V matematice , přesněji v teorii integrace , říká Riesz-Fischerova věta :
Tyto dva výroky (s p = 2 ve druhém) demonstroval v roce 1907 Maďar Frigyes Riesz a Rakušan Ernst Sigismund Fischer : Riesz dokázal první výrok a Fischer druhý, ze kterého restartoval první.
První výrok znamená, že pokud je dílčí součet Fourierovy řady odpovídající funkci f dán vztahem
,kde F n je n-tý Fourierův koeficient daný vztahem
,tak
,kde je norma L 2, kterou lze zapsat pro funkci g
.Naopak, pokud ( a n ) je posloupnost komplexních čísel indexovaných množinou relativních celých čísel taková
,pak existuje integrovatelná čtvercová funkce f taková, že a n jsou Fourierovy koeficienty f .
Tato věta zobecňuje Besselovu nerovnost a lze ji použít k prokázání rovnosti Parseval pro Fourierovu řadu .
Pro libovolné p > 0 je metrický prostor L p kompletní. V obvyklém případě 1 ≤ p ≤ ∞ je to navíc normalizovaný vektorový prostor , tedy Banachův prostor ; zvláště pokud p = 2, jedná se o Hilbertův prostor .
Mimochodem dokazujeme, že pro p ≥ 1 má každá Cauchyova sekvence v L p - jinými slovy a posteriori : každá konvergentní sekvence v L p - má subsekvenci, která konverguje téměř všude .
Důkaz pro p ≥ 1Případ p = ∞, který je okamžitý (jde o jednotnou konvergenci mimo zanedbatelnou množinu ), opravme 1 ≤ p <∞ a Cauchyovu posloupnost ( f n ) prvků L p .
Má subsekvenci ( g n ) ověřující:
a stačí dokázat, že ( f n ) konverguje, ukázat, že ( g n ) konverguje. Za to si představme
Tato funkce g je měřitelná a ověřuje ( monotónní konvergencí a Minkowského nerovností ):
Je proto konečný téměř všude, to znamená, že v každém bodě x mimo určitou zanedbatelnou setu je digitální řada je absolutně konvergentní , tedy konvergentní . Kromě této zanedbatelné množiny proto posloupnost ( g n ) jednoduše konverguje k určité funkci f, která je proto měřitelná. Na závěr konstatujeme, že f splňuje:
takže patří k L p a že sekvence ( g n ) konverguje v tomto prostoru.