Parseval rovnost
Rovnost Parsevalova někdy nazýván Parseval teorém nebo vztah Parsevalova je základní vzorec teorie Fourierovy řady . Dlužíme to francouzskému matematikovi Marc-Antoine Parseval des Chênes ( 1755 - 1836 ).
To je také označováno jako Rayleighova identita od jména fyzika Johna Williama Strutta Rayleigha , který v roce 1904 získal Nobelovu cenu za fyziku .
Tento vzorec lze interpretovat jako zobecnění Pythagorovy věty pro řady v Hilbertových prostorech .
V mnoha fyzikálních aplikacích (například elektrický proud) lze tento vzorec interpretovat takto: celková energie se získá přidáním příspěvků různých harmonických .
Celková energie signálu nezávisí na zvolené reprezentaci: frekvenci nebo čase.
E=∫-∞+∞|X(t)|2 dt=∫-∞+∞|X(F)|2 dF.{\ displaystyle E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | x (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } | X (f) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} f.}
Besselova nerovnost
Následující věta je demonstrována v podrobném článku.
Dovolme být ortonormální rodinou prehilbertiánského prostoru .
(Ei)i∈Já{\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}
H{\ displaystyle H}![H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
- U libovolného vektoru Besselova nerovnost uplatňuje sčítatelnost následující rodiny a horní hranice:X∈H{\ displaystyle x \ v H}
∑i∈Já|⟨Ei|X⟩|2≤‖X‖2{\ displaystyle \ sum _ {i \ v I} \ vlevo | \ langle e_ {i} | x \ rangle \ vpravo | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}}
,což znamená, že množina nenulových členů je nanejvýš spočetná a představuje absolutně konvergentní řadu součtu zvýšeného o .‖X‖2{\ displaystyle \ | x \ | ^ {2}}![{\ displaystyle \ | x \ | ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d70dc43fe2c4500e28ee47b2a580a8ad6ae2785)
- Pokud a pouze v případě, že je v adhezi vektorového prostoru generovaného rodinou , pak je horní mez rovnost, nazývaná „Parseval rovnost“. Rodina je tedy Hilbertovým základem právě tehdy, když platí rovnost pro jakýkoli vektor .X{\ displaystyle x}
(Ei)i∈Já{\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}
H{\ displaystyle H}
X∈H{\ displaystyle x \ v H}![{\ displaystyle x \ v H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0957496d2596a81d84e50252c806c5ae488396)
Vzorec pro Fourierovu sérii
Nechť je funkce T -periodic a čtvercového integrovatelných po dobu (to je tedy platí zejména pro T -periodic a kontinuální kusy ). Definujeme jeho Fourierovy koeficienty :
F{\ displaystyle f}
F{\ displaystyle f}
vs.ne=1T∫-T/2T/2F(t)E-ine2πTt dt{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} n {\ frac {2 \ pi} {T}} t} ~ \ mathrm {d} t}![{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} n {\ frac {2 \ pi} {T}} t} ~ \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4d85f63ac19a702fbb18f68a1bbe4cae6d9a16)
.
Parsevalova rovnost potvrzuje konvergenci následující řady a uvádí identitu:
∑ne=-∞+∞|vs.ne|2=1T∫-T/2T/2|F(t)|2 dt=‖F‖2{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t = \ | f \ | ^ {2}}![{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t = \ | f \ | ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31335c8f01e50b40e508f6c52cd4c66c3abc841f)
.
Pokud má funkce skutečné hodnoty, lze přijmout následující konvence:
F{\ displaystyle f}![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
-
na0=1T∫-T/2T/2F(t) dt=vs.0{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t = c_ {0}}
;
-
nane=2T∫-T/2T/2F(t)cos2πnetT dt{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ cos {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}
;
-
bne=2T∫-T/2T/2F(t)hřích2πnetT dt{\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ sin {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}
.
Rovnost Parsevala se stává:
‖F‖2=na02+12∑ne=1+∞(nane2+bne2){\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ vlevo (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ vpravo)}![{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ vlevo (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ vpravo)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd77b12e834deae2bc6c562fb3d8d89a755590a)
.
Varování : Někteří autoři preferují úmluvy, u nichž vyjádření na 0 ° C , je také ve 2 / T :
na0=2T∫-T/2T/2F(t) dt{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t}![{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8fffdc300ef54d593c38d4acca022fdd0fe2d4)
.
Parsevalův vzorec se pak stává:
‖F‖2=14na02+12∑ne=1+∞(nane2+bne2){\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {4}} a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ right)}![{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {4}} a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e181e466d546d97dc0f4f63b9a4dfae08b6067fc)
.
Aplikace
Reciproční: Riesz-Fischerova věta
Označíme ℓ 2 vektorový prostor sekvencí tak, že řada konverguje.
(vs.ne)ne∈Z{\ displaystyle (c_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}
∑-∞+∞‖vs.ne‖2 {\ displaystyle \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ | c_ {n} \ | ^ {2} \}![\ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ | c_n \ | ^ 2 \](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8019eb3985bf25ba93635034e6b2c930cab68dad)
Riesz-Fischerova věta umožňuje konstatovat, že taková sekvence je sekvence Fourierových koeficientů s integrovatelné čtvercového funkce, T periodický.
(vs.ne)ne∈Z{\ displaystyle (c_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}![(c_n) _ {n \ in \ Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1238fe286b78d547130ff365cfb3bda2a4377575)
Existuje tedy izomorfismus mezi prostory L 2 T periodických integrovatelných čtvercových funkcí a T a ℓ 2 . Parsevalovy vzorce ukazují, že jde dokonce o izometrii .
Poznámky a odkazy
-
„ Kapitola 7: Fourierova transformace “ , na ressources.unisciel.fr (přístup 11. srpna 2019 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">