Skupinové zastoupení

V matematiky , je reprezentace skupina popisuje skupinu, tím, že se působí na vektorovém prostoru v lineárním způsobem . Jinými slovy, snažíme se na skupinu nahlížet jako na skupinu matic , tedy výrazovou reprezentaci . Můžeme tedy z relativně dobře známých vlastností skupiny automatorfismů vektorového prostoru dospět k odvození některých vlastností skupiny.

Toto je jeden z důležitých konceptů teorie reprezentace .

Definice

Nebo G skupinu, K komutativní pole a V vektorový prostor přes K . Říkáme zastoupení skupiny G lineární akční z G na V , jinými slovy morphism skupin z G na lineární skupiny GL ( V ) . Přesněji řečeno, je to aplikace

ρ : G→GL(PROTI)jakoρ(G1)∘ρ(G2)=ρ(G1G2).{\ displaystyle \ rho ~: ~ G \ to \ mathrm {GL} (V) \ quad {\ text {takový, že}} \ quad \ rho (g_ {1}) \ circ \ rho (g_ {2}) = \ rho (g_ {1} g_ {2}).}

Takže mapa ρ z G v prostoru endomorphisms z V, které splňují p ( g 1 ) ∘ρ ( g 2 ) = ρ ( g 1 g 2 ), je ve skutečnosti s hodnotami v GL ( V ), stačí, aby jeden z ρ ( g ) je automorfismus.

Abychom zapsali akci prvku g skupiny na prvek v vektorového prostoru prostřednictvím reprezentace ρ, někdy označíme ρ ( g ) ( v ), ρ ( g ). v nebo dokonce gv, pokud neexistuje dvojznačnost. Někdy označujeme reprezentaci ( V , ρ). Někdy také je, že (a nesprávně), že V je reprezentace G .

Morfismus reprezentací G , nebo „prokládání operátor“, od znázornění ( V , p) k reprezentaci ( W , å), je K -lineární Pro φ od V do W tak, že pro každou g patřící do na G my máme

φ∘ρ(G)=σ(G)∘φ.{\ Displaystyle \ varphi \ circ \ rho (g) = \ sigma (g) \ circ \ varphi.}

Φ se říká také, že pak je morfismus G -équivariant z V v W .

Důležitým případem je, že kde φ je izomorfismus  : reprezentace ( V , ρ) a ( W , σ) jsou považovány za izomorfní nebo ekvivalentní, pokud existuje izomorfismus φ od V do W, což je G -ekvivariant, tj. - tj. které splňuje pro jakékoli g patřící do G  :

ρ(G)=φ-1∘σ(G)∘φ.{\ displaystyle \ rho (g) = \ varphi ^ {- 1} \ circ \ sigma (g) \ circ \ varphi.}

V a W pak mají stejnou dimenzi .

Příklady

• Reprezentace jednotka z G na pravé vektoru K je, že každý prvek G přidruží identitu a K .
• Pokud G je podskupina GL n ( K ), G přirozeně působí na K n . Přidružená reprezentace se nazývá standardní reprezentace.
• Jestliže G je cyklická skupina hotový ℤ / n ℤ, data reprezentace G na V, je ekvivalentní k výběru položky f GL ( V ) tak, že f n = id V .
• Z akce G na množině X můžeme definovat reprezentaci G na prostoru K X map X v K tak , že představujeme:(ρ(G)(F))(X)=F(G-1.X){\ displaystyle \ left (\ rho (g) (f) \ right) (x) = f (g ^ {- 1} .x)}a omezit jej na různé stabilní podprostory , například:
  • podprostor K ( X ) namapování konečných podporu, jejichž kanonické základ (δ x ) x ∈ X (kde δ značí symbol Kronecker  : δ x ( y ), je roven 1 pro y = x , a je rovno 0 pro druhé y ∈ X ) je permutován každým prvkem skupiny: ρ ( g ) (δ x ) = δ gx . Pro levou akci G na sebe se odpovídající reprezentace G na K ( G ) nazývá levá pravidelná reprezentace G  ;
  • podprostor spojitých funkcí na X. , pokud G je topologické skupinu a X topologický prostor a v případě, že akce je kontinuální , nebo i když máme jen pro všechny g ∈ G , kontinuita mapy X → X , x ↦ gx .

Glosář reprezentací

• Jako každá akce skupiny, zastoupení se říká, že věrný  (v) v případě, že morfismus ρ je injective . Tato představa se liší od věrného modulu  : K- vektorový prostor reprezentace je modulem na algebře K [ G ] skupiny G ( viz níže ), pokud je tento modul věrný, pak reprezentace G je věrná, ale konverzace je falešná.
• Znázornění se říká, že matice , pokud je prostor V je ve tvaru K n pro určitý přirozené číslo n , přičemž v tomto případě se skupina (GL ( V ), ∘) je canonically identifikován s skupinou GL n ( K ) z náměstí matice d 'pořadí n s invertibilními koeficienty v K (jinými slovy: nenulový determinant ), poskytnuté s maticovým součinem . Prostřednictvím této identifikace, dvě reprezentace maticí R a S jsou ekvivalentní tehdy a jen tehdy, když existuje regulární matice P tak, že pro každý prvek g z G , R g = P -1 S g P .
• Rozměr of V se nazývá stupeň reprezentace. Jestliže V je konečného rozměru n (což je vždy implicitně předpokládá v teorii reprezentací konečné skupiny ), reprezentace je ekvivalentní k reprezentaci matice, přes libovolný výběr izomorfismus cp o K n v V .

Detaily

Nechť (e i ) i = 1, ..., n bude se obraz cp z kanonického základě části K n . Data z tohoto základu o V umožňuje spojit s každým endomorfismů A z V, čtvercovou matici řádu n , jejíž koeficienty A ij jsou prvky K uvedeno v následující rovnosti:

∀j∈[[1;ne]]na(Ej)=∑i=1nenai,j⋅Ei{\ displaystyle \ forall j \ in [\! [1; n] \!] \ quad a (e_ {j}) = \ součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, j} \ cdot e_ {i}}

Aplikace pro endomorphism o přidružených matice definované dříve je izomorfismus kroužků , z kruhového L ( V ) z endomorphisms z V, v tom, že M n ( K ), ze čtvercových matic, aby n s koeficienty v K . Tento morfismus indukuje skupinový izomorfismus mezi skupinami invertiblů těchto dvou kruhů: skupinami GL ( V ) a GL n ( K ). Kompozicí s izomorfismem této skupiny je jakákoli reprezentace G na V ekvivalentní maticové reprezentaci, s φ pro prokládání izomorfismu.

• Nízké zastoupení kyseliny ( V , p ) je reprezentace ( W , σ) získaný omezení na podprostoru W stabilní působením G .

Detaily

Předpokládáme, že pro jakýkoli prvek g z G je W stabilní vůči ρ ( g ). Pak je možné definovat jednotlivé endomorfismů å ( g ) z W jako omezení p ( g ) na W . Σ ( g ) ověřovat σ ( g 1 ) ∘σ ( g 2 ) = σ ( g 1 g 2 ) a obraz o å na neutrální prvek z G je omezení na W o identitě z V , a proto je totožnost W , což je automorphism W . K dostatečné podmínky jsou splněny, takže σ je reprezentace G na W .

• Reprezentace nenulového stupně je považována za neredukovatelnou, pokud nepřipouští jiné subreprezentace než sama sebe a reprezentaci nultého stupně, jinými slovy pokud V nemá působením G stabilní vlastní podprostor . Z matematického hlediska to znamená, že nemůžeme najít základ, ve kterém je reprezentace G dána maticemi, které mají stejnou horní trojúhelníkovou blokovou strukturu (s alespoň dvěma diagonálními bloky).
• Přímý součet z rodiny reprezentací ( V i , ρ i ) ze G je reprezentace ρ na vektorovém prostoru přímý součet z V, I definovanou: p ( g ) = ⊕ i ρ i ( g ). Z maticového hlediska to znamená, že srovnáním bází V i za účelem vytvoření základu jejich přímého součtu je reprezentace ρ tvořena diagonálními maticemi v blocích, přičemž každý blok odpovídá jedné z reprezentací ρ i .
• Reprezentace je považována za zcela redukovatelnou, pokud se jedná o přímý součet neredukovatelných reprezentací.
• Dvě reprezentace se považují za disjunktní, pokud nemají společnou neredukovatelnou složku nebo pokud mezi nimi není nenulový morfismus.
• Jestliže V je Hilbertův prostor , jehož skalární součin je neměnný působením G , říkáme, že reprezentace je unitární  (v) .
• Jestliže G je topologická skupina a V je topologický vektorový prostor , ρ je kontinuální lineární znázornění z G v případě, že mapa G x V → V , ( g , v ) ↦ GV je kontinuální .

Spojení s K [ G ] moduly

K algebra z G , označené K [ G ] a skládá se z konečné lineární kombinace formální prvků G s koeficienty v K je K asociativní algebry jejichž množení přirozeně rozšiřuje zákon skupiny G .

Potom můžeme rozšířit, a to jedinečným způsobem, reprezentaci ρ v morfismu K- algeber od K [ G ] do konce ( V ), nastavením

ρ(∑G∈GnaGG)=∑G∈GnaGρ(G).{\ displaystyle \ rho \ left (\ sum _ {g \ in G} a_ {g} g \ right) = \ sum _ {g \ in G} a_ {g} \ rho (g).}

Díky tomu je modul V a K [ G ] . Také se říká, že V je G- modul (en) .  

Naopak, daný K [ G ] -module poskytuje znázornění G .

Prostřednictvím tohoto „slovníku“:

• morfismus reprezentací odpovídá morfismu K [ G ] modulů;
• pravidelné vyjádření (srov. část „Příklady“ výše) odpovídá přirozené struktuře K [ G ], která je viděna jako modul vlevo na sobě;
• vyobrazení ( V , ρ) je nesnížitelný tehdy a pouze tehdy, když V je jednoduché, jako K [ G ] -module;
• je zcela redukovatelný právě tehdy, je - li V semi-simple .

Neredukovatelnost

Skutečnost, že bereme v úvahu neredukovatelné reprezentace, umožňuje výrazně zjednodušit určité úvahy: například podle Schurova lematu je morfismus mezi dvěma jednoduchými moduly buď nulový, nebo invertibilní.

Dokáže často přivést studium reprezentací G ke studiu jeho neredukovatelných reprezentací: pokud V není neredukovatelné, můžeme vždy uvažovat podprostor V, který je v G stabilní . Pokud má V konečnou dimenzi, můžeme nakonec najít jednoduchý submodul.

Maschke věta  -  Jestliže G je konečná skupina , jejíž pořadí není dělitelný charakteristikou z K , pak každý K [ G ] -module je semi-jednoduché (nebo ekvivalentně: všechna reprezentace G na K -vector prostoru je zcela redukovatelné) .

Tato věta je částečně zobecněna na spojité reprezentace kompaktních skupin .

Pokud G je konečná skupina, jakákoli složitá neredukovatelná reprezentace (konečného stupně) G je ekvivalentní nedostatečnému zastoupení pravidelné reprezentace.

Podívejte se také

• Projektivní zastoupení
• Afinní zastoupení  (v)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">