Böttcherova rovnice
Böttcher rovnice , pojmenoval Lucjan Böttchera (1872-1937), je funkční rovnice
F(h(z))=(F(z))ne ,{\ displaystyle F (h (z)) = (F (z)) ^ {n} ~,}![{\ displaystyle F (h (z)) = (F (z)) ^ {n} ~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f83dd82b1067e700baa2cb58a72b71b913ee4f7f)
nebo
- h je daná analytická funkce s velmi přitahujícím pevným bodem řádu n a, to znamená: v sousedství a, s n ≥ 2h(z)=na+vs.(z-na)ne+Ó((z-na)ne+1) ,{\ displaystyle h (z) = a + c (za) ^ {n} + O ((za) ^ {n + 1}) ~,}
![{\ displaystyle h (z) = a + c (za) ^ {n} + O ((za) ^ {n + 1}) ~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a842e148e20a70ab57b45fd4f826074625260e97)
-
F je neznámá funkce.
Logaritmus tohoto funkční rovnice činí na Schröder rovnice .
Řešení
Lucian Emil Böttcher nastiňuje v roce 1904 důkaz o existenci analytického řešení F v sousedství pevného bodu a , takže F ( a ) = 0. Toto řešení se někdy nazývá Böttcherova souřadnice . (Celá demonstrace byla zveřejněna Josephem Rittem v roce 1920, který původní znění ignoroval.)
Böttcherova souřadnice (logaritmus Schröderovy funkce ) konjuguje h (z) h (z) v sousedství pevného bodu s funkcí z n . Obzvláště důležitý případ je, když h (z) je polynom stupně n a a = ∞.
Aplikace
Böttcher rovnice hraje zásadní roli v oblasti holomorfních dynamiky která studuje iteraci z polynomů jednoho komplexní proměnné .
Globální vlastnosti Böttchera souřadnic byly studovány Fatou , Douady a Hubbard .
Podívejte se také
Reference
-
LE Böttcher , „ Základní zákony konvergence iterátů a jejich aplikace na analýzu (v ruštině) “, Izv. Kazaň. Fiz.-Mat. Obshch. , sv. 14,1904, str. 155–234
-
Joseph Ritt , „ O iteraci racionálních funkcí “, Trans. Hořký. Matematika. Soc , sv. 21, n o 3,1920, str. 348–356 ( DOI 10.1090 / S0002-9947-1920-1501149-6 )
-
Stawiska, Małgorzata (15.listopadu 2013).
-
CC Cowen , „ Analytické řešení Böttcherovy funkční rovnice na jednotkovém disku “, Aequationes Mathematicae , sv. 24,1982, str. 187–194 ( DOI 10.1007 / BF02193043 )
-
P. Fatou , „ O funkčních rovnicích, I “, Bulletin Mathematical Society of France , sv. 47,1919, str. 161–271 ( číst online )
-
A. Douady a J. Hubbard , „ Dynamická studie složitých polynomů (část první) “, Publ. Matematika. Orsay ,1984( číst online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">