Normovaný lineární prostor ( EVN ) je vektorový prostor opatřen normou .
Tato matematická struktura rozvíjí geometrické vlastnosti vzdálenosti kompatibilní s operacemi lineární algebry . Tento pojem, který vyvinuli zejména David Hilbert a Stefan Banach , je zásadní v analýze a konkrétněji ve funkční analýze s využitím Banachových prostorů, jako jsou prostory L p .
Nechť K je komutativní pole obdařené absolutní hodnotou a není diskrétní (například pole realů nebo komplexů ).
Definice - O K- vektorovém prostoru E se říká, že je normalizován, když je opatřen normou, tj. Aplikací
splnění následujících hypotéz:
Pokud nehrozí dvojznačnost, zaznamená se norma prvku x ║ x ║.
(Uzavřený) jednotka koule z E je množina vektorů s normou menší než nebo roven 1.
Poznámka . V těchto příkladech není příliš obtížné ověřit, že norma 1 nebo ∞ je skutečně normou. Pro normu 2 je to důsledek Cauchy-Schwarzovy nerovnosti . Pro libovolné p je trojúhelníková nerovnost, která nese název Minkowského nerovnosti , skrytější.
Libovolný vektorový podprostor normalizovaného vektorového prostoru je normalizován omezením normy.
Nechť ( E , ║ ∙ ║ E ) a ( F , ║ ∙ ║ F ) dva normalizované vektorové prostory, pak mapa ║ ∙ ║ E × F definovaná následující rovností je normou vektorového prostoru produktu E × F :
Nechť F být subspace vektor vektorového normovaný prostor E . Definujeme mapu ║ ∙ ║ E / F na vektorovém prostoru kvocientu E / F pomocí:
,kde d je vzdálenost na E (a na jejích částech) vyvolaná normou.
Property - Mapa ║ ∙ ║ E / F je semi-norm na podíl E / F vektorový prostor . Je normou, právě když je F uzavřeno .
DemonstracePodle topologické vlastnosti kvocientu , lineární mapa f z E do normovaného vektorový prostor G je spojitá tehdy a jen tehdy, pokud je kanonický lineární injekce f o E / ker ( f ) do G , kterým f zohledněn je kontinuální. ( pak mají stejný standard ).
Jak ukazuje článek o normě , norma ve vektorovém prostoru indukuje vzdálenost, proto topologie , pro kterou jsou sčítání a vnější násobení spojité , což přináší mnoho vlastností , například: adheze jakéhokoli subvektorového prostoru je vektorový podprostor a (pro skutečný vektorový prostor) jsou konvexní adheze a vnitřek konvexní části .
Pro jakýkoli vektorový podprostor F se topologie indukovaná topologií prostoru shoduje s topologií vyplývající z jeho vzdálenosti, a tedy z jeho normy (omezení těch na celý prostor): je to obecná vlastnost metrických prostorů a jejich podprostorů.
Konfigurace je stejná jako produkt v dvě mezery E a F . Pro dříve definovanou normu ║ ∙ ║ E × F nejsou koule středu ( x , y ) a poloměrů r > 0 (které tvoří základ sousedství ( x , y ) pro topologii spojenou s touto normou) nejsou jiné než B ( x , r ) × B ( y , r ), proto také tvoří základ sousedství pro topologii produktu . Všimněte si adekvátnosti definice ║ ∙ ║ E × F z ║ ∙ ║ E a ║ ∙ ║ F , což by se apriori mohlo zdát libovolné. Všimněme si ale, že stejnou topologii na E × F získáme nastavením ║ ( x , y ) ║ E × F = N (║ x ║ E , ║ y ║ F ), kde N je libovolná norma na ℝ 2 , například Jeden z obvyklých standardů zmíněných výše. Důvodem je, že N je vždy ekvivalentní zde použité maximální normě.
U kvocientu E / F zůstává situace podobná . Ve skutečnosti, pokud je φ kanonická projekce E v E / F , základ sousedství φ ( x ) pro topologii kvocientu se skládá z φ (B (x, r)) (pro r > 0), které se přesně shodují s koule (v E / F , pro indukovanou semi-normu) se středem φ ( x ) a poloměrem r .
Topologie indukovaná na podprostoru, produkt prostorů nebo kvocient se tedy shoduje s topologií vyplývající z indukované normy (nebo indukované polonormy, v případě kvocientu neuzavřeného podprostoru).
Ohraničený operátor dvou normalizovaných vektorových prostorů je prostě kontinuální lineární mapa . Toto dvojí označení je odůvodněno následujícím návrhem:
Tvrzení - Nechť E a F jsou dva K- normalizované vektorové prostory. Pro lineární mapu f z E na F jsou ekvivalentní následující vlastnosti:
Normou Provozovatel takového f je nejmenší konstanta C, tak, že f je C -lipschitzian.
Pokud je lineární mapa f od E do F spojitá, pak je její jádro uzavřeno (protože se jedná o inverzní obraz uzavřené {0} spojitou mapou f ). Konverzace je nepravdivá (dokonce snadno sestavíme nekontinuální lineární injekce ). Pokud však f má konečnou hodnost a má uzavřené jádro N, pak f je spojité (ve skutečnosti je to potom zohledněno aplikací f z E / N na F, která je spojitá, protože lineární na normovaném vektorovém prostoru konečné dimenze ).
Ve vektorovém prostoru L ( E , F ) lineárních map od E do F je vektorový podprostor těch, které jsou spojité, označen ℒ ( E , F ). Norma operátora z něj dělá normalizovaný vektorový prostor.
Úplný K- normovaný vektorový prostor - to znamená, že každá Cauchyova sekvence konverguje - nese název „Banachův prostor“. Normalizovaný vektorový prostor nemusí být nutně úplný:
Tvrzení 1 - Žádný skutečný normovaný vektorový prostor spočetné nekonečné dimenze není úplný.
Dokončení normalizovaného vektorového prostoru má ve srovnání s dokončením jednoduchého metrického prostoru další vlastnosti :
Tvrzení 2 - Pro jakýkoli normovaný vektorový prostor E existuje Banachův prostor E c a lineární izometrie J , od E do E c , jehož obraz je v E c hustý .
Obecně je E identifikováno se svým obrazem J ( E ) v E c . E se tedy jeví jako vektorový podprostor E c a norma na E indukovaná normou E c se shoduje s původní normou na E, protože J je izometrie.
Nahrazení prostoru E jeho doplňkem E c nemění prostor spojitých lineárních map z E na F, pokud je F kompletní (tato vlastnost umožňuje ukázat, že předchozí návrh charakterizuje normalizovaný vektorový prostor E c s blízkým izomorfismem). Obecněji :
Tvrzení 3 - Nechť G je normalizovaný vektorový prostor, E hustý vektorový podprostor a F Banachův prostor. Pro normu operátorů je pak mapa „omezení“ od ℒ ( G , F ) do ℒ ( E , F ) izometrický izomorfismus.
Úplnost F se „přenáší“ do prostoru spojitých lineárních map s hodnotami v F :
Tvrzení 4 - Nechť E a F jsou dva normalizované vektorové prostory. Pokud je F úplné, pak je prostor ℒ ( E , F ) obdařený normou operátorů úplný.
DemonstraceTato věta říká, že (uzavřená) jednotková koule skutečného normovaného vektorového prostoru E je kompaktní právě tehdy, když E má konečnou dimenzi.
Uzavřená jednotková koule skutečného normovaného vektorového prostoru nekonečné dimenze je tedy vždy nekompaktní.
Uzavřená jednotková koule jeho topologické duální (také nekonečné dimenze) je však * - slabě kompaktní, to znamená kompaktní pro slabou topologii - * : viz teorém Banach-Alaoglu-Bourbaki .
O prostoru se říká, že je prehilbertiánský, pokud má normu odvozenou od skalárního součinu, aniž by nutně byl úplný (úplný prehilbertiánský prostor je Hilbertův prostor ). Fréchet-von Neumann-Jordan věta charakterizuje tyto normy: jsou ty, které ověřuje identitu rovnoběžníku . Tato identita je pak znovu ověřena v dokončeném, což je tedy přirozeně Hilbertův prostor (můžeme ho vidět příměji kontinuálním rozšiřováním skalárního součinu na dokončený, Cauchyovou kontinuitou nebo polarizační identitou ).
Nechť E být vektorový prostor dimenze Finite n o R .
Georges Skandalis , topologie a analýza 3 rd rok , Dunod Sb. "Sciences Sup", 2001
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">