Euler-Lagrangeova rovnice

Euler-Lagrangeova rovnice (v angličtině, Euler-Lagrangeova rovnice nebo ELE ) je matematickým výsledkem , který hraje zásadní roli při výpočtu změn . Tato rovnice se nachází v mnoha problémech s minimalizací délky oblouku , jako je brachistochronový problém nebo dokonce geodetické problémy . Je pojmenována po Leonhardovi Eulerovi a Joseph-Louis Lagrangeovi .

Zápisy

$E se$ označují normalizovaný vektorový prostor , $[ t 0 , t 1 ]$ skutečný interval , a afinní prostor z funkcí $x$ $: [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $] \to$ $E$ z třídy C 1 tak, že tam, kde $x$ $0$ $,$ $x$ $1$ jsou dva vektory sada $E$ . ${\ mathcal {G}}$ ${\ displaystyle x \ left (t_ {i} \ right) = x_ {i}}$

Vektor odvozený z funkce v bodě $t$ $\in [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $]$ je označen . ${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} (t)}$

Dáme si také třídní funkci C 1 . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}: \ left [t_ {0}, t_ {1} \ right] \ times E ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$

Jsou zaznamenány jeho tři proměnné (což pravděpodobně povede k záměně s předchozí notací, ale je běžně používáno), jsou zaznamenány jeho tři dílčí diferenciální aplikace ${\ displaystyle t, x, {\ dot {x}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné t}}}$ (od v ) a ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ krát E ^ {2}}$ $\ mathbb {R}$
${\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné x}}, {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ dot {x}}}} }$ (z v $E '$ je dvojí z $E$ ). ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ krát E ^ {2}}$

Když je skládáme funkcí pro danou funkci , získáme tři funkce definované na $[$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $]$ (opět s hodnotami v , $E '$ a $E'$ ), které obvykle označujeme stejným způsobem ( i když je to opět matoucí), což dává oběma funkcím smysl ${\ displaystyle \ left [t_ {0}, t_ {1} \ right] \ to \ mathbb {R} \ krát E ^ {2}, \; t \ mapsto \ left (t, x (t), {\ tečka {x}} (t) \ vpravo)}$ ${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}$ $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné x}} {\ text {et}} {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ tečka {x}}}}: \ left [t_ {0}, t_ {1} \ right] \ to E '}

Státy

Nechť $J$ je funkce definovaná na : ${\ mathcal {G}}$

{\ displaystyle J (x) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ mathcal {L}} \ left (t, x (t), {\ dot {x}} (t ) \ right) \, \ mathrm {d} t}

Pro každý stacionární funkci pro $J$ , je diferencovatelná a ${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}$ ${\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný {\ dot {x}}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac { \ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ tečka {x}}}} \ vpravo) = 0}

. Částečná demonstrace

Důkaz, který následuje, je ohlášen jako „částečný“, protože předpokládá, že je a je třídy C 1 (v takovém případě je zajištěna rozlišitelnost od začátku). Pro důkaz, který předpokládá pouze to a je třídy C 1 , viz použití lemma Du Bois-Reymond na výpočet variací . $\ tečka x$ ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ tečka {x}}}}}$ ${\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ tečka {x}}}} \ vlevo (t, x (t), {\ tečka {x}} ( t) \ vpravo)}$ $X$ ${\ mathcal {L}}$

Výraz „stacionární“ v prohlášení znamená: splnění Eulerovy podmínky , která je nezbytnou podmínkou pro to, aby funkce učinila funkční extrémní (v tomto důkazu omezeno na funkce třídy C 2 ). $X$ $J$ ${\ mathcal {G}}$

Tato Eulerian stav je napsán :, pro všechny funkce $h$ $: [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $] \to$ $E$ (z třídy C 2 ) nulová $t$ $0$ a $t$ $1$ . Zlato ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = 0}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left (\ left \ langle {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné x}}, h \ right \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečný {\ dot {x}}}}, {\ dot {h}} \ pravý \ rangle \ pravý) \, \ mathrm {d} t}

(kde je dvojitá závorka )

{\ displaystyle \ langle ~, ~ \ rangle: E '\ krát E \ to \ mathbb {R}}

a druhý člen integrálu je vyjádřen díky integraci po částech (povolený dalšími předpoklady pravidelnosti) ve formě

{\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ levá \ langle {\ frac {\ částečná {\ mathcal {L}}} {\ částečná {\ tečka {x}}}}, {\ dot {h}} \ pravý \ rangle \, \ mathrm {d} t = \ levý [\ levý \ langle {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný {\ dot {x} }}}, h \ right \ rangle \ right] _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ dot {x}}}}} vpravo), h \ right \ rangle \, \ mathrm {d} t}

Háček je nula, protože $h ( t 0 ) = h ( t 1 ) = 0$ , proto je zapsána Eulerova podmínka:

{\ displaystyle 0 = {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0} } ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ dot {x}}}} \ right), h \ right \ rangle \, \ mathrm {d} t}

Použitím základního lematu variačního počtu odvodíme:

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac { \ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ tečka {x}}}} \ vpravo) = 0}

Příklad

Příkladem je použití Fermatova principu . Cílem je určit rovinnou optickou cestu , jejíž souřadnice jsou zaznamenány vodorovně $t$ a svisle x , aby byly v souladu se zápisy výše uvedeného tvrzení. Světelný paprsek prochází vakuem, s výjimkou zóny odpovídající hodnotám $t$ umístěným mezi –1 a 1. V tomto pásmu se předpokládá, že index $n t$ již není roven 1, ale 1 / | t |. Mezi dvěma pásmy má optická cesta délku :

{\ displaystyle \ mathrm {L} = \ int _ {- 1} ^ {1} f \ left (t, x (t), {\ dot {x}} (t) \ right) \, \ mathrm {d } t \ quad {\ text {with}} \ quad f (t, x, y) = n_ {t} {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} {| t |}}}

Protože zde Euler-Lagrangeova rovnice uvádí, že parciální derivace $f$ vzhledem k její třetí proměnné je konstanta, zde uvedená $C$ , je-li aplikována na proměnné $t$ , $x$ a její derivaci. Získáváme: ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} = 0}$

{\ displaystyle C = {\ frac {\ částečný f} {\ částečný {\ dot {x}}}} = {\ frac {\ dot {x}} {| t | {\ sqrt {1 + {\ dot { x}} ^ {2}}}}} \ quad {\ text {proto}} \ quad {\ dot {x}} ^ {2} = C ^ {2} t ^ {2} (1 + {\ dot {x}} ^ {2})}

Tento výsledek se zapíše znovu nastavením $u = C | t |$ :

\ dot x = \ frac {u} {\ sqrt {1 - u ^ 2}}

Rozeznáváme rovnici části cykloidu .

Beltrami Identity

Častým zvláštním případem je situace, kdy je funkce nezávislá na $t$ . Důsledkem Euler-Lagrangeovy rovnice je pak identita Beltrami : ${\ mathcal {L}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ dot {x}}}} {\ dot {x}} = C}

Písmeno $C$ označuje skutečnou konstantu, což je také Legendreova transformace funkce $f$ vzhledem k proměnné . ${\ textstyle \ dot {x}}$

Demonstrace

Za předpokladu dvakrát diferencovatelnosti odvodíme levou stranu Beltramiho identity: $X$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ mathcal {L}} - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ dot {x}}}} {\ dot {x}} \ vpravo) = {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ dot {x}}}} {\ ddot {x}} - \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ tečka {x}}}} \ doprava) {\ tečka {x}} + {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ dot {x}}}} {\ ddot {x}} \ pravé) = \ levé ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné {\ dot {x} }}} \ right) \ right) {\ dot {x}} = 0}

Slavným historickým příkladem je brachistochronní křivka . Položená otázka se rovná nalezení křivky spojující bod A s bodem B, který se nachází v nižší nadmořské výšce, jako je materiálový bod začínající z bodu A bez počáteční rychlosti a posunutí bez tření na křivce se co nejrychleji spojí s bodem B .

Když je homogenní funkcí proměnné , naznačuje Eulerova věta aplikovaná na Beltramiho identitu . ${\ mathcal {L}}$ $\ tečka x$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = C}$

externí odkazy

(en) Eric W. Weisstein , „ Euler-Lagrangeova diferenciální rovnice “ , na MathWorld