Symetrický bilineární tvar

V lineární algebře , je symetrická bilineární forma je bi-forma , která je symetrická . Symetrické bilineární tvary hrají důležitou roli při studiu kvadriku .

Definice

Nechť V je vektorový prostor dimenze n přes komutativního pole K . Aplikace je symetrická bilineární forma v prostoru v případě, ( ): B:PROTI×PROTI→K.{\ displaystyle B: V \ krát V \ až K}∀u,proti,w∈PROTI, ∀λ∈K.{\ displaystyle \ forall u, v, w \ in V, ~ \ forall \ lambda \ v K}

• B(u,proti)=B(proti,u){\ displaystyle B (u, v) = B (v, u)} ;
• B(u+proti,w)=B(u,w)+B(proti,w){\ displaystyle B (u + v, w) = B (u, w) + B (v, w)} ;
• B(λproti,w)=λB(proti,w).{\ displaystyle B (\ lambda v, w) = \ lambda B (v, w).}

Poslední dva axiomy naznačují pouze linearitu vzhledem k „první proměnné“, ale první umožňuje odvodit linearitu vzhledem k „druhé proměnné“.

Příklady

Jakýkoli bodový produkt je symetrický bilineární tvar.

Maticová reprezentace

Je základem vektorového prostoru V . Definujme čtvercovou matici A řádu n pomocí . Matice A je symetrická podle symetrie bilineární formy. Pokud matice x typu představuje souřadnice vektoru v v této základně a analogicky y představuje souřadnice vektoru w , pak se rovná: VS=(E1,...,Ene){\ displaystyle C = (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})} naij=B(Ei,Ej){\ displaystyle a_ {ij} = B (e_ {i}, e_ {j})} (ne,1){\ displaystyle (n, 1)}B(proti,w){\ displaystyle B (v, w)}

tXNAy=tyNAX.{\ displaystyle {} ^ {t} xAy = {} ^ {t} yAx.}

Předpokládejme, že toto je další základna V , uvažujme (invertibilní) přechodovou matici S řádu n ze základny C do základny C ' . Na tomto novém základě je maticová reprezentace symetrické bilineární formy dána vztahem VS′=(E1′,...,Ene′){\ displaystyle C '= (e' _ {1}, \ ldots, e '_ {n})}

NA′=tSNAS.{\ displaystyle A '= {} ^ {t} SAS.}

Ortogonalita a singularita

Symetrická bilineární forma je vždy reflexivní . Podle definice jsou dva vektory v a w kolmé pro bilineární formu B si , což je díky reflexivitě ekvivalentní . B(proti,w)=0{\ displaystyle B (v, w) = 0}B(w,proti)=0{\ displaystyle B (w, v) = 0}

Jádro z bilineární formy B je sada kolmý kteréhokoliv vektoru vektorů V . Je to podprostor of V. . Při práci s maticovou reprezentací A ve vztahu k určitému základu patří vektor v reprezentovaný jeho sloupcovou maticí souřadnic x do jádra právě tehdy , je-li ekvivalentní . NAX=0{\ displaystyle Ax = 0}tXNA=0{\ displaystyle {} ^ {t} xA = 0}

Matice A je neinvertovatelná (neboli „singulární“) právě tehdy, pokud jádro B není redukováno na nulový podprostor .

Pokud W je podprostor V , pak je množina všech vektorů kolmém na jakýkoliv vektor W je také podprostor V . Když je jádro B je triviální , rozměr je . Ž⊥{\ displaystyle W ^ {\ perp}}Ž⊥{\ displaystyle W ^ {\ perp}}ne-slunce⁡(Ž){\ displaystyle n- \ dim (W)}

Ortogonální základny

Základna je pro B ortogonální, pokud: VS=(E1,...,Ene){\ displaystyle C = (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}

∀i≠j,B(Ei,Ej)=0 {\ displaystyle \ forall i \ neq j, B (e_ {i}, e_ {j}) = 0 \}.

Když se charakteristika těla liší od 2, vždy existuje ortogonální základ (viz Kvadratický tvar # Ortogonalita ).

Základna C je ortogonální právě tehdy, když je matice představující B v této základně diagonální .

Sylvesterův zákon o podpisu a setrvačnosti

Ve své nejobecnější podobě Sylvesterův zákon setrvačnosti uvádí, že při práci na uspořádaném poli je počet přísně pozitivních nebo přísně negativních diagonálních prvků nezávislý na zvolené ortogonální základně. Tato dvě čísla tvoří podpis bilineární formy.

Skutečný případ

Při práci na skutečném těle je možné jít trochu dále. Dovolme být ortogonální základ. VS=(E1,...,Ene){\ displaystyle C = (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}

Definujte novou základnu pomocí VS′=(E1′,...,Ene′){\ displaystyle C '= (e' _ {1}, \ ldots, e '_ {n})}

Ei′={Ei-li B(Ei,Ei)=0EiB(Ei,Ei)-li B(Ei,Ei)>0Ei-B(Ei,Ei)-li B(Ei,Ei)<0{\ displaystyle e '_ {i} = \ left \ {{\ begin {matrix} e_ {i} & {\ mbox {si}} B (e_ {i}, e_ {i}) = 0 \\ {\ frac {e_ {i}} {\ sqrt {B (e_ {i}, e_ {i})}}} & {\ mbox {si}} B (e_ {i}, e_ {i})> 0 \\ {\ frac {e_ {i}} {\ sqrt {-B (e_ {i}, e_ {i})}}} & {\ mbox {si}} B (e_ {i}, e_ {i}) < 0 \ end {matrix}} \ right.}

Matice B v této nové bázi je diagonální matice, která má na své úhlopříčce pouze 0s, 1s nebo –1s. Na diagonále se zobrazí 0, pokud a pouze pokud je jádro netriviální.

Složitý případ

Při práci na poli komplexních čísel můžeme dosáhnout výsledku podobného výsledku ve skutečném případě.

Dovolme být ortogonální základ. VS=(E1,...,Ene){\ displaystyle C = (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}

Pro všechny takové označte jednu z odmocnin . i∈{1,...,ne}{\ displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, n \}}B(Ei,Ei)≠0{\ displaystyle B (e_ {i}, e_ {i}) \ neq 0}ri{\ displaystyle r_ {i}}B(Ei,Ei){\ displaystyle B (e_ {i}, e_ {i})}

Definujte novou základnu pomocí VS′=(E1′,...,Ene′){\ displaystyle C '= (e' _ {1}, \ ldots, e '_ {n})}

Ei′={Ei-li B(Ei,Ei)=0Ei/ri-li B(Ei,Ei)≠0{\ displaystyle e '_ {i} = \ left \ {{\ begin {matrix} e_ {i} & {\ mbox {si}} \; B (e_ {i}, e_ {i}) = 0 \\ e_ {i} / r_ {i} & {\ mbox {si}} \; B (e_ {i}, e_ {i}) \ neq 0 \\\ end {matrix}} \ right.}

Matice B v tomto novém základu je diagonální matice, která má na diagonále pouze 0 nebo 1. 0 se zobrazí, pouze pokud je jádro netriviální.

Reference

• (fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „  Symetrická bilineární forma  “ ( viz seznam autorů ) .
• (en) Kanonický základ pro symetrické bilineární tvary na PlanetMath
• René Deheuvels , Kvadratické formy a klasické skupiny , PUF

Související článek

Poustevnická forma

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">