Trubkové okolí

V diferenciální geometrii , je trubkové části z sub-potrubí S jednoho diferenciálního potrubí M je otevřená z M , který obsahuje S a „vypadá jako“ jeho normální svazku .

Definice

Nechť S ⊂ M jsou dvě diferenciální potrubí. Trubkový sousedství S v M se skládá z vektoru svazku E → S a difeomorfismus z E na otevřené U všech M , který nějaký bod y z S je obrazem nulového vektoru z E s .

Zneužíváním jazyka, otevřeného U , ipso facto okolí města S a svazku na S , je také nazýván trubicové sousedství S .

Existence

Věta o tubulárním sousedství - Pro všechna bezokrajová diferenciální potrubí S ⊂ M ( parakompakty třídy C k s k ≥ 1) připouští S tubulární sousedství v M (stejné třídy).

V případě, že okolní potrubí M je euklidovský prostor R n , najdeme takové okolí výběrem, ve svazku normálním k S , otevřené V kolem nulové části, dostatečně malé, aby omezení na V l 'aplikace ( s , v ) ↦ s + v je vložení .

Důkaz subvariety R n

Předpokládejme, že S ⊂ M = R n a označme f mapu NS → R n , ( s , v ) ↦ s + v . V libovolném bodě ( s , 0) sekce NULL NS je rozdíl z f je identita o t s S ⊕ N s S = R n , tedy f je difeomorfismus v okolí tohoto bodu , který je - tj existuje reálné> 0 takové, že f je difeomorfismus

{\ displaystyle V _ {\ delta} (s): = \ {(t, v) \ v NS \ mid \ | ts \ | <\ delta \ quad {\ rm {and}} \ quad \ | v \ | <\ delta \}}

na jeho obraz. Označme pak ε to horní hranice těchto „dobré poloměry delta pro sa “, a předpokládám, že všechny e s jsou konečné (jinak V = NS je správná a důkazem je dokončena).

Pro všechny body s a s'mají z S , od (pro všechny delta> 0)

{\ displaystyle V _ {\ delta} (s) \ podmnožina V _ {\ delta + \ | s'-s \ |} (s '),}

my máme

{\ displaystyle \ forall \ delta> 0 \ quad \ left (\ delta + \ | s'-s \ | <\ varepsilon _ {s '} \ Rightarrow \ delta \ leq \ varepsilon _ {s} \ right),}

to znamená

{\ displaystyle \ varepsilon _ {s '} \ leq \ varepsilon _ {s} + \ | s'-s \ |.}

Funkce s ↦ ε s je tedy spojitá (a dokonce 1-Lipschitian ), takže množina

{\ displaystyle V: = \ {(s, v) \ v NS \ mid \ | v \ | <\ varepsilon _ {s} / 2 \}}

je otevřený NS (který obsahuje nulovou část).

Omezení z f na V je místní difeomorfismus a zbývá ověřit, zda je injektivní. Pokud ( s , v ) a ( s ' , v' ) patří k V a mají stejný obraz do f, pak za předpokladu, že například ε s ' ≤ ε s, pak volba δ přísně mezi ║ v ║ + ║ v' ║ a ε s , odvodíme z

{\ displaystyle \ | s'-s \ | = \ | v-v '\ | \ quad {\ rm {a}} \ quad \ max (\ | v \ |, \ | v' \ |, \ | v -v '\ |) \ leq \ | v \ | + \ | v' \ | <\ delta}

že ( s , v ) a ( s ' , v' ) patří do V δ ( s ), nad nimiž je f injektivní. Jsou si tedy rovni, což uzavírá.

Případ jakékoliv potrubí M je odvozeno z předchozího případu, podle předpokladu, bez újmy na obecnosti , že M je připojen , poté ponořením do euklidovské prostoru a na trubkovém sousedství r : U → M z M v tomto prostoru, přičemž jako okolí s veškerou r ( y + V ) na každých ( s , v ) z NS , jako je s + v patří do u .

Jedinečnost

Trubkový okolí S v M je jedno až isotopy blízkosti , to znamená, že, je-li U 0 a U 1 jsou dva takové sousedství, pak existuje zakotvení U 0 x [0, 1] v M x [0, 1] tvaru ( x , t ) ↦ ( F t ( x ), t ) tak, že F 0 = id U 0 , každé F t fixuje S a F 1 je izomorfismus svazků U 0 → S v U 1 → S .

Reference

(in) Morris W. Hirsch , Diferenciální topologie [ maloobchodní vydání ], str. 109-111 , Th. 5.1 a 5.2, náhled v Knihách Google .
Marco Gualtieri, „ Geometrie a topologie I “ , na University of Toronto ,2012, str. 38. - Hirsch , str. 110, se opírá o plnění své 2,1 7 (str. 41), ale ten se použije pouze v případě, S je uzavřen v M .
Hirsch , str. 110-111.
„ Easy Whitneyova věta “ je dostačující: jakékoli bezokrajové potrubí s početným základem dimenze n připouští vložení do R 2 n +1 - a dokonce i vložení uzavřeného obrazu ( (en) Glen E. Bredon (en) , Topologie a geometrie [ detail vydání ] , str. 92 , Theorem 10.8), takže rozdíl uvedený v předchozí poznámce není prohibitivní.
Hirsch , str. 111-113.

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

(en) Ana Cannas da Silva , Přednášky o symmplektické geometrii , Springer , kol. "Lecture Notes in Mathematics" ( n o 1764)2001( číst online ) , s. 43-45, nebo str. 37-39 tohoto dokumentu 2006 .pdf
(en) Serge Lang , Differential and Riemannian Manifolds , Springer, coll. " GTM " ( n o 160)1995( DOI 10.1007 / 978-3-540-45330-7 , číst online ) , s. 108
(en) Waldyr Muniz Oliva, Geometric Mechanics , Berlin / Heidelberg / New York, Springer,2002, 270 s. ( ISBN 3-540-44242-1 , číst online ) , s. 35-36
(en) Michael Spivak , (Komplexní úvod do) Diferenciální geometrie [ detail vydání ], let. 1, 2 nd ed., P. 465-469 nebo 3 th ed. p. 344-347