Parseval rovnost

Rovnost Parsevalova někdy nazýván Parseval teorém nebo vztah Parsevalova je základní vzorec teorie Fourierovy řady . Dlužíme to francouzskému matematikovi Marc-Antoine Parseval des Chênes ( 1755 - 1836 ).

To je také označováno jako Rayleighova identita od jména fyzika Johna Williama Strutta Rayleigha , který v roce 1904 získal Nobelovu cenu za fyziku .

Tento vzorec lze interpretovat jako zobecnění Pythagorovy věty pro řady v Hilbertových prostorech .

V mnoha fyzikálních aplikacích (například elektrický proud) lze tento vzorec interpretovat takto: celková energie se získá přidáním příspěvků různých harmonických .

Celková energie signálu nezávisí na zvolené reprezentaci: frekvenci nebo čase.

E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | x (t) | ^ 2 ~ \ mathrm dt = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | X (f) | ^ 2 ~ \ mathrm df.

Besselova nerovnost

Následující věta je demonstrována v podrobném článku.

Dovolme být ortonormální rodinou prehilbertiánského prostoru . ${\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $H$

U libovolného vektoru Besselova nerovnost uplatňuje sčítatelnost následující rodiny a horní hranice: ${\ displaystyle x \ v H}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i \ v I} \ vlevo | \ langle e_ {i} | x \ rangle \ vpravo | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}}$ ,což znamená, že množina nenulových členů je nanejvýš spočetná a představuje absolutně konvergentní řadu součtu zvýšeného o . ${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2}}$
Pokud a pouze v případě, že je v adhezi vektorového prostoru generovaného rodinou , pak je horní mez rovnost, nazývaná „Parseval rovnost“. Rodina je tedy Hilbertovým základem právě tehdy, když platí rovnost pro jakýkoli vektor . $X$ ${\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $H$ ${\ displaystyle x \ v H}$

Vzorec pro Fourierovu sérii

Nechť je funkce T -periodic a čtvercového integrovatelných po dobu (to je tedy platí zejména pro T -periodic a kontinuální kusy ). Definujeme jeho Fourierovy koeficienty : $F$ $F$

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} n {\ frac {2 \ pi} {T}} t} ~ \ mathrm {d} t}

Parsevalova rovnost potvrzuje konvergenci následující řady a uvádí identitu:

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t = \ | f \ | ^ {2}}

Pokud má funkce skutečné hodnoty, lze přijmout následující konvence: $F$

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t = c_ {0}}$ ;
${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ cos {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ ;
${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ sin {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ .

Rovnost Parsevala se stává:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ vlevo (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ vpravo)}

Varování : Někteří autoři preferují úmluvy, u nichž vyjádření $na 0 ° C$ , je také ve 2 / T :

{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t}

Parsevalův vzorec se pak stává:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {4}} a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ right)}

Aplikace

Tyto výsledky se vztahují zejména na případ prehilbertiánského prostoru konečné dimenze , například při harmonické analýze na konečné abelianské skupině .
Pokud dvě integrovatelné čtvercové funkce f a g mají stejné frekvenční spektrum (stejné Fourierovy koeficienty), pak jsou Fourierovy koeficienty f - g všechny nulové (podle linearity) a ║ f - g ║ 2 = 0. Ve skutečnosti f a g jsou téměř všude stejné . Pokud jsou navíc f a g po částech spojité, f a g jsou stejné, kromě na úrovni bodů diskontinuity f a g .
Když je integrál snadněji vypočítatelný než řada, Parseval rovnost je způsob, jak vypočítat určitý počet číselných řad (lze také použít rovnost v bodě mezi funkcí a její Fourierovou řadou , danou například Dirichletovou větou ) .
Parsevalova rovnost umožňuje získat Wirtingerovu nerovnost mezi normami periodické funkce a její derivací, pak klasickou izoperimetrickou nerovnost .

Reciproční: Riesz-Fischerova věta

Označíme ℓ 2 vektorový prostor sekvencí tak, že řada konverguje. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$ $\ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ | c_n \ | ^ 2 \$

Riesz-Fischerova věta umožňuje konstatovat, že taková sekvence je sekvence Fourierových koeficientů s integrovatelné čtvercového funkce, T periodický. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$

Existuje tedy izomorfismus mezi prostory $L 2$ T periodických integrovatelných čtvercových funkcí a T a ℓ 2 . Parsevalovy vzorce ukazují, že jde dokonce o izometrii .

Poznámky a odkazy

„ Kapitola 7: Fourierova transformace “ , na ressources.unisciel.fr (přístup 11. srpna 2019 )