Cauchyova funkční rovnice
Cauchyho funkční rovnice je jedním z nejjednodušších funkčních rovnic . Jedná se o následující rovnici neznámého faktoru f : ℝ → ℝ:
∀X,y∈RF(X+y)=F(X)+F(y).{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {R} \ quad f (x + y) = f (x) + f (y).}
Jinými slovy, řešení této rovnice jsou přesně endomorphisms ze skupiny (ℝ, +).
Snadno ukážeme, že jakékoli řešení f je sudé ℚ - lineární , to znamená navíc ověřuje:
∀r∈Q∀proti∈RF(rproti)=rF(proti).{\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {Q} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (rv) = rf (v).}
Existuje ale nekonečno nelineárních řešení. Tak, že roztok je ℝ-lineární, a proto je dilatace v reálné vektoru linky , stačí, že je spojitá v bodě nebo monotónní na intervalu nenulových délku. Pro to, že to postačuje k tomu, aby se zvýšila nebo snížila v průběhu intervalu nenulovou délky, nebo dokonce pouze přes Lebesgue-měřitelné sadou z nenulové Lebesgueovy míry .
Důkaz ℚ-linearity
Nechť f je řešení.
- Poté, f je endomorphism abelian skupiny tj. Z ℤ - modulu , tedy∀ne∈Z∀proti∈RF(neproti)=neF(proti).{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (nv) = nf (v).}
- Dedukujeme, že f je ℚ-lineární, tj. Ověřuje (kromě aditivity):∀r∈Q∀proti∈RF(rproti)=rF(proti).{\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {Q} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (rv) = rf (v).}Ve skutečnosti je každé racionální r ve tvaru p / q s celými čísly p a q a q ne nula, což umožňuje psát: qf ( rv ) = f ( qrv ) = f ( pv ) = pf ( v ) , takže f ( rv ) =p/qf ( v ) = rf ( v ) .
Dostatečné podmínky ℝ-linearity
- Řešení f je ℝ-lineární, pokud splňuje:∀X∈R∀proti∈RF(Xproti)=XF(proti).{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ forall v \ in \ mathbb {R} \ quad f (xv) = xf (v).}ℝ-lineární řešení jsou tedy homothety, to znamená mapy tvaru x ↦ ax (s nutně a = f (1) ).
- Jakékoli řešení f, které nemá tuto formu, zdaleka není monotónní, protože je patologické více než jedním způsobem:
- jeho graf je hustý (v ℝ 2 ), takže v jakémkoli neprázdném otevřeném intervalu není f ohraničeno nahoru (nebo ohraničeno dolů); a fortiori , f je diskontinuální ve všech bodech;
- všechny Borel z obrázku (o f ) non-hutné (zejména: všechna Borel, kde f je zvýšena nebo snížena) je zanedbatelný ; z toho vyplývá, že | f | není zvýšena žádnou měřitelnou funkcí ; a fortiori , f není měřitelné;
- pokud f není injektivní, pak je jeho jádro husté, proto f je „ silně Darboux “, tj. obraz libovolného intervalu obsahujícího alespoň dva body je ℝ.
- Tím kontrapozici , jakýkoliv „dostatečně pravidelné“ řešení, tedy ne mající jeden z těchto patologií, je stejnolehlost. Například pokud je řešení ohraničeno na nezanedbatelném Borelianovi (zejména pokud je spojité v určitém bodě), nebo dokonce pouze v případě, že jeho graf není hustý, pak jde o homothety.
Demonstrace
- Nechť f je řešení, které není dilatací. Existují dvě nenulové reálné reálné hodnoty u a v takové, že f ( u ) ⁄ u ≠ f ( v ) ⁄ v , tedy takové, že dva vektory U = ( u , f ( u )) a V = ( v , f ( v )) nejsou kolineární . Graf F je tak hustá v ℝ 2 od (o ℚ-linearity f ) obsahují ℚ U ⊕ℚ V .
- Nechť f je řešení vylepšené M nad nezanedbatelným Borelianem A. Pak je ohraničena 2 M přes A + A , který, v závislosti na zobecnění Steinhaus teorému , je vnitřně neprázdná. Graf f tedy není hustý, takže podle předchozího bodu je f homothety.
Existence nelineárních řešení
Řešením jsou přesně ℚ-lineární mapy ℝ v ℝ. Vzhledem k tomu, základ z Hamel B z ℚ- vektorovém prostoru ℝ (báze, jejíž existence je založen na axiomu výběru ), aplikace, které nějaká funkce v ℝ ℝ spojuje jeho omezení na B je bijection z ‚množiny řešení v sadě mapy z B do ℝ.
Důležitost rovnice
Mnoho funkčních rovnic souvisí s Cauchyho. Například nechte rovnici neznámou g : ℝ → ℝ:
∀X,y∈RG(X+y)=G(X)G(y).{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {R} \ quad g (x + y) = g (x) g (y).}
Funkce null je zřejmým řešením. Všichni ostatní jsou přísně pozitivní a ověřují:
∀X,y∈Rln(G(X+y))=ln(G(X)G(y))=ln(G(X))+ln(G(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {R} \ quad \ ln (g (x + y)) = \ ln (g (x) g (y)) = \ ln (g (x)) + \ ln (g (y)).}
Jedná se tedy o funkce g = e f takové, že f splňuje funkční Cauchyovu rovnici, a ty, které jsou spojité, jsou exponenciální funkce .
Poznámky a odkazy
-
(en) J. Aczél (de) a J. Dhombres , Funkční rovnice v několika proměnných , CUP , kol. "Encyclopedia of matematiky a její aplikace" ( n o 31),1989, 462 s. ( ISBN 978-0-521-35276-5 , číst online ) , s. 17.
-
Aczél a Dhombres 1989 , s. 14.
-
(en) Sune Kristian Jakobsen, „ Cauchyova funkční rovnice “ ,21. prosince 2010.
-
Dany-Jack Mercier , Readings on Mathematics, Teaching and Competitions , sv. 2, Publibook ,2010( číst online ) , s. 46-47.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">