Absorpční prvek

V matematice ( algebře ) je absorpční prvek (nebo povolený prvek ) množiny pro zákon vnitřní kompozice prvkem této množiny, který transformuje všechny ostatní prvky na absorbující prvek, když je s nimi spojen tímto zákonem.

Definice

Nebo magma . Prvek z řečeno: (E,⋆){\ displaystyle (E, \ star)}na{\ displaystyle a}E{\ displaystyle E}

• absorbent nalevo, pokud  ;∀X∈E, na⋆X=na{\ displaystyle \ forall x \ v E, \ a \ star x = a}
• absorbent vpravo, pokud  ;∀X∈E, X⋆na=na{\ displaystyle \ forall x \ in E, \ x \ star a = a}
• absorpční, pokud je absorpční zprava a zleva.

Vlastnosti

V kaluži

• V magmatu je absorpční prvek, pokud existuje: (E,⋆){\ displaystyle (E, \ star)}
  • je jedinečný, pokud a jsou dva absorpční členy  ,;na1{\ displaystyle a_ {1}}na2{\ displaystyle a_ {2}}na1=na1⋆na2=na2{\ displaystyle a_ {1} = a_ {1} \ star a_ {2} = a_ {2}}
  • je idempotentní  : pokud je savý .na{\ displaystyle a}na⋆na=na{\ displaystyle a \ star a = a}
• Pokud má magma vlevo absorpční prvek a absorpční prvek vpravo, jsou tyto dva prvky stejné a magma má absorpční prvek. Pokud je absorbent nalevo a absorbent napravo, pak .na1{\ displaystyle a_ {1}}na2{\ displaystyle a_ {2}}na1=na1⋆na2=na2{\ displaystyle a_ {1} = a_ {1} \ star a_ {2} = a_ {2}}
• V daném magmatu může existovat několik absorpčních prvků vlevo nebo vpravo, ale pokud je vlevo více než jeden absorpční prvek, není žádný vpravo. Ve skutečnosti, předpokládat a dvě absorpční prvky na levé straně a absorpční člen na pravé straně . Podle symetrie, pokud je vpravo více než jeden absorpční prvek, není žádný vlevo.na1{\ displaystyle a_ {1}}na2{\ displaystyle a_ {2}}b{\ displaystyle b}na1=na1⋆b=b=na2⋆b=na2{\ displaystyle a_ {1} = a_ {1} \ hvězda b = b = a_ {2} \ hvězda b = a_ {2}}

V kruhu

V prstenci ( A , +, ×) je neutrální prvek 0 + + absorpční pro ×.

Ve skutečnosti pro všechna x , y ∈ A  :

• ( x × y ) + 0 = x × y = ( x + 0) × y (protože 0 je neutrální pro +), takže
• ( x × y ) + 0 = ( x × y ) + (0 × y ) (protože × je distribuční vzhledem k +), takže
• 0 = 0 × y (protože + je normální , jako každá skupinová distribuce )

a (podobně):

• 0 = y × 0.

Příklady

• Absorpční prvek násobení mezi reálnými čísly je nulový  : (toto je také příklad neutrálního prvku prvního zákona prstence, absorpčního pro druhý). Podobně je nulový vektor absorpčním prvkem pro křížový produkt a prázdná sada je absorpčním prvkem pro průnik množin.na⋅0=0⋅na=0{\ displaystyle a \ cdot 0 = 0 \ cdot a = 0}
• Absorpční prvek disjunkce je PRAVDA a prvek spojky je NEPRAVDA. Jinými slovy, 1 je absorpční prvek funkce OR (nebo včetně) a 0 je absorpční prvek funkce AND .
• V sadě P ( E ) částí sady E je prvek E absorbující pro shledání .
• Jedinou skupinou s absorpčním prvkem je triviální skupina .
• V souboru map ℝ in ℝ vybavených zákonem jsou absorpční prvky vlevo konstantní funkcí a vpravo není žádný absorpční prvek.(F,G)↦F∘G{\ displaystyle (f, g) \ mapsto f \ circ g}

Podívejte se také

• Neutrální prvek
• Symetrický prvek
• Oboustranný prvek