Schröderova rovnice

Schröder rovnice je funkční rovnice s jednou proměnnou, nese název matematik Ernst Schröder .

Nechte funkci h a konstantu s takovou, že s ≠ 0 a s ≠ 1, najděte funkci f takovou, že:

F(h(X))=sF(X){\ displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

{\ displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

Schröderova rovnice je rovnice vlastního čísla operátoru kompozice C h, která spojuje funkci f s kompozitní funkcí f • h. Hraje zásadní roli v oblasti funkčních rovnic: jedná se o jednoduchou lineární rovnici a její řešení se často používají při konstrukci řešení složitějších rovnic. Lze jej použít k výpočtu funkčních odmocnin .

Řešení

Aplikace

Linearizace funkčních rovnic

Nechť je lineární funkční rovnice tvaru:

F(G(X))=h(X)F(X)+F(X){\ displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

{\ displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

kde f : I → I je neznámý, g , h , F , jsou známé a g ( I ) je zahrnut v I .

Pokud je funkce σ řešením Schröderovy rovnice pro funkci g a konstantu s , pak změna proměnné:

{y=σ(X)F¯(y)=F(X){\ displaystyle {\ begin {cases} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {cases}}}

vede k následující rovnici, kterou lze snáze vyřešit:

F¯(sy)=h¯(y)F¯(y)+F¯(y){\ displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)} ${\ displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)}$ S . ${\ displaystyle {\ bar {h}} (y) = h (\ sigma ^ {- 1} (y)), \; {\ bar {F}} (y) = F (\ sigma ^ {- 1} (y))}$

Vztah k jiným funkčním rovnicím

Schröderova rovnice patří do rodiny rovnic konjugace ( „konjugované rovnice“ ) ve tvaru:

F(h(X))=H(F(X)){\ displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

{\ displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

stejným způsobem jako rovnice Abela a Böttchera .

Podívejte se také

Reference

(de) Schröder, Ernst, „ Ueber iterirte Functionen “ , matematika. Ann , n O 3 (2)1870, str. 296–322 (doi: 10,1007 / BF01443992)
(en) Efthimiou, Costas, Úvod do funkčních rovnic. ,2010( číst online ) , strana 247