Cauchyova funkční rovnice

Cauchyho funkční rovnice je jedním z nejjednodušších funkčních rovnic . Jedná se o následující rovnici neznámého faktoru $f$ : ℝ → ℝ:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {R} \ quad f (x + y) = f (x) + f (y).}

Jinými slovy, řešení této rovnice jsou přesně endomorphisms ze skupiny (ℝ, +).

Snadno ukážeme, že jakékoli řešení $f$ je sudé ℚ - lineární , to znamená navíc ověřuje:

{\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {Q} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (rv) = rf (v).}

Existuje ale nekonečno nelineárních řešení. Tak, že roztok je ℝ-lineární, a proto je dilatace v reálné vektoru linky , stačí, že je spojitá v bodě nebo monotónní na intervalu nenulových délku. Pro to, že to postačuje k tomu, aby se zvýšila nebo snížila v průběhu intervalu nenulovou délky, nebo dokonce pouze přes Lebesgue-měřitelné sadou z nenulové Lebesgueovy míry .

Důkaz ℚ-linearity

Nechť $f$ je řešení.

Poté, $f$ je endomorphism abelian skupiny tj. Z ℤ - modulu , tedy ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (nv) = nf (v).}$
Dedukujeme, že $f$ je ℚ-lineární, tj. Ověřuje (kromě aditivity): ${\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {Q} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (rv) = rf (v).}$ Ve skutečnosti je každé racionální $r$ ve tvaru $p / q$ s celými čísly $p$ a $q$ a $q$ ne nula, což umožňuje psát: $qf ( rv ) = f ( qrv ) = f ( pv ) = pf ( v )$ , takže $f ( rv ) = p / q f ( v ) = rf ( v )$ .

Dostatečné podmínky ℝ-linearity

Řešení $f$ je ℝ-lineární, pokud splňuje: ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (xv) = xf (v).}$ ℝ-lineární řešení jsou tedy homothety, to znamená mapy tvaru $x \mapsto ax$ (s nutně $a = f (1)$ ).
Jakékoli řešení f, které nemá tuto formu, zdaleka není monotónní, protože je patologické více než jedním způsobem:
- jeho graf je hustý (v ℝ 2 ), takže v jakémkoli neprázdném otevřeném intervalu není $f$ ohraničeno nahoru (nebo ohraničeno dolů); a fortiori , $f$ je diskontinuální ve všech bodech;
- všechny Borel z obrázku (o $f$ ) non-hutné (zejména: všechna Borel, kde $f$ je zvýšena nebo snížena) je zanedbatelný ; z toho vyplývá, že $| f |$ není zvýšena žádnou měřitelnou funkcí ; a fortiori , $f$ není měřitelné;
- pokud $f$ není injektivní, pak je jeho jádro husté, proto $f$ je „ silně Darboux “, tj. obraz libovolného intervalu obsahujícího alespoň dva body je ℝ.
Tím kontrapozici , jakýkoliv „dostatečně pravidelné“ řešení, tedy ne mající jeden z těchto patologií, je stejnolehlost. Například pokud je řešení ohraničeno na nezanedbatelném Borelianovi (zejména pokud je spojité v určitém bodě), nebo dokonce pouze v případě, že jeho graf není hustý, pak jde o homothety.

Demonstrace

Nechť $f$ je řešení, které není dilatací. Existují dvě nenulové reálné reálné hodnoty $u$ a $v$ takové, že $f ( u ) ⁄ u \neq f ( v ) ⁄ v$ , tedy takové, že dva vektory $U = ( u , f ( u ))$ a $V = ( v , f ( v ))$ nejsou kolineární . Graf $F$ je tak hustá v ℝ 2 od (o ℚ-linearity $f$ ) obsahují $ℚ U \oplusℚ V$ .
Nechť $f$ je řešení vylepšené $M$ nad nezanedbatelným Borelianem $A.$ Pak je ohraničena $2 M$ přes $A + A$ , který, v závislosti na zobecnění Steinhaus teorému , je vnitřně neprázdná. Graf $f$ tedy není hustý, takže podle předchozího bodu je $f$ homothety.

Existence nelineárních řešení

Řešením jsou přesně ℚ-lineární mapy ℝ v ℝ. Vzhledem k tomu, základ z Hamel B z ℚ- vektorovém prostoru ℝ (báze, jejíž existence je založen na axiomu výběru ), aplikace, které nějaká funkce v ℝ ℝ spojuje jeho omezení na B je bijection z ‚množiny řešení v sadě mapy z B do ℝ.

Důležitost rovnice

Mnoho funkčních rovnic souvisí s Cauchyho. Například nechte rovnici neznámou $g$ : ℝ → ℝ:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {R} \ quad g (x + y) = g (x) g (y).}

Funkce null je zřejmým řešením. Všichni ostatní jsou přísně pozitivní a ověřují:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {R} \ quad \ ln (g (x + y)) = \ ln (g (x) g (y)) = \ ln (g (x)) + \ ln (g (y)).}

Jedná se tedy o funkce $g = e f$ takové, že $f$ splňuje funkční Cauchyovu rovnici, a ty, které jsou spojité, jsou exponenciální funkce .

Poznámky a odkazy

(en) J. Aczél (de) a J. Dhombres , Funkční rovnice v několika proměnných , CUP , kol. "Encyclopedia of matematiky a její aplikace" ( n o 31),1989, 462 s. ( ISBN 978-0-521-35276-5 , číst online ) , s. 17.
Aczél a Dhombres 1989 , s. 14.
(en) Sune Kristian Jakobsen, „ Cauchyova funkční rovnice “ ,21. prosince 2010.
Dany-Jack Mercier , Readings on Mathematics, Teaching and Competitions , sv. 2, Publibook ,2010( číst online ) , s. 46-47.