Logická rovnocennost

V klasické logiky , dvě tvrzení P a Q jsou nazývány logicky ekvivalentní nebo prostě ekvivalent , kdy je možné odvodit Q z P a vyvozovat P od Q . Při výpočtu propozic to znamená, že P a Q mají stejnou hodnotu pravdy : P a Q jsou buď pravdivé, nebo obě nepravdivé. Logická rovnocennost je často vyjádřena ve formě právě tehdy, v rámci, jako je výuka nebo metamatematika , mluvit o vlastnostech samotné logiky, nikoli o logickém konektoru, který spojuje dva výroky.

Vztah logické ekvivalence mezi výroky úzce souvisí s konektorem ekvivalence, často označovaným noted nebo ↔, který lze definovat (velmi obecně, jak v klasické logice, tak například v logice intuicionisty ) jako spojku implikace l ' P ⇒ Q („ Q pokud P “) a jeho vzájemné Q ⇒ P ( Q pouze pokud P ), to znamená (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).

Tvrzení, že P ⇔ Q znamená, že P a Q jsou ekvivalentní. Jinak řečeno (v klasické logice) má tvrzení P ⇔ Q hodnotu „true“, když P a Q jsou logicky ekvivalentní, a to pouze v tomto případě. V logice je někdy vztah ekvivalence zaznamenán ≡ (notace ⇔ nebo ↔ je vyhrazena pro konektor).

V elektronice se podobná funkce nazývá včetně AND ; toto je symbolizováno znaménkem „⊙“.

Ekvivalence v jazyce matematiky

V matematických textech vyjadřujeme, že dva výroky P a Q jsou ekvivalentní:

P právě tehdy, když Q (někdy zkráceně jako P iff Q );
Pro P , je nezbytné a dostatečné , že Q ;
Nutné a postačující podmínkou (CNS) pro P je Q ;
P je nezbytná a dostatečná podmínka pro Q ;
P se rovná Q .

Výrokový počet

V klasické logice, která má pouze dvě hodnoty pravdy, je tabulka pravdivosti konektoru ekvivalence:

P	Q	P ⇔ Q
Skutečný	Skutečný	Skutečný
Skutečný	Nepravdivé	Nepravdivé
Nepravdivé	Skutečný	Nepravdivé
Nepravdivé	Nepravdivé	Skutečný

Tvrzení P ⇔ Q je ekvivalentní:

( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) (( P znamená Q ) a ( Q znamená P ));
( P ⇒ Q ) ∧ (¬ P ⇒ ¬ Q ) (( P znamená Q ) a kontrapozice ( Q znamená P ));
¬ P ⇔ ¬ Q (kontraposovaná ekvivalence);
( P ∧ Q ) ∨ (¬ Q ∧ ¬ P ) (( P a Q ) nebo (ne P a ne Q )).

Vlastnosti

Logický vztah ekvivalence, uvedený níže ≡, je relací ekvivalence , a to:

P ≡ P (vztah ekvivalence je reflexivní );
Pokud P ≡ Q , pak Q ≡ P (vztah ekvivalence je symetrický );
Pokud P ≡ Q a Q ≡ R , pak P ≡ R (vztah ekvivalence je tranzitivní ).

Tento vztah ekvivalence je kompatibilní s logickými konektory. Navíc v klasické logice:

¬¬P ≡ P.

Příklady

Pro všechna reálná x nenulová a y máme ${\ displaystyle y = x \ iff {\ frac {y} {x}} = 1.}$
Ekvivalence ( x = y ⇔ x 2 = y 2 ) (zvětšením na druhou) není pravdivá pro všechna reálná x a y : například 2 2 = (–2) 2 neznamená 2 = –2.
Pro všechna reálná x kladná a y platí následující ekvivalence ${\ displaystyle y \ geq {\ sqrt {x}} \ iff (y ^ {2} \ geq x \ quad {\ rm {and}} \ quad y \ geq 0)}$ (zvyšování na druhou)Čtverečkem přijdeme o informace, které jsou větší než druhá odmocnina a musí být kladné a pro dosažení ekvivalence musíme přidat vlastnost . $y$ ${\ displaystyle y \ geq 0}$

K prokázání ekvivalence P ⇔ Q , lze dokázat implikaci P ⇒ Q a její inverzní Q ⇒ P .

Rovnocennost mezi několika tvrzeními

Jsou tři návrhy P , Q a R .

K prokázání 3 ekvivalentů P ⇔ Q , Q ⇔ R a P ⇔ R stačí prokázat 2 z nich, nebo stačí prokázat 3 důsledky:

P ⇒ Q , Q ⇒ R a R ⇒ P .

Demonstrace:

Ať důsledky P ⇒ Q , Q ⇒ R a R ⇒ být P stanovena.

Z Q ⇒ R a R ⇒ P odvodíme Q ⇒ P .

Z R ⇒ P a P ⇒ Q odvodíme R ⇒ Q .

Z P ⇒ Q a Q ⇒ R odvodíme P ⇒ R.

Můžeme zobecnit na n výroků P 1 , P 2 ,…, P n : k prokázání, že jsou tyto výroky rovnocenné, stačí prokázat důsledky

P 1 ⇒ P 2 , P 2 ⇒ P 3 … P n-1 ⇒ P n a P n ⇒ P 1 .

Příklady běžných formulací

Zvažte dva návrhy a . $P$ $Q$

Říkáme, že je to nezbytná podmínka, pokud máme a lze jej přeložit jako „tak , že je to nutné “. $Q$ $P$ ${\ displaystyle P \ Rightarrow Q}$ $P$ $Q$
Říkáme, že to je dostatečná podmínka, pokud máme a lze jej přeložit jako „tak, že to stačí “. $Q$ $P$ ${\ displaystyle Q \ Rightarrow P}$ $P$ $Q$
Říkáme, že je to nezbytná a dostatečná podmínka, pokud máme a pokud máme a lze jej přeložit jako „tak , že je to nutné a dostačující “. To znamená říkat, že je to ekvivalentní a je to poznamenáno . Komutativitou ekvivalence tedy můžeme také říci, že je to nezbytná a dostatečná podmínka . $Q$ $P$ ${\ displaystyle Q \ Rightarrow P}$ ${\ displaystyle P \ Rightarrow Q}$ $P$ $Q$ $Q$ $P$ ${\ displaystyle Q \ Leftrightarrow P}$ $P$ $Q$

Podívejte se také