Tenzorová algebra

V matematiky , je tensor algebry je algebra přes pole , jehož prvky (tzv tenzory ) jsou reprezentovány lineární kombinace z „slova“ vytvořených s vektory v daném vektorovém prostoru . Jediné vztahy lineární závislosti mezi těmito slovy jsou indukovány lineárními kombinacemi mezi vektory.

Pokud má podkladový vektorový prostor základnu , je jeho tenzorová algebra identifikována s volnou jednotnou asociativní algebrou generovanou touto základnou. Pokud je tato základna konečná, jsou tenzory identifikovány tabulkami souřadnic.

Tenzorová algebra umožňuje rozšířit v morfismech algeber všechny lineární mapy vektorového prostoru směrem k jednotným asociativním algebrám. Jako takový je konstrukce tenzorové algebry ve vektorovém prostoru přidána nalevo, aby se zapomnělo na multiplikativní strukturu.

Různým kvocientem tenzorové algebry je symetrická algebra , vnější algebra ...

Matematická konstrukce

Definice volnou algebrou

Slovo na množině je konečná posloupnost prvků této množiny, často označovaná bez oddělovačů nebo závorek. Volná algebra na množině je vektorový prostor téměř nulových rodin indexovaných slovy na , opatřený násobením vyvolaným zřetězením. Každé slovo je identifikováno se sekvencí, která má hodnotu 1 palce a 0 všude jinde. $E$ $E$ $m$ $m$

Nepodnikatelské commutativity z písmen slova brání některé obvyklé zjednodušení jsou v následujícím rovnosti:

(a + b) (ab) = aa-ab + ba-bb \,

Na rozdíl od pozoruhodné identity platné pro reálná nebo komplexní čísla nedochází ke zrušení (- ) znakem (+ ) . $ab$ $ba$

Chcete-li definovat tenzorovou algebru ve vektorovém prostoru , stačí vzít v úvahu volnou algebru generovanou všemi prvky a poté ji rozdělit na oboustranný ideál generovaný lineárními vztahy na . Je zaznamenána kvocientová algebra . V této souvislosti jsou vektory sloužící jako písmena v každém slově často odděleny symbolem tenzorového součinu, podobně jako multiplikační kříž vepsaný do kruhu. $PROTI$ $PROTI$ $PROTI$ $TELEVIZE)$

Konstrukce podle tenzorového produktu

Opravíme vektorový prostor na poli . Pro jakékoliv celé číslo , zvažte tensor sílu (což je tensor produkt více než z kopií ). Podle dohody . Dovolit být vektorový prostor . Můžeme poskytnout strukturu -algebry takto: $PROTI$ $K.$ $n \ ge 1$ $V ^ {{\ další časy}}$ $K.$ $ne$ $PROTI$ $V ^ {{\ otimes 0}} = K.$ $TELEVIZE)$ $\ oplus _ {{n \ geq 0}} V ^ {{\ mnohokrát n}}$ $TELEVIZE)$ $K.$

1. Nechte . Tyto kanonické lineární mapa indukuje podle všeobecného majetku tenzorového výrobek bilinear mapě . Poznamenáme si obrázek par . Konkrétně, pokud a pak $n, m \ geq 0$ $(n + m)$ $V ^ {n} \ krát V ^ {m} = V ^ {{n + m}} \ do V ^ {{\ otimes (n + m)}}$ $V ^ {{\ otimes n}} \ krát V ^ {{\ otimes m}} \ do V ^ {{\ otimes (n + m)}}$ $(x, y)$ $x \ mnohokrát y$ $x = v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes ... \ otimes v_ {n} \ ve V ^ {{\ otimes n}}$ $y = u_ {1} \ otimes u_ {2} \ otimes ... \ otimes u_ {m} \ ve V ^ {{\ otimes m}}$

x \ otimes y = v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes ... \ otimes v_ {n} \ otimes u_ {1} \ otimes u_ {2} \ otimes ... \ otimes u_ {m}

2. pak definujeme produkt z a (s ) o: $xy \,$ $x = x_ {0} + x_ {1} + ... \,$ $y = y_ {0} + y_ {1} + ... \,$ $x_ {n}, y_ {n} \ ve V ^ {{\ mnohokrát n}}$

xy = \ sum _ {{n, m}} x_ {n} \ mnohdy y_ {m}.

Ověříme, že to tak skutečně definovat strukturu algebra, a říkáme si tensor algebra a . $K.$ $TELEVIZE)$ $PROTI$

Příklady

Pokud je 1- dimenzionální vektorový prostor generovaný prvkem , je tenzorová algebra identifikována s algebrou polynomů s jedním neurčitým. $PROTI$ $X$ $TELEVIZE)$
Pokud má jakoukoli dimenzi, jakákoli volba základu na identifikuje jeho tenzorovou algebru s algebrou nekomutativních až neurčitých polynomů na základě . V tomto případě tvoří koeficienty těchto polynomů hodnoty tabulek souřadnic, které představují každý tenzor. $PROTI$ $PROTI$ $PROTI$

Vlastnosti

Tenzorová algebra je unitární algebra, obvykle nekomutativní. $TELEVIZE)$ $K.$
Tensorová algebra je odstupňována délkou slova. Každý tenzor se jedinečným způsobem rozpadá na součet homogenních tenzorů, to znamená, že jde o lineární kombinace slov stejné délky. Jedná se o překlad psaní jako přímý sumy , . Homogenní tenzory stupně jsou přesně prvky . Vektory vektoru jsou tedy homogenní tenzory stupně 1. $TELEVIZE)$ $V ^ {{\ další časy}}$ $n \ geq 0$ $ne$ $V ^ {{\ další časy}}$ $PROTI$
( Univerzální vlastnost ) Pro jakoukoli lineární mapu vektorového prostoru k unitární asociativní algebře existuje jedinečný morfismus algebry, který rozšiřuje mapu na tenzorovou algebru . Konkrétně morfismus posílá dál . Tato vlastnost charakterizuje tenzorovou algebru až po jediný izomorfismus. $F$ $PROTI$ $NA$ $F$ $TELEVIZE)$ $v_ {1} \ otimes ... \ otimes v_ {n}$ $f (v_ {1}) ... f (v_ {n})$

Aplikace: symetrické a vnější algebry

Symetrická algebra na vektorového prostoru je podíl jeho tensor algebry od ideálu generovaného komutátorů formuláře: $PROTI$

v \ otimes uu \ otimes v

Jakákoli volba základu pro identifikuje jeho symetrickou algebru s algebrou polynomů s neurčitým v základně (tj. S neurčitým). $PROTI$ ${\ displaystyle dim (V)}$

Vnější algebry na je podíl jeho tensor algebry dvoustranné ideální generované prvky tvaru: $PROTI$

v \ otimes v

Zobecnění: tenzorová algebra modulu

Pro jakýkoli modul na jednotném komutativním kruhu vytvoříme stejným způsobem odstupňovanou jednotku -algebra . Stále máme univerzální vlastnost, která charakterizuje tenzorovou algebru. $M$ $NA$ $NA$ $T (M) = \ oplus _ {{n \ geq 0}} M ^ {{\ další časy}}$

Rovněž definujeme symetrickou algebru a vnější algebru jako v případě vektorových prostorů. Obraz in (resp. ) Je -th symetrický výkon (resp. -Th externí výkon ) z . ${{\ mathrm {Sym}}} (M)$ $\ Lambda M.$ $M ^ {{\ mnohokrát}} \ podmnožina T (M)$ ${{\ mathrm {Sym}}} (M)$ $\ Lambda M.$ $ne$ ${{\ mathrm {Sym}}} ^ {n} (M)$ $ne$ $\ Lambda ^ {n} M$ $M$

Když je volné, je izomorfní vůči kruhu nekomutativních polynomů s koeficienty v neurčitosti indexovanými prvky základny. $M$ $T (M)$ $NA$

Dovolit být homomorphism jednotkových komutativních prstenů a označit, že je -module pomocí pravé násobení, pak je kanonicky izomorfní s -algebra . To je velmi užitečné pro pochopení struktury, kdy není volný. Tato kompatibilita s rozšířením skalárů zůstává platná pro symetrické a vnější algebry a síly. $A \ až B$ $M_ {B} = M \ mnohokrát _ {A} B$ $B$ $T (M_ {B})$ $B$ $T (M) \ mnohokrát _ {A} B$ $T (M)$ $M$

Poznámka

Dávejte pozor, aby všechny prvky této formy nebyly obecně. Jsou to konečné součty takových vektorů. $V ^ {{\ další časy}}$

Bibliografie

Nicolas Bourbaki , Prvky matematiky , Kniha II , Algebra, Kapitoly 1 až 3 , Hermann,1970( dotisk 2007), 636 s. ( ISBN 978-3-540-33849-9 , vývěsní BNF n o FRBNF40227395 )Tenzorové algebry jsou popsány v kapitole III: Tenzorové, vnější a symetrické algebry .