧ , pohyb v rovině ,
(ÓX→,Óy→){\ displaystyle \ left ({\ vec {Ox}}, {\ vec {Oy}} \ right)}
ÓM→∧proti→=(Xdydt-ydXdt)Óz→{\ displaystyle {\ vec {OM}} \ klín {\ vec {v}} = \ vlevo (x {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} - y {\ frac { \ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ vpravo) {\ vec {Oz}}}Proto:
L→Ó=2mdNAdtÓz→{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {O} = 2 m {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {Oz}}}
dNAdtÓz→=L→Ó2m{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {Oz}} = {\ frac {{\ vec {L}} _ {O}} {2m} }}
Moment hybnosti je tedy množství areolárního pohybu přenášeného na osu kolmou k rovině pohybu.
Historicky byly tyto dva koncepty vyvinuty paralelně vědci Patrice d'Arcy , Daniel Bernoulli a Leonhard Euler na základě podobných pozorování.
Analogie mezi translačním pohybem a areolárním pohybem
Předpokládejme, že hmota m , umístěná na ( x , y , 0) , má přiřazenou sílu, jejíž souřadnice jsou ( F x , F y , 0) . Základní princip dynamiky umožňuje psát:
md2Xdt2=FX{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F_ {x}} (1)
md2ydt2=Fy{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F_ {y}} (2)
Rovnice (1) vynásobená x , poté odečtená od rovnice (2), která byla dříve vynásobena y , umožňuje získat:
m(Xd2y-yd2Xdt2)=XFy-yFX{\ displaystyle m \ left ({\ frac {x \, \ mathrm {d} ^ {2} yy \, \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) = x \, F_ {y} -y \, F_ {x}} (3)
Na jedné straně v levé části rovnice rozpoznáváme druhou derivaci oblasti snímané s ohledem na čas, jinými slovy areolární zrychlení:
(Xd2y-yd2Xdt2)=2d2NAdt2{\ displaystyle \ left ({\ frac {x \, \ mathrm {d} ^ {2} yy \, \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ vpravo) = 2 {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}.
Na druhé straně v pravé části rovnice rozeznáváme moment síly s ohledem na počátek:
XFy-yFX=ÓM∧F=MF/Ó{\ displaystyle x \, F_ {y} -y \, F_ {x} = OM \ klín F = {\ mathcal {M}} _ {F / O}}.
Tuto rovnici (3) lze přepsat:
2md2NAdt2=MF/Ó{\ displaystyle 2m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ mathcal {M}} _ {F / O}}Můžeme si také všimnout, že vynásobení areolárního zrychlení povrchovým prvkem d A vede k diferenciálu druhé mocniny plošné rychlosti:
d(dNAdt)2=2dNAdtd2NAdt=2dNAd2NAdt2=2d2NAdt2dNA{\ displaystyle \ mathrm {d} \ vlevo ({\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} \ vpravo) ^ {2} = 2 {\ frac {\ mathrm {d} A } {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ mathrm {d} A {\ frac {\ mathrm {d } ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = 2 {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ mathrm {d} A}Odtamtud skončíme s diferenciálním tvarem řádu 2, který spojuje druhou mocninu plošné rychlosti a moment síly:
m d(dNAdt)2=MF/ÓdNA{\ displaystyle m \ \ mathrm {d} \ vlevo ({\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} \ vpravo) ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ { F / O} \, \ mathrm {d} A}Nebo poznámkou :
Ž=dNAdt{\ displaystyle {\ mathcal {W}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}}}
m dŽ2=MF/ÓdNA{\ displaystyle m \ \ mathrm {d} {\ mathcal {W}} ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ {F / O} \, \ mathrm {d} A}Pro srovnání, v jednorozměrném translačním pohybu bude zapsán diferenciál druhé mocniny rychlosti:
dproti2=2 proti dproti=2dXdtd2Xdt=2 dX d2Xdt2=2FXdX{\ displaystyle \ mathrm {d} v ^ {2} = 2 \ v \ \ mathrm {d} v = 2 {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} {\ frac { \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ \ mathrm {d} x \ {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d } t ^ {2}}} = 2F_ {x} \ mathrm {d} x}To umožňuje psát základní princip dynamiky jako diferenciálním tvaru řádu 1:
,
12dproti2=FXdX{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mathrm {d} v ^ {2} = F_ {x} \ mathrm {d} x}
jehož tvar je až na faktor 2 podobný vzorci nalezenému v předchozím případě:
mdŽ2=MF/ÓdNA{\ displaystyle m \, \ mathrm {d} {\ mathcal {W}} ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ {F / O} \, \ mathrm {d} A}za předpokladu, že vezmeme areolární rychlost pro rychlost, moment síly pro sílu, prvek plošného povrchu pro elementární posunutí.
Zákon o oblastech
Pokud je rychlost oblasti konstantní, jsou skenované oblasti úměrné času.
Nechť C je konstanta. Pokud je rychlost oblasti konstantní, máme:
ρ2dθdt=VS{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = C}Derivát v čase dává:
2ρdρdt⋅dθdt+ρ2d2θdt2=0{\ displaystyle 2 \ rho {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = 0}Nebo:
ρ(2dρdt⋅dθdt+ρd2θdt2)=0{\ displaystyle \ rho \ left (2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ vpravo) = 0}Nyní je složka zrychlení kolmá na vektor poloměru.
2dρdt⋅dθdt+ρd2θdt2{\ displaystyle 2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}
To ukazuje, že pokud je rychlost plochy konstantní, je složka zrychlení kolmo na vektor poloměru nulová .
Příklady
Mobil popisující elipsu, jejíž plošná rychlost ve středu elipsy je konstantní.
V takové situaci je zrychlení směrem ke středu (tedy síla) úměrné vzdálenosti od středu elipsy. Je to zákon typu Hookeův .
Elipsa má pro rovnici:
{X=nacos(ϕ)y=bhřích(ϕ){\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos (\ phi) \\ y = b \ sin (\ phi) \ end {cases}}}V pravoúhlých souřadnicích derivace časem dává:
{dXdt=-nahřích(ϕ)dϕdtdydt=bcos(ϕ)dϕdt{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {dx} {dt}} = - a \ sin (\ phi) \, {\ frac {d \ phi} {dt}} \\ {\ frac {dy} {dt}} = b \ cos (\ phi) \, {\ frac {d \ phi} {dt}} \ end {případy}}}Rychlost oblasti je tedy zapsána dNAdt=12(Xdydt-ydXdt)=nabdϕdt=VS{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ vlevo (x {\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} t}} - y {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ doprava) = a \, b \, {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = \ mathrm {C}}
Dedukujeme, že úhlová rychlost je konstantní:
dϕdt=VSnab=K.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {C}} {a \, b}} = \ mathrm {K}}odkud ϕ=K.t{\ displaystyle \ phi = \ mathrm {K} t}
Zákon pohybu tedy zní:
{X=nacos(K.t)y=bhřích(K.t){\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos (\ mathrm {K} t) \\ y = b \ sin (\ mathrm {K} t) \ end {případů}}}Na druhou stranu je známo, že plošná rychlost je konstantní, složka zrychlení kolmá na poloměr vektoru je nulová. Pak máme
d2Xdt2=Γnecos(ϕ)=ΓneXρ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = \ Gamma _ {n} \ cos (\ phi) = \ Gamma _ {n } {\ frac {x} {\ rho}}}.
S následujícími notacemi:
Γ n : zrychlení na vektorovém paprsku (tedy směřující ke středu elipsy)
ϕ : úhel mezi vektorem poloměru a osou
x
ρ : vektor poloměru, vzdálenost mezi mobilem a středem elipsy.
To dává:
-naK.2cos(K.t)=Γnenacos(K.t)ρ{\ displaystyle -a \, \ mathrm {K} ^ {2} \ cos (\ mathrm {K} t) = \ gama _ {n} a {\ frac {\ cos (\ mathrm {K} t)} { \ rho}}}
odkud :
Γne=-K.2ρ{\ displaystyle \ Gamma _ {n} = - \ mathrm {K} ^ {2} \ rho}
Mobil popisující elipsu, jejíž areolární rychlost v ohnisku elipsy je konstantní
V takovém případě je zrychlení na vektorovém poloměru úměrné inverzi k druhé mocnině vzdálenosti od ohniska elipsy. Je to zákon typu univerzálního gravitačního zákona . Viz také Keplerovy zákony .
Externí odkaz
- Definice rychlosti oblasti [1]
Reference
-
Journal ,1823, 612 str. ( číst online ) , s. 163.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">