Monge-Ampereova rovnice

V matematice je (reálná) rovnice Monge - Ampère nelineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Druhý příkaz parciální diferenciální rovnice neznámé funkce u dvou proměnných Ix , y je Monge - Ampère, pokud je lineární v pytloviny matrici z u a v jeho determinant . Rovnice může také zahrnovat nezávislé proměnné, stejně jako hodnoty u a jeho gradient. Historicky, nezávislé proměnné ( x , y ) se mění v průběhu domény D z R 2 . Ale dnes tuto rovnici uvažujeme v případě n nezávislých proměnných. Nejúplnější výsledky byly získány, když je rovnice eliptická .

Rovnice Monge - Ampère hrají důležitou roli v diferenciální geometrii , například v Weylových a Minkowského problémech v diferenciální geometrii povrchů . Poprvé je studoval Gaspard Monge v roce 1784 a později André-Marie Ampère v roce 1820. Důležité výsledky teorie přinesli Serge Bernstein , Alexandre Alexandrov , Aleksei Pogorelov, Charles Fefferman , Louis Nirenberg a Alessio Figalli .

Popis

Vzhledem k tomu, dvě nezávislé proměnné xay a závislá proměnná u, nejjednodušší forma Monge-Ampere rovnice je

{\ displaystyle L [u] = A (u_ {xx} u_ {yy} -u_ {xy} ^ {2}) + Bu_ {xx} + 2Cu_ {xy} + Du_ {yy} + E = 0,}

kde A , B , C , D a E jsou funkce, které závisí na proměnných prvního řádu x , y , u , u x a u y .

Rellichova věta

Nechť Ω je uzavřená doména R 3 a předpokládejme, že na Ω jsou A , B , C , D a E pouze spojité funkce x a y. Zvážit Dirichletův problém najít u tak, že

{\ displaystyle L [u] = 0, \ quad {\ text {on}} \ \ Omega}

{\ displaystyle u | _ {\ částečné \ Omega} = g.}

Ano

{\ displaystyle BD-C ^ {2} -AE> 0,}

pak má Dirichletův problém nanejvýš dvě řešení.

Eliptické výsledky

Předpokládejme nyní, že x je proměnná s hodnotami v R n a že f ( x , u , Du ) je pozitivní funkce. Pak je napsána Monge-Ampereova rovnice:

{\ displaystyle L [u] = \ det D ^ {2} uf (\ mathbf {x}, u, Du) = 0 \ qquad \ qquad (1)}

kde Du je gradient u a D 2 u pytlovina u . Je to eliptická parciální diferenciální rovnice (linearizace je eliptická), pokud se omezíme na konvexní řešení.

Operátor L splňuje podmínky maximálního principu, když f roste s ohledem na proměnnou u . Konvexní řešení Dirichletova problému jsou jedinečná, pokud existují. S ohledem na existenci se obecně předpokládá, že doména D je sama o sobě konvexní.

Aplikace

Monge-Ampereova rovnice zasahuje do problémů afinní geometrie, diferenciální geometrie. Jednou z aplikací je Minkowského problém: Nechť je skutečnou funkcí K definovanou na doméně Ω R n , tento problém spočívá ve stanovení hyperplochy R n +1 s rovnicí z = u ( x ), x ∈ Ω takovou, že ' v každém z těchto bodů ( x , u ( x )) Tento Gaussian zakřivení je K ( x ) . Výsledná diferenciální rovnice je

{\ displaystyle \ det D ^ {2} uK (\ mathbf {x}) (1+ | Du | ^ {2}) ^ {(n + 2) / 2} = 0,}

Bibliografie

Alessio Figalli, The Monge-Ampère Equation and its Applications , Zurich Lectures in Advanced Mathematics, European Mathematical Society, 2017
Alessio FIGALLI, The Monge-Ampère Equation , BOURBAKI Seminar, 70th year, 2017–2018, n ° 1148, červen 2018

Podívejte se také

Complex Monge - Ampérova rovnice

Reference

Gaspard Monge , Monografie Akademie věd , Paříž, Francie, Imprimerie Royale,1784, 118–192 s. „Disertační práce na integrálním počtu parciálních diferenciálních rovnic“
André-Marie Ampère , Monografie obsahující aplikaci teorie vystavené v XVII. e Cahier du Journal de l'École polytechnique, o integraci parciálních diferenciálních rovnic prvního a druhého řádu , Paříž, De l'Imprimerie royale,1819( číst online )
R. Courant a D. Hilbert , Metody matematické fyziky , sv. 2, Interscience Publishers,1962, str. 324